Intégration. Dérivées usuelles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2010 | Académie : Moyen-Orient
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Intégration. Dérivées usuelles

Analyse • Intégration

Corrigé

25

Ens. spécifique

matT_1006_09_02C

D’après Liban • Juin 2010

Exercice 2 • 5 points

On considère la fonction définie sur par et sont des nombres fixés. Sur la figure donnée en annexe, la courbe représentant la fonction et la droite d’équation sont tracées dans un repère orthogonal (unités : 2 cm pour l’axe des abscisses, 1 cm pour l’axe des ordonnées).

Le point E a pour coordonnées (0 ; 6) et le point F a pour coordonnées (3 ; 0). On précise que la droite (EF) est tangente à la courbe au point E et que la courbe admet au point B une tangente horizontale.

On note la fonction dérivée de la fonction .

>1.a) Par lecture graphique, déterminer la valeur de . (0,5 point)

b) Par lecture graphique, déterminer la valeur de . (0,5 point)

c) Exprimer en fonction de et . (0,75 point)

d) En utilisant les résultats précédents, déterminer les valeurs de et . On justifiera les calculs. (1 point)

Dans la suite de l’exercice, on prendra .

>2. Montrer que la fonction est convexe sur . (0,5 point)

>3. On admet que la courbe est située au-dessus de la droite . Soit le domaine délimité par la courbe , la droite , l’axe des ordonnées et la droite d’équation .

a) Hachurer sur le graphique. (0,5 point)

b) Calculer, en cm², l’aire du domaine . Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à 0,1 cm² près. (0,75 point)

>4. Déterminer la valeur exacte de l’abscisse du point B. (0,75 point)

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Annexe


Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Nombre dérivé, tangente • Dérivées usuelles • Fonction exponentielle • Convexité, point d’inflexion • Primitives usuelles • Aire d’un domaine plan.

Les conseils du correcteur

>  1. b)  est le coefficient directeur de la tangente à au point d’abscisse 0.

>  2. Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I est convexe sur cet intervalle si et seulement si pour tout I.

>  3. b) N’oubliez pas de tenir compte des unités graphiques.

>  4. B est le point de en lequel la tangente a un coefficient directeur égal à 0. Résolvez l’équation .

Corrigé

>1.a) Déterminer par lecture graphique l’image d’un nombre
par une fonction

La courbe représentative de la fonction passe par le point E(0 ; 6), donc :

b) Déterminer un nombre dérivé par lecture graphique

Notez bien

Le coefficient directeur d’une droite est le rapport de la variation de (ordonnées) et celle de (abscisses) entre deux points de la droite. On peut donc considérer que c’est la « variation de  » lorsque augmente de 1.

est le coefficient directeur de la droite (EF), tangente à au point E d’abscisse 0. Par lecture graphique, le coefficient directeur de la droite (EF) est égal à , d’où :

c) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout x ∈ ℝ, soit :

d) Calculer des paramètres liés à une fonction

, donc , soit .

, donc , donc , donc, puisque , , soit .

>2. Montrer qu’une fonction est convexe

.

La fonction est deux fois dérivable sur . Pour tout réel  : et .

Or la fonction exponentielle est strictement positive sur , donc pour tout réel . La fonction est donc convexe sur .

>3.a) Représenter graphiquement un domaine délimité par la courbe représentative d’une fonction

Sur la représentation graphique page suivante, le domaine 𝒮 est le domaine colorié.


b) Calculer une aire à l’aide d’une intégrale

Puisque la courbe est située au-dessus de la droite et qu’une unité d’aire est égale à 2 cm², l’aire (en cm²) du domaine est :

 ;

>4. Résoudre une équation liée à une fonction

La tangente à en B a pour coefficient directeur 0. L’abscisse de B est donc solution de l’équation .

Or, pour tout réel , . Donc équivaut successivement à :  ;  ;

Notez bien

. Ce résultat peut être vérifié sur le graphique.

 ;  ; .

Le point B en lequel admet une tangente horizontale a pour abscisse