Analyse &bull Inté gration
Corrigé
25
Ens. spé cifique
matT_1006_09_02C
D&rsquo aprè s Liban &bull Juin 2010
Exercice 2 &bull 5 points
On considè re la fonction dé finie sur
par
où
et
sont des nombres fixé s. Sur la figure donné e en annexe, la courbe
repré sentant la fonction
et la droite
d&rsquo é quation
sont tracé es dans un repè re orthogonal (unité s : 2 cm pour l&rsquo axe des abscisses, 1 cm pour l&rsquo axe des ordonné es).
Le point E a pour coordonné es (0 6) et le point F a pour coordonné es (3 0). On pré cise que la droite (EF) est tangente à la courbe au point E et que la courbe
admet au point B une tangente horizontale.
On note la fonction dé rivé e de la fonction
.
. (0,5 point)
. (0,5 point)
en fonction de
et
. (0,75 point)
et
. On justifiera les calculs. (1 point)
Dans la suite de l&rsquo exercice, on prendra .
est convexe sur
. (0,5 point)
est situé e au-dessus de la droite
. Soit
le domaine dé limité par la courbe
, la droite
, l&rsquo axe des ordonné es et la droite d&rsquo é quation
.
sur le graphique. (0,5 point)
du domaine
. Donner la valeur exacte, puis une valeur approché e à 0,1 cm² prè s. (0,75 point)
Annexe

Duré e conseillé e : 45 min.
Les thè mes en jeu
Nombre dé rivé , tangente &bull Dé rivé es usuelles &bull Fonction exponentielle &bull Convexité , point d&rsquo inflexion &bull Primitives usuelles &bull Aire d&rsquo un domaine plan.
Les conseils du correcteur
est le coefficient directeur de la tangente à
au point d&rsquo abscisse 0.
deux fois dé rivable sur un intervalle I est convexe sur cet intervalle si et seulement si
pour tout
I.
en lequel la tangente a un coefficient directeur é gal à 0. Ré solvez l&rsquo é quation
.
Dans cette question, toute trace de recherche, mê me incomplè te, ou d&rsquo initiative, mê me non fructueuse, sera prise en compte dans l&rsquo é valuation.