Fonction exponentielle

matT_1605_09_08C

Ens. spécifique

Liban • Mai 2016

Exercice 3 • 4 points

Intégrons !

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

$f (x) = \frac{1}{1 + e^{1 - x}}$ .

Partie A

▶ 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].

▶ 2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + e}$ (on rappelle que e = e1).

▶ 3. Montrer alors que $\int_{0}^{1} f (x) d x = \ln (2) + 1 - \ln (1 + e)$ .

Partie B

Soit n un entier naturel. On considère les fonctions fn définies sur [0 ; 1] par :

$f_{n} (x) = \frac{1}{1 + n e^{1 - x}}$ .

On note 𝒞n la courbe représentative de la fonction fn dans le plan muni d’un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général :

$u_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x$ .

▶ 1. On a tracé ci-après les courbes représentatives des fonctions fn pour n variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe 𝒞0 représentative de la fonction f0.

matT_1605_09_01C_02

▶ 2. Soit n un entier naturel, interpréter graphiquement un et préciser la valeur de u0.

▶ 3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite (un) ? Démontrer cette conjecture.

▶ 4. La suite (un) admet-elle une limite ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Dérivation et intégration • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Fonction exponentielle E8a • E8b • E8d • E8e → Partie A ; Partie B, 3.

Fonction logarithme népérien E9a • E9b → Partie A, 3.

Intégration E7c • E11 • E13 • E14 • E15c → Partie A, 3. ; Partie B, 1., 2. et 3.

Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie A, 1. et 3.

Suites E2a • E2b • E2e → Partie B, 3. et 4.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 3. Déterminez une primitive de la fonction f à l’aide de la question précédente. Calculez ensuite l’intégrale et concluez en utilisant quelques propriétés de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien.

Partie B

▶ 4. Pensez à utiliser le théorème de convergence monotone.

Corrigé

partie a

> 1. Étudier le sens de variation d’une fonction

Notons $v$ la fonction définie sur [0 ; 1] par $v (x) = 1 + e^{1 - x}$ . La fonction $v$ est dérivable sur [0 ; 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 ; 1] et sa dérivée est donnée par :

$v^{'} (x) = 0 - 1 \times e^{1 - x} = - e^{1 - x}$ .

Notez bien

Pour toute fonction $u$ dérivable sur $I,$ $e^{u}$ est dérivable sur $I$ et ${(e^{u})}^{'} = u^{'} \times e^{u}$ .

Comme $v$ est strictement positive sur [0 ; 1] elle ne s’y annule pas. La fonction $f,$ inverse de la fonction $v,$ est alors dérivable sur [0 ; 1] et sa dérivée est définie par :

$f^{'} (x) = {(\frac{1}{v})}^{'} (x) = - \frac{v^{'} (x)}{{(v (x))}^{2}} = - \frac{- e^{1 - x}}{{(1 + e^{1 - x})}^{2}} = \frac{e^{1 - x}}{{(1 + e^{1 - x})}^{2}}$ .

Pour tout réel $x$ de [0 ; 1], $e^{1 - x} > 0$ et ${(1 + e^{1 - x})}^{2} > 1 > 0$ . La dérivée $f^{'}$ étant strictement positive sur [0 ; 1] la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 1].

> 2. Démontrer une égalité

Notez bien

Pour tous réels $a, b$ : $e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ .

Pour tout réel $x$ de [0 ; 1] nous avons :

$\begin{matrix} f (x) = \frac{1}{1 + e^{1 - x}} = \frac{e^{x} \times 1}{e^{x} \times (1 + e^{1 - x})} \\ = \frac{e^{x}}{e^{x} \times 1 + e^{x} \times e^{1 - x}} \\ = \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{x + (1 - x)}} = \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{1}} = \frac{e^{x}}{e^{x} + e} . \end{matrix}$

Nous en concluons que pour tout x de [0 ; 1], $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + e}$ .

> 3. Calculer une intégrale

Notons $u$ la fonction définie sur [0 ; 1] par $u (x) = e^{x} + e$ . La fonction $u$ est dérivable sur [0 ; 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 ; 1] et sa dérivée est donnée par :

$u^{'} (x) = e^{x} + 0 = e^{x}$ .

Comme la fonction $f$ est dérivable sur [0 ; 1], elle est continue sur cet intervalle et y admet des primitives. La fonction $f$ étant égale à $\frac{u^{'}}{u}$ , avec $u$ dérivable et strictement positive sur [0 ; 1], une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur [0 ; 1] par :

$F (x) = \ln (u (x)) = \ln (e^{x} + e)$ .

Par conséquent, $\int_{0}^{1} f (x) d x = {[F (x)]}_{0}^{1} = F (1) - F (0) = \ln (e^{1} + e) - \ln (e^{0} + e)$ .

Or, ln(e1 + e) = ln(e + e) = ln(2e) = ln(2) + ln(e) = ln(2) + 1 et ln(e0 + e) = ln(1 + e).

Notez bien

$\ln (e) = 1$ ; $e^{0} = 1$ ; $e^{1} = e$ ; pour tous réels $a > 0$ et $b > 0,$ $\ln (a \times b) = \ln (a) + \ln (b) .$

Nous avons ainsi $\int_{0}^{1} f (x) d x = \ln (2) + 1 - ln (1 + e)$ .

partie b

> 1. Tracer une courbe représentative

La fonction $f_{0}$ est définie sur [0 ; 1] par $f_{0} (x) = \frac{1}{1 + 0 \times e^{1 - x}} = \frac{1}{1} = 1 .$ La fonction $f_{0}$ est donc constante sur cet intervalle et sa courbe représentative est l’ensemble des points d’abscisse $x (x \in [0; 1])$ et d’ordonnée 1.

matT_1605_09_01C_11

> 2. Interpréter une intégrale

Soit $n$ un entier naturel.

Notons $v_{n}$ la fonction définie sur [0 ; 1] par $v_{n} (x) = 1 + n e^{1 - x} .$

La fonction $f_{n}$ est l’inverse de la fonction $v_{n}$ sur cet intervalle.

Comme $v_{n}$ est strictement positive sur [0 ; 1] la fonction $f_{n}$ l’est également.

La fonction $v_{n}$ est dérivable sur [0 ; 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 ; 1] et elle ne s’y annule pas. La fonction $f_{n}$ est alors dérivable sur [0 ; 1] et par conséquent continue sur [0 ; 1].

Comme la fonction $f_{n}$ est continue et strictement positive sur [0 ; 1], l’intégrale de $f_{n}$ entre 0 et 1 qui est notée $u_{n}$ est l’aire exprimée en unités d’aire de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de $f_{n}$ , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = 1.

Par le point précédent et d’après la réponse à la question B 1., $u_{0}$ est l’aire du carré de côté une unité. Autrement dit, $u_{0} = 1 u.a$ .

> 3. Conjecturer et démontrer le sens de variation d’une suite

À l’aide du graphique donné dans l’énoncé et par l’interprétation graphique de $u_{n}$ établie à la question précédente, nous aurions : $u_{5} < u_{4} < u_{3} < u_{2} < u_{1} < u_{0} = 1 .$

La suite $(u_{n})$ serait alors strictement décroissante.

Soit $n$ un entier naturel. Nous avons naturellement $n + 1 > n .$

Soit $x$ un réel de l’intervalle [0 ; 1], une exponentielle étant toujours strictement positive, $e^{1 - x} > 0$ .

Notez bien

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0,$ $a < b \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b} .$

Par suite, nous avons :

$\begin{matrix} n + 1 > n \Rightarrow (n + 1) e^{1 - x} > n e^{1 - x} \\ \Rightarrow 1 + (n + 1) e^{1 - x} > 1 + n e^{1 - x} \\ \Rightarrow \frac{1}{1 + (n + 1) e^{1 - x}} < \frac{1}{1 + n e^{1 - x}} \begin{array}{l} (la fonction inverse est strictement \\ décroissante sur ] 0; + \infty [) \end{array} \\ \Rightarrow f_{n + 1} (x) < f_{n} (x) . (définition de f_{n}) \end{matrix}$

Ainsi, pour tout entier naturel $n,$ pour tout réel $x$ de [0 ; 1], $f_{n + 1} (x) < f_{n} (x) .$ En intégrant sur l’intervalle [0 ; 1], par propriété des intégrales, nous en déduisons que :

$\int_{0}^{1} f_{n + 1} (x) d x < \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x$ ce qui se note $u_{n + 1} < u_{n} .$

Nous en concluons que la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

> 4. Justifier l’existence d’une limite

D’après la question B 2., interprétation graphique de $u_{n},$ nous en déduisons que pour tout entier naturel $n,$ $u_{n} \geq 0 .$ La suite $(u_{n})$ est alors minorée par 0.

D’après la question B 3., la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

La suite $(u_{n})$ étant strictement décroissante et minorée, nous en déduisons, par le théorème de la convergence monotone, que la suite $(u_{n})$ converge.

Elle admet donc une limite.

Pas encore de compte ?

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Partie A

Partie B

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Partie B

partie a

> 1. Étudier le sens de variation d’une fonction

> 2. Démontrer une égalité

> 3. Calculer une intégrale

partie b

> 1. Tracer une courbe représentative

> 2. Interpréter une intégrale

> 3. Conjecturer et démontrer le sens de variation d’une suite

> 4. Justifier l’existence d’une limite

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