Terminale générale Mathématiques Vecteurs, droites et plans de l'espace

ALGÈBRE • GÉOMÉTRIE

Vecteurs, droites et plans de l'espace

matT_2000_00_38C

Vecteurs, droites et plans de l'espace

Intersection de trois plans de l'espace

50 min

5 points

Intérêt du sujet • Ce sujet vous propose d'étudier les positions relatives et l'intersection de plans ou de droites et de plans, dans le cas où les droites sont les axes du repère orthonormé et les plans sont les plans dits de coordonnées (passant par O et de vecteurs normaux respectifs $\vec{i}$ , $\vec{j}$ et $\vec{k}$ ).

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

On complétera le repère ci-après au fur et à mesure de l'exercice.

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▶ 1. On donne le plan $P$ d'équation $2 x + 2 y + 3 z = 6$ .

a) Déterminer les coordonnées des points A, B et C, intersections du plan $P$ avec, respectivement, les axes $(O; \vec{i})$ , $(O; \vec{j})$ et $(O; \vec{k})$ du repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

Placer ces points dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

On rappelle que l'axe $(O; \vec{i}),$ par exemple, est défini par le système d'équations :

$\{\begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ .

b) Tracer les droites d'intersection du plan $P$ avec les plans de coordonnées du repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

(On admettra que le plan $P$ n'est parallèle à aucun plan de coordonnées du repère et que les intersections de $P$ avec ces plans sont des droites.)

▶ 2. On considère le plan $Q$ d'équation $x + 2 y = 2$ .

a) Déterminer les coordonnées des points d'intersections du plan $Q$ avec l'axe $(O; \vec{i})$ et avec l'axe $(O; \vec{j})$ .

Placer ces points dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

b) Démontrer, par deux méthodes différentes, que le plan Q et l'axe $(O; \vec{k})$ sont parallèles.

c) Tracer les droites d'intersections du plan $Q$ avec les plans de coordonnées du repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

d) Tracer la droite d'intersection des deux plans $P$ et $Q$ .

Les clés du sujet

▶ 1. a) Remarquez que pour chaque point, deux des trois coordonnées sont nulles. Calculez la troisième à l'aide de l'équation du plan $P$ .

b) Trouvez deux points appartenant à chaque intersection avec les plans de coordonnées du repère.

▶ 2. a) Comme pour la question 1. a), remarquez que pour chaque point, deux des trois coordonnées sont nulles. Calculez la troisième à l'aide de l'équation du plan $Q$ .

b) Pensez à un raisonnement par l'absurde ou utilisez un vecteur normal au plan $Q$ .

c) Utilisez le fait que le plan $Q$ est parallèle à un des axes de coordonnées.

d) Trouvez deux points appartenant à l'intersection des plans $P$ et $Q$ .

▶ 1. a) Déterminer les coordonnées du point d'intersection d'un plan et d'une droite

Le point $A (x; y; z)$ appartient au plan $P$ d'équation $2 x + 2 y + 3 z = 6$ et à l'axe $(O; \vec{i})$ défini par le système d'équations $\{\begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ .

Les coordonnées du point $A$ vérifient donc le système $\{\begin{cases} 2 x + 2 y + 3 z = 6 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ .

En particulier, $2 x + 2 \times 0 + 3 \times 0 = 6$ , soit $2 x = 6$ ou encore $x = 3$ .

D'où $A (3; 0; 0)$ .

Le point $B (x; y; z)$ appartient au plan $P$ d'équation $2 x + 2 y + 3 z = 6$ et à l'axe $(O; \vec{j})$ défini par le système d'équations $\{\begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ .

Les coordonnées du point $B$ vérifient donc le système $\{\begin{cases} 2 x + 2 y + 3 z = 6 \\ x = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ .

En particulier, $2 \times 0 + 2 y + 3 \times 0 = 6$ , soit $2 y = 6$ et donc $y = 3$ .

D'où $B (0; 3; 0)$ .

Le point $C (x; y; z)$ appartient au plan $P$ d'équation $2 x + 2 y + 3 z = 6$ et à l'axe $(O; \vec{k})$ défini par le système d'équations $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ .

Les coordonnées du point $C$ vérifient donc le système $\{\begin{cases} 2 x + 2 y + 3 z = 6 \\ x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ .

En particulier, $2 \times 0 + 2 \times 0 + 3 z = 6$ , soit $3 z = 6$ , c'est-à-dire $z = 2$ .

D'où $C (0; 0; 2)$ .

Voir la figure ci-après.

b) Tracer la droite intersection de deux plans

Pour dessiner l'intersection de deux plans sécants, qui est une droite, il suffit de déterminer deux points qui appartiennent à ces deux plans, puis de tracer la droite passant par ces deux points.

Les points A et C appartiennent au plan $P$ et au plan $(O; \vec{i}, \vec{k})$ qui sont non parallèles et donc sécants selon une droite, la droite $(AC)$ .

Les points A et B appartiennent au plan $P$ et au plan $(O; \vec{i}, \vec{j})$ qui sont non parallèles et donc sécants selon une droite, la droite $(AB)$ .

Les points B et C appartiennent au plan $P$ et au plan $(O; \vec{j}, \vec{k})$ qui sont non parallèles et donc sécants selon une droite, la droite $(BC)$ .

Voir la figure page suivante.

▶ 2. a) Déterminer les coordonnées du point d'intersection d'un plan et d'une droite

On utilise le même raisonnement qu'au 1. a).

Les coordonnées du point $M (x; y; z)$ d'intersection du plan $Q$ d'équation $x + 2 y = 2$ et de l'axe $(O; \vec{i})$ vérifient le système :

$\{\begin{cases} x + 2 y = 2 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ donc $M (2; 0; 0)$ .

De même, les coordonnées du point $N (x; y; z)$ d'intersection du plan $Q$ et de l'axe $(O; \vec{j})$ vérifient le système $\{\begin{cases} x + 2 y = 2 \\ x = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ donc $N (0; 1; 0)$ .

b) Montrer qu'un plan et une droite sont parallèles

1^re méthode

Démontrons que l'axe $(O; \vec{k})$ et le plan $Q$ ne sont pas sécants.

Si c'était le cas, les coordonnées du point d'intersection vérifieraient le système $\{\begin{cases} x + 2 y = 2 \\ x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ donc $\{\begin{cases} x = 2 \\ x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ .

La première et la deuxième équations sont en contradiction donc, c'est impossible.

On conclut que plan $Q$ et l'axe $(O; \vec{k})$ ne sont pas sécants, ils sont donc parallèles.

2^e méthode

à noter

Soit $D$ une droite et $P$ un plan de l'espace, $\vec{u} \neq \vec{0}$ un vecteur directeur de $D$ et $\vec{n} \neq \vec{0}$ un vecteur normal à $P$ .

$D$ // $P$ $\Leftrightarrow$ $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux $\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ .

Le plan $Q$ a pour équation $x + 2 y = 2$ , donc le vecteur $\vec{n} (1; 2; 0)$ est normal au plan. Or $\vec{n} \cdot \vec{k} = 1 \times 0 + 2 \times 0 + 0 \times 1 = 0$ , donc le plan $Q$ et l'axe $(O; \vec{k})$ sont parallèles.

c) Tracer la droite intersection de deux plans

Les points M et N appartiennent au plan $Q$ et au plan $(O; \vec{i}, \vec{j})$ qui sont non parallèles et donc sécants selon une droite, la droite $(MN)$ .

Le plan $Q$ passe par les points M et N et est parallèle à l'axe $(O; \vec{k})$ .

Ses intersections avec les plans $(O; \vec{i}, \vec{k})$ et $(O; \vec{j}, \vec{k})$ sont les droites parallèles à l'axe $(O; \vec{k})$ , passant respectivement par le point M et par le point N. Voir la figure ci-dessous.

d) Tracer la droite intersection de deux plans

À partir des tracés précédents, nous pouvons observer que deux points des plans de coordonnées $(O; \vec{i}, \vec{k})$ et $(O; \vec{j}, \vec{k})$ du repère appartiennent aux plans $P$ et $Q$ . La droite d'intersection des plans $P$ et $Q$ est la droite passant par ces deux points.

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