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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2016

Exercice 3 • 4 points

Intégrons !

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f(x)=11+e1x.

Partie A

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].

2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], f(x)=exex+e (on rappelle que e = e1).

3. Montrer alors que 01f(x)dx=ln(2)+1ln(1+e).

Partie B

Soit n un entier naturel. On considère les fonctions fn définies sur [0 ; 1] par :

fn(x)=11+ne1x.

On note 𝒞n la courbe représentative de la fonction fn dans le plan muni d’un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général :

un=01fn(x)dx.

1. On a tracé ci-après les courbes représentatives des fonctions fn pour n variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe 𝒞0 représentative de la fonction f0.

matT_1605_09_01C_02

2. Soit n un entier naturel, interpréter graphiquement un et préciser la valeur de u0.

3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite (un) ? Démontrer cette conjecture.

4. La suite (un) admet-elle une limite ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Dérivation et intégration • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Fonction exponentielle  E8a • E8b • E8d • E8e  Partie A ; Partie B, 3.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9b  Partie A, 3.

Intégration  E7c • E11 • E13 • E14 • E15c  Partie A, 3. ; Partie B, 1., 2. et 3.

Dérivation  E6c • E6e • E6f  Partie A, 1. et 3.

Suites  E2a • E2b • E2e  Partie B, 3. et 4.

Nos coups de pouce

Partie A

3. Déterminez une primitive de la fonction f à l’aide de la question précédente. Calculez ensuite l’intégrale et concluez en utilisant quelques propriétés de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien.

Partie B

4. Pensez à utiliser le théorème de convergence monotone.

Corrigé

Corrigé

partie a

> 1. Étudier le sens de variation d’une fonction

Notons v la fonction définie sur [0 ; 1] par v(x)=1+e1x. La fonction v est dérivable sur [0 ; 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 ; 1] et sa dérivée est donnée par :

v(x)=01×e1x=e1x.

Notez bien

Pour toute fonction u dérivable sur I,eu est dérivable sur I et (eu)=u×eu.

Comme v est strictement positive sur [0 ; 1] elle ne s’y annule pas. La fonction f, inverse de la fonction v, est alors dérivable sur [0 ; 1] et sa dérivée est définie par :

f(x)=(1v)(x)=v(x)(v(x))2=e1x(1+e1x)2=e1x(1+e1x)2.

Pour tout réel x de [0 ; 1], e1x>0 et (1+e1x)2>1>0. La dérivée f étant strictement positive sur [0 ; 1] la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 1].

> 2. Démontrer une égalité

Notez bien

Pour tous réels a,b : ea×eb=ea+b.

Pour tout réel x de [0 ; 1] nous avons :

f(x)=11+e1x=ex×1ex×(1+e1x)=exex×1+ex×e1x=exex+ex+(1x)=exex+e1=exex+e.

Nous en concluons que pour tout x de [0 ; 1], f(x)=exex+e.

> 3. Calculer une intégrale

Notons u la fonction définie sur [0 ; 1] par u(x)=ex+e. La fonction u est dérivable sur [0 ; 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 ; 1] et sa dérivée est donnée par :

u(x)=ex+0=ex.

Comme la fonction f est dérivable sur [0 ; 1], elle est continue sur cet intervalle et y admet des primitives. La fonction f étant égale à uu, avec u dérivable et strictement positive sur [0 ; 1], une primitive de f est la fonction F définie sur [0 ; 1] par :

F(x)=ln(u(x))=ln(ex+e).

Par conséquent, 01f(x)dx=[F(x)]01=F(1)F(0)=ln(e1+e)ln(e0+e).

Or, ln(e1 + e) = ln(e + e) = ln(2e) = ln(2) + ln(e) = ln(2) + 1 et ln(e0 + e) = ln(1 + e).

Notez bien

ln(e)=1 ; e0=1 ; e1=e ; pour tous réels a>0 et b>0,ln(a×b)=ln(a)+ln(b).

Nous avons ainsi 01f(x)dx=ln(2)+1ln(1+e).

partie b

> 1. Tracer une courbe représentative

La fonction f0 est définie sur [0 ; 1] par f0(x)=11+0×e1x=11=1. La fonction f0 est donc constante sur cet intervalle et sa courbe représentative est l’ensemble des points d’abscisse x (x[0 ; 1]) et d’ordonnée 1.

matT_1605_09_01C_11

> 2. Interpréter une intégrale

Soit n un entier naturel.

Notons vn la fonction définie sur [0 ; 1] par vn(x)=1+ne1x.

La fonction fn est l’inverse de la fonction vn sur cet intervalle.

Comme vn est strictement positive sur [0 ; 1] la fonction fn l’est également.

La fonction vn est dérivable sur [0 ; 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 ; 1] et elle ne s’y annule pas. La fonction fn est alors dérivable sur [0 ; 1] et par conséquent continue sur [0 ; 1].

Comme la fonctionfn est continue et strictement positive sur [0 ; 1], l’intégrale de fn entre 0 et 1 qui est notée un est l’aire exprimée en unités d’aire de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de fn, l’axe des abscisses et les droites d’équation = 0 et x = 1.

Par le point précédent et d’après la réponse à la question B 1., u0 est l’aire du carré de côté une unité. Autrement dit, u0=1 u.a.

> 3. Conjecturer et démontrer le sens de variation d’une suite

À l’aide du graphique donné dans l’énoncé et par l’interprétation graphique de un établie à la question précédente, nous aurions : u5<u4<u3<u2<u1<u0=1.

La suite (un) serait alors strictement décroissante.

Soit n un entier naturel. Nous avons naturellement n+1>n.

Soit x un réel de l’intervalle [0 ; 1], une exponentielle étant toujours strictement positive, e1x>0.

Notez bien

Pour tous réels a>0 et b>0,a<b1a>1b.

Par suite, nous avons :

n+1>n(n+1)e1x>ne1x1+(n+1)e1x>1+ne1x11+(n+1)e1x<11+ne1x(la fonction inverse est strictementdécroissante sur ]0;+[) fn+1(x)<fn(x).(définition de fn)

Ainsi, pour tout entier naturel n, pour tout réel x de [0 ; 1], fn+1(x)<fn(x). En intégrant sur l’intervalle [0 ; 1], par propriété des intégrales, nous en déduisons que :

01fn+1(x)dx<01fn(x)dx ce qui se note un+1<un.

Nous en concluons que la suite (un) est strictement décroissante.

> 4. Justifier l’existence d’une limite

D’après la question B 2., interprétation graphique de un, nous en déduisons que pour tout entier naturel n,un0. La suite (un) est alors minorée par 0.

D’après la question B 3., la suite (un) est strictement décroissante.

La suite (un) étant strictement décroissante et minorée, nous en déduisons, par le théorème de la convergence monotone, que la suite (un) converge.

Elle admet donc une limite.