Fonction exponentielle
matT_1605_09_08C
Ens. spécifique
13
Liban • Mai 2016
Exercice 3 • 4 points
Intégrons !
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 1] par :
.
Partie A
▶ 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 1].
▶ 2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 1], (on rappelle que e = e1).
▶ 3. Montrer alors que .
Partie B
Soit n un entier naturel. On considère les fonctions fn définies sur [0 1] par :
.
On note 𝒞 n la courbe représentative de la fonction fn dans le plan muni d’un repère orthonormé.
On considère la suite de terme général :
.
▶ 1. On a tracé ci-après les courbes représentatives des fonctions fn pour n variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe 𝒞 0 représentative de la fonction f0.
▶ 2. Soit n un entier naturel, interpréter graphiquement un et préciser la valeur de u0.
▶ 3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite (un) ? Démontrer cette conjecture.
▶ 4. La suite (un) admet-elle une limite ?
Les clés du sujet
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Dérivation et intégration • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Propriétés et formules
Fonction exponentielle E8a • E8b • E8d • E8e → Partie A Partie B, 3.
Fonction logarithme népérien E9a • E9b → Partie A, 3.
Intégration E7c • E11 • E13 • E14 • E15c → Partie A, 3. Partie B, 1., 2. et 3.
Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie A, 1. et 3.
Suites E2a • E2b • E2e → Partie B, 3. et 4.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 3. Déterminez une primitive de la fonction f à l’aide de la question précédente. Calculez ensuite l’intégrale et concluez en utilisant quelques propriétés de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien.
Partie B
▶ 4. Pensez à utiliser le théorème de convergence monotone.