Corrigé

partie a

> 1. Étudier le sens de variation d'une fonction

Notons v la fonction définie sur [0   1] par v(x)=1+e1−x. La fonction v est dérivable sur [0   1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0   1] et sa dérivée est donnée par :

v′(x)=0−1×e1−x=−e1−x.

Comme v est strictement positive sur [0   1] elle ne s'y annule pas. La fonction f, inverse de la fonction v, est alors dérivable sur [0   1] et sa dérivée est définie par :

f′(x)=(1v)′(x)=−v′(x)(v(x))2=−−e1−x(1+e1−x)2=e1−x(1+e1−x)2.

Pour tout réel x de [0   1], e1−x>0 et (1+e1−x)2>1>0. La dérivée f′ étant strictement positive sur [0   1] la fonction f est strictement croissante sur [0  1].

> 2. Démontrer une égalité

Pour tout réel x de [0   1] nous avons :

f(x)=11+e1−x=ex×1ex×(1+e1−x)=exex×1+ex×e1−x=exex+ex+(1−x)=exex+e1=exex+e.

Nous en concluons que pour tout x de [0  1], f(x)=exex+e.

> 3. Calculer une intégrale

Notons u la fonction définie sur [0   1] par u(x)=ex+e. La fonction u est dérivable sur [0   1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0   1] et sa dérivée est donnée par :

u′(x)=ex+0=ex.

Comme la fonction f est dérivable sur [0   1], elle est continue sur cet intervalle et y admet des primitives. La fonction f étant égale à u′u, avec u dérivable et strictement positive sur [0   1], une primitive de f est la fonction F définie sur [0   1] par :

F(x)=ln(u(x))=ln(ex+e).

Par conséquent, ∫01f(x)dx=[F(x)]01=F(1)−F(0)=ln(e1+e)−ln(e0+e).

Or, ln(e1 + e) = ln(e + e) = ln(2e) = ln(2) + ln(e) = ln(2) + 1 et ln(e0 + e) = ln(1 + e).

Nous avons ainsi ∫01f(x)dx=ln(2)+1−ln(1+e).

partie b

> 1. Tracer une courbe représentative

La fonction f0 est définie sur [0   1] par f0(x)=11+0×e1−x=11=1. La fonction f0 est donc constante sur cet intervalle et sa courbe représentative est l'ensemble des points d'abscisse x (x∈[0 1]) et d'ordonnée 1.

> 2. Interpréter une intégrale

Soit n un entier naturel.

Notons vn la fonction définie sur [0   1] par vn(x)=1+ne1−x.

La fonction fn est l'inverse de la fonction vn sur cet intervalle.

Comme vn est strictement positive sur [0   1] la fonction fn l'est également.

La fonction vn est dérivable sur [0   1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0   1] et elle ne s'y annule pas. La fonction fn est alors dérivable sur [0   1] et par conséquent continue sur [0   1].

Comme la fonctionfn est continue et strictement positive sur [0   1], l'intégrale de fn entre 0 et 1 qui est notée un est l'aire exprimée en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de fn, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1.

Par le point précédent et d'après la réponse à la question B 1., u0 est l'aire du carré de côté une unité. Autrement dit, u0=1 u.a.

> 3. Conjecturer et démontrer le sens de variation d'une suite

À l'aide du graphique donné dans l'énoncé et par l'interprétation graphique de un établie à la question précédente, nous aurions :

La suite (un) serait alors strictement décroissante.

Soit n un entier naturel. Nous avons naturellement n+1>n.

Soit x un réel de l'intervalle [0   1], une exponentielle étant toujours strictement positive, e1−x>0.

Par suite, nous avons :

Ainsi, pour tout entier naturel n, pour tout réel x de [0   1], En intégrant sur l'intervalle [0   1], par propriété des intégrales, nous en déduisons que :

ce qui se note

Nous en concluons que la suite (un) est strictement décroissante.

> 4. Justifier l'existence d'une limite

D'après la question B 2., interprétation graphique de un, nous en déduisons que pour tout entier naturel n,un≥0. La suite (un) est alors minorée par 0.

D'après la question B 3., la suite (un) est strictement décroissante.

La suite (un) étant strictement décroissante et minorée, nous en déduisons, par le théorème de la convergence monotone, que la suite (un) converge.

Elle admet donc une limite.