Intersections de droites et de plans

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Intersections de droites et de plans
 
 

Géométrie dans l' espace

Corrigé

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Ens. spécifique

matT_1305_02_09C

 

Amérique du Nord • Mai 2013

Exercice 1 • 5 points

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.

On considère les points A(0 4 1), B(1 3 0), C(2 &minus 1 &minus 2) et D(7   &minus 1 4).

>1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

>2. Soit Δ la droite passant par le point D et de vecteur directeur (2   &minus &thinsp 1 3).

a) Démontrer que la droite Δ est orthogonale au plan (ABC).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.

d) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite Δ et du plan (ABC).

>3. Soit P1 le plan d’équation x +y +z= 0 et P2 le plan d’équation x+ 4y + 2 = 0.

a) Démontrer que les plans P1 et P2 sont sécants.

b) Vérifier que la droite d, intersection des plans P1 et P2, a pour représentation paramétrique .

c) La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Géométrie vectorielle  E27 • E30 1., 2. a), 2. c) et 3. b)
  • Produit scalaire  E31 • E32 • E33 2. a) et 3. c)
  • Positions relatives  E24 2. d), 3. a) et 3. c)

Nos coups de pouce

>2. b) Identifiez un vecteur normal au plan (ABC) pour écrire le début d’une équation cartésienne de ce plan. Utilisez les coordonnées d’un point du plan (ABC) pour déterminer le coefficient manquant dans cette équation.

>2. d) Pensez à résoudre un système d’équations avec l’équation cartésienne de (ABC) déterminée à la question 2. b) et la représentation paramétrique de la droite déterminée à la question 2. c).

>3. b) Vérifiez directement que est incluse dans chacun des deux plans à l’aide de la représentation paramétrique fournie ou résolvez le système d’équations formé des équations cartésiennes des deux plans pour retrouver la représentation paramétrique attendue. Choisissez dans ce cas la bonne variable comme paramètre pour la représentation paramétrique.