On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0   1] par :

$f(x)=\frac{1}{1+{\text{e}}^{1-x}}$.

Partie A

▶ 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0   1].

▶ 2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0   1], $f(x)=\frac{{\text{e}}^x}{{\text{e}}^x+\text{e}}$ (on rappelle que e = e1).

▶ 3. Montrer alors que ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=\ln (2)+1-\ln (1+\text{e})}$.

Partie B

Soit n un entier naturel. On considère les fonctions fn définies sur [0   1] par :

$f_n(x)=\frac{1}{1+n{\text{e}}^{1-x}}$.

On note n la courbe représentative de la fonction fn dans le plan muni d’un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général :

$u_n={\displaystyle {\int }_0^1{f}_n}(x)\text{d}x$.

▶ 1. On a tracé ci-après les courbes représentatives des fonctions fn pour n variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe 0 représentative de la fonction f0.

▶ 2. Soit n un entier naturel, interpréter graphiquement un et préciser la valeur de u0.

▶ 3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite (un) ? Démontrer cette conjecture.

▶ 4. La suite (un) admet-elle une limite ?