Intégration. Sens de variation

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Intégration. Sens de variation

Analyse • Intégration

Corrigé

26

Ens. spécifique

matT_1200_00_07C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan (O ; , la courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [– 6 ; 6].

La droite d’équation est tangente à la courbe au point I de coordonnées (0 ; 3).


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ne rapporte ni n’enlève aucun point.

>1. Le nombre dérivé de en 0 est :

a) 0

b) 1

c) 3

>2. On pose J = . On peut affirmer que :

a)

b)

c)

>3. On appelle une primitive de sur l’intervalle  ; 6].

a) est croissante sur l’intervalle  ; 2] ;

b) est décroissante sur l’intervalle  ; 5] ;

c) est croissante sur l’intervalle [ ; 5].

>4. On considère la fonction définie sur l’intervalle  ; 6] par :

On peut affirmer que :

a) la fonction a les mêmes variations que sur l’intervalle  ; 6] ;

b) la fonction est strictement croissante sur l’intervalle  ; 6] ;

c) la fonction a les variations inverses de celles de f sur l’intervalle  ; 6].

Durée conseillée : 35 min.

Les thèmes en jeu

Nombre dérivé, tangente • Dérivées usuelles • Sens de variation • Fonction exponentielle • Primitives usuelles • Aire d’un domaine plan.

Les conseils du correcteur

>  1. Le nombre dérivé de en 0 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.

>  2. Puisque pour tout , J est l’aire sous la courbe entre et 0.

Corrigé

>1. Le nombre dérivé de en 0 est égal à 1, soit .

Notez bien

Si une droite a une équation de la forme , avec et réels fixés, alors son coefficient directeur est égal à .

En effet, le nombre dérivé de en 0 est le coefficient directeur de la droite , tangente à la courbe au point I(0 ; 3). La droite a pour équation , donc son coefficient directeur est égal à 1.

La bonne réponse est b).

>2. D’après le graphique, pour tout , donc J est l’aire sous la courbe entre et 0, donc J > 0, ce qui exclut les réponses a) et b).

On vérifie graphiquement que l’aire J est comprise entre 2 et 3 unités d’aire.

La bonne réponse est c).

>3. Si est une primitive de sur  ; 6], alors est dérivable sur  ; 6] et, pour tout , . Le sens de variation de dépend donc du signe de .

Notez bien

On peut affirmer que pour tout , car les points de la courbe dont l’abscisse appartient à l’intervalle sont situés au-dessus de l’axe des abscisses.

Or sur , change de signe, donc n’est pas monotone sur cet intervalle, ce qui élimine la réponse a).

D’autre part, pour tout , , donc est croissante sur [ ; 5].

La bonne réponse est c).

>4. D’après un résultat du cours, la fonction est dérivable sur l’intervalle [– 6 ; 6] et, pour tout appartenant à cet intervalle :

.

Or pour tout , donc et ont le même signe, ce qui entraîne que les fonctions et ont les mêmes variations.

La bonne réponse est a).