Analyse • Intégration
Corrigé
25
Ens. spécifique
matT_1006_09_02C
D'après Liban • Juin 2010
Exercice 2 • 5 points
On considère la fonction 
définie sur 
par 
où 
et 
sont des nombres fixés. Sur la figure donnée en annexe, la courbe 
représentant la fonction 
et la droite 
d'équation 
sont tracées dans un repère orthogonal (unités : 2 cm pour l'axe des abscisses, 1 cm pour l'axe des ordonnées).
Le point E a pour coordonnées (0 6) et le point F a pour coordonnées (3 0). On précise que la droite (EF) est tangente à la courbe 
au point E et que la courbe 
admet au point B une tangente horizontale.
On note 
la fonction dérivée de la fonction 
.
. (0,5 point)
. (0,5 point)
en fonction de 
et 
. (0,75 point)
et 
. On justifiera les calculs. (1 point)
Dans la suite de l'exercice, on prendra 
.
est convexe sur 
. (0,5 point)
est située au-dessus de la droite 
. Soit 
le domaine délimité par la courbe 
, la droite 
, l'axe des ordonnées et la droite d'équation 
.
sur le graphique. (0,5 point)
du domaine 
. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à 0,1 cm² près. (0,75 point)
Annexe
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Nombre dérivé, tangente • Dérivées usuelles • Fonction exponentielle • Convexité, point d'inflexion • Primitives usuelles • Aire d'un domaine plan.
Les conseils du correcteur
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point d'abscisse 0.
deux fois dérivable sur un intervalle I est convexe sur cet intervalle si et seulement si 
pour tout 
I.
en lequel la tangente a un coefficient directeur égal à 0. Résolvez l'équation 
.
> 1. a) Déterminer par lecture graphique l'image d'un nombre
par une fonction
La courbe représentative 
de la fonction 
passe par le point E(0 6), donc :
b) Déterminer un nombre dérivé par lecture graphique
Notez bien
Le coefficient directeur d'une droite est le rapport de la variation de 
(ordonnées) et celle de 
(abscisses) entre deux points de la droite. On peut donc considérer que c'est la « variation de 
» lorsque 
augmente de 1.
est le coefficient directeur de la droite (EF), tangente à 
au point E d'abscisse 0. Par lecture graphique, le coefficient directeur de la droite (EF) est égal à 
, d'où :
c) Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout x ∈ ℝ , 
soit :
d) Calculer des paramètres liés à une fonction
, donc 
, soit 
.
, donc 
, donc 
, donc, puisque 
, 
, soit 
.
> 2. Montrer qu'une fonction est convexe
.
La fonction 
est deux fois dérivable sur 
. Pour tout réel 
: 
et 
.
Or la fonction exponentielle est strictement positive sur 
, donc 
pour tout réel 
. 
est donc convexe sur 
.
> 3. a) Représenter graphiquement un domaine délimité par la courbe représentative d'une fonction
Sur la représentation graphique page suivante, le domaine est le domaine colorié.
b) Calculer une aire à l'aide d'une intégrale
Puisque la courbe 
est située au-dessus de la droite 
et qu'une unité d'aire est égale à 2 cm², l'aire 
(en cm²) du domaine 
est :
> 4. Résoudre une équation liée à une fonction
La tangente à 
en B a pour coefficient directeur 0. L'abscisse de B est donc solution de l'équation 
.
Or, pour tout réel 
, 
. Donc 
équivaut successivement à : 
Notez bien
. Ce résultat peut être vérifié sur le graphique.
.
admet une tangente horizontale a pour abscisse 
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.