Intégration. Dérivées usuelles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2010 | Académie : Moyen-Orient
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Int&eacute gration. D&eacute riv&eacute es usuelles

Analyse &bull Int&eacute gration

Corrig&eacute

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Ens. sp&eacute cifique

matT_1006_09_02C

D&rsquo apr&egrave s Liban &bull Juin 2010

Exercice 2 &bull 5 points

On consid&egrave re la fonction d&eacute finie sur par o&ugrave et sont des nombres fix&eacute s. Sur la figure donn&eacute e en annexe, la courbe repr&eacute sentant la fonction et la droite d&rsquo &eacute quation sont trac&eacute es dans un rep&egrave re orthogonal (unit&eacute s  : 2  cm pour l&rsquo axe des abscisses, 1  cm pour l&rsquo axe des ordonn&eacute es).

Le point E a pour coordonn&eacute es (0  6) et le point F a pour coordonn&eacute es (3  0). On pr&eacute cise que la droite (EF) est tangente &agrave la courbe au point E et que la courbe admet au point B une tangente horizontale.

On note la fonction d&eacute riv&eacute e de la fonction .

&gt 1.a)  Par lecture graphique, d&eacute terminer la valeur de . (0,5  point)

b)  Par lecture graphique, d&eacute terminer la valeur de . (0,5  point)

c)  Exprimer en fonction de et . (0,75 point)

d)  En utilisant les r&eacute sultats pr&eacute c&eacute dents, d&eacute terminer les valeurs de et . On justifiera les calculs. (1 point)

Dans la suite de l&rsquo exercice, on prendra .

&gt 2.  Montrer que la fonction est convexe sur . (0,5  point)

&gt 3.  On admet que la courbe est situ&eacute e au-dessus de la droite . Soit le domaine d&eacute limit&eacute par la courbe , la droite , l&rsquo axe des ordonn&eacute es et la droite d&rsquo &eacute quation .

a)  Hachurer sur le graphique. (0,5  point)

b)  Calculer, en cm&sup2 , l&rsquo aire du domaine . Donner la valeur exacte, puis une valeur approch&eacute e &agrave 0,1  cm&sup2 pr&egrave s. (0,75  point)

&gt 4.  D&eacute terminer la valeur exacte de l&rsquo abscisse du point B. (0,75  point)

Dans cette question, toute trace de recherche, m&ecirc me incompl&egrave te, ou d&rsquo initiative, m&ecirc me non fructueuse, sera prise en compte dans l&rsquo &eacute valuation.

Annexe


Dur&eacute e conseill&eacute e  : 45  min.

Les th&egrave mes en jeu

Nombre d&eacute riv&eacute , tangente &bull D&eacute riv&eacute es usuelles &bull Fonction exponentielle &bull Convexit&eacute , point d&rsquo inflexion &bull Primitives usuelles &bull Aire d&rsquo un domaine plan.

Les conseils du correcteur

&gt     1.  b)  est le coefficient directeur de la tangente &agrave au point d&rsquo abscisse 0.

&gt     2.  Une fonction deux fois d&eacute rivable sur un intervalle I est convexe sur cet intervalle si et seulement si pour tout I.

&gt     3.  b)  N&rsquo oubliez pas de tenir compte des unit&eacute s graphiques.

&gt     4.  B est le point de en lequel la tangente a un coefficient directeur &eacute gal &agrave 0. R&eacute solvez l&rsquo &eacute quation .