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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient

Liban • Mai 2016

Exercice 3 • 4 points

Intégrons !

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0   1] par :

f(x)=11+e1x.

Partie A

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0   1].

2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0   1], f(x)=exex+e (on rappelle que e = e1).

3. Montrer alors que 01f(x)dx=ln(2)+1ln(1+e).

Partie B

Soit n un entier naturel. On considère les fonctions fn définies sur [0   1] par :

fn(x)=11+ne1x.

On note n la courbe représentative de la fonction fn dans le plan muni d’un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général :

un=01fn(x)dx.

1. On a tracé ci-après les courbes représentatives des fonctions fn pour n variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe 0 représentative de la fonction f0.

matT_1605_09_01C_02

2. Soit n un entier naturel, interpréter graphiquement un et préciser la valeur de u0.

3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite (un) ? Démontrer cette conjecture.

4. La suite (un) admet-elle une limite ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Dérivation et intégration • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Fonction exponentielle  E8a • E8b • E8d • E8e  Partie A  Partie B, 3.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9b  Partie A, 3.

Intégration  E7c • E11 • E13 • E14 • E15c  Partie A, 3.  Partie B, 1., 2. et 3.

Dérivation  E6c • E6e • E6f  Partie A, 1. et 3.

Suites  E2a • E2b • E2e  Partie B, 3. et 4.

Nos coups de pouce

Partie A

3. Déterminez une primitive de la fonction f à l’aide de la question précédente. Calculez ensuite l’intégrale et concluez en utilisant quelques propriétés de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien.

Partie B

4. Pensez à utiliser le théorème de convergence monotone.

Pour lire la suite :