Fonction exponentielle
matT_1605_09_08C
Ens. spécifique
13
Liban • Mai 2016
Exercice 3 • 4 points
Intégrons !
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 1] par :
.
Partie A
▶ 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 1].
▶ 2. Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle [0 1], (on rappelle que e = e1).
▶ 3. Montrer alors que .
Partie B
Soit n un entier naturel. On considère les fonctions fn définies sur [0 1] par :
.
On note n la courbe représentative de la fonction fn dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On considère la suite de terme général :
.
▶ 1. On a tracé ci-après les courbes représentatives des fonctions fn pour n variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe 0 représentative de la fonction f0.
▶ 2. Soit n un entier naturel, interpréter graphiquement un et préciser la valeur de u0.
▶ 3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite (un) ? Démontrer cette conjecture.
▶ 4. La suite (un) admet-elle une limite ?
Les clés du sujet
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Dérivation et intégration • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Fonction exponentielle E8a • E8b • E8d • E8e → Partie A Partie B, 3.
Fonction logarithme népérien E9a • E9b → Partie A, 3.
Intégration E7c • E11 • E13 • E14 • E15c → Partie A, 3. Partie B, 1., 2. et 3.
Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie A, 1. et 3.
Suites E2a • E2b • E2e → Partie B, 3. et 4.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 3. Déterminez une primitive de la fonction f à l'aide de la question précédente. Calculez ensuite l'intégrale et concluez en utilisant quelques propriétés de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien.
Partie B
▶ 4. Pensez à utiliser le théorème de convergence monotone.
Corrigé
partie a
> 1. Étudier le sens de variation d'une fonction
Notons la fonction définie sur [0 1] par . La fonction est dérivable sur [0 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 1] et sa dérivée est donnée par :
.
Notez bien
Pour toute fonction dérivable sur est dérivable sur et .
Comme est strictement positive sur [0 1] elle ne s'y annule pas. La fonction inverse de la fonction est alors dérivable sur [0 1] et sa dérivée est définie par :
.
Pour tout réel de [0 1], et . La dérivée étant strictement positive sur [0 1] la fonction f est strictement croissante sur [0 1].
> 2. Démontrer une égalité
Notez bien
Pour tous réels : .
Pour tout réel de [0 1] nous avons :
Nous en concluons que pour tout x de [0 1], .
> 3. Calculer une intégrale
Notons la fonction définie sur [0 1] par . La fonction est dérivable sur [0 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 1] et sa dérivée est donnée par :
.
Comme la fonction est dérivable sur [0 1], elle est continue sur cet intervalle et y admet des primitives. La fonction étant égale à , avec dérivable et strictement positive sur [0 1], une primitive de est la fonction définie sur [0 1] par :
.
Par conséquent, .
Or, ln(e1 + e) = ln(e + e) = ln(2e) = ln(2) + ln(e) = ln(2) + 1 et ln(e0 + e) = ln(1 + e).
Notez bien
pour tous réels et
Nous avons ainsi .
partie b
> 1. Tracer une courbe représentative
La fonction est définie sur [0 1] par La fonction est donc constante sur cet intervalle et sa courbe représentative est l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée 1.
> 2. Interpréter une intégrale
Soit un entier naturel.
Notons la fonction définie sur [0 1] par
La fonction est l'inverse de la fonction sur cet intervalle.
Comme est strictement positive sur [0 1] la fonction l'est également.
La fonction est dérivable sur [0 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 1] et elle ne s'y annule pas. La fonction est alors dérivable sur [0 1] et par conséquent continue sur [0 1].
Comme la fonction est continue et strictement positive sur [0 1], l'intégrale de entre 0 et 1 qui est notée est l'aire exprimée en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1.
Par le point précédent et d'après la réponse à la question B 1., est l'aire du carré de côté une unité. Autrement dit, .
> 3. Conjecturer et démontrer le sens de variation d'une suite
À l'aide du graphique donné dans l'énoncé et par l'interprétation graphique de établie à la question précédente, nous aurions :
La suite serait alors strictement décroissante.
Soit un entier naturel. Nous avons naturellement
Soit un réel de l'intervalle [0 1], une exponentielle étant toujours strictement positive, .
Notez bien
Pour tous réels et
Par suite, nous avons :
Ainsi, pour tout entier naturel pour tout réel de [0 1], En intégrant sur l'intervalle [0 1], par propriété des intégrales, nous en déduisons que :
ce qui se note
Nous en concluons que la suite est strictement décroissante.
> 4. Justifier l'existence d'une limite
D'après la question B 2., interprétation graphique de nous en déduisons que pour tout entier naturel La suite est alors minorée par 0.
D'après la question B 3., la suite est strictement décroissante.
La suite étant strictement décroissante et minorée, nous en déduisons, par le théorème de la convergence monotone, que la suite converge.
Elle admet donc une limite.