Intersections de droites et de plans

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Intersections de droites et de plans
 
 

Géométrie dans l'espace

Corrigé

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Ens. spécifique

matT_1305_02_09C

 

Amérique du Nord • Mai 2013

Exercice 1 • 5 points

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.

On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ; − 1 ; − 2) et D(7 ; − 1 ; 4).

>1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

>2. Soit Δ la droite passant par le point D et de vecteur directeur (2 ; − 1 ; 3).

a) Démontrer que la droite Δ est orthogonale au plan (ABC).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.

d) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite Δ et du plan (ABC).

>3. Soit P1 le plan d’équation x +y +z= 0 et P2 le plan d’équation x+ 4y + 2 = 0.

a) Démontrer que les plans P1 et P2 sont sécants.

b) Vérifier que la droite d, intersection des plans P1 et P2, a pour représentation paramétrique .

c) La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Géométrie vectorielle  E27 • E30 1., 2. a), 2. c) et 3. b)
  • Produit scalaire  E31 • E32 • E33 2. a) et 3. c)
  • Positions relatives  E24 2. d), 3. a) et 3. c)

Nos coups de pouce

>2. b) Identifiez un vecteur normal au plan (ABC) pour écrire le début d’une équation cartésienne de ce plan. Utilisez les coordonnées d’un point du plan (ABC) pour déterminer le coefficient manquant dans cette équation.

>2. d) Pensez à résoudre un système d’équations avec l’équation cartésienne de (ABC) déterminée à la question 2. b) et la représentation paramétrique de la droite déterminée à la question 2. c).

>3. b) Vérifiez directement que est incluse dans chacun des deux plans à l’aide de la représentation paramétrique fournie ou résolvez le système d’équations formé des équations cartésiennes des deux plans pour retrouver la représentation paramétrique attendue. Choisissez dans ce cas la bonne variable comme paramètre pour la représentation paramétrique.

Corrigé

>1. Montrer que des points ne sont pas alignés

On détermine les coordonnées des vecteurs et .

et

Comme les coordonnées des vecteurs et ne sont pas proportionnelles, les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont donc pas alignés.

>2.a) Démontrer qu’une droite est orthogonale à un plan

Il suffit de démontrer que le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), ici les vecteurs et .

donc et sont orthogonaux.

donc et sont orthogonaux.

Comme est orthogonal aux vecteurs et qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), on en déduit que est orthogonal au plan (ABC).

b) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

est orthogonal au plan (ABC) donc c’est un vecteur normal à (ABC).

Une équation cartésienne de (ABC) est donc d est un réel à déterminer.

Or A appartient au plan (ABC) donc soit encore .

Finalement d= 1 et une équation cartésienne du plan (ABC) est .

c) Déterminer une représentation paramétrique de droite

Le point D appartient à la droite et est un vecteur directeur de , donc une représentation paramétrique de est donnée par :

d) Étudier l’intersection d’une droite et d’un plan

La droite D et le plan (ABC) sont orthogonaux donc ils sont sécants. Les coordonnées de H sont donc la solution du système suivant :

Ce système équivaut à

Ce dernier système est équivalent à

Cela équivaut finalement à

Les coordonnées du point H sont donc H(3 ; 1 ; - 2).

>3.a) Démontrer que deux plans sont sécants

Soient et deux vecteurs normaux respectivement aux plans P1 et P2.

et ne sont pas colinéaires donc les plans P1 et P2 ne sont pas parallèles donc ils sont sécants (suivant une droite).

b) Identifier une représentation paramétrique d’une droite

  • Première méthode

On vérifie que d est incluse dans chacun des plans P1 et P2.

Pour cela, on remplace les variables x, y et z de la représentation paramétrique de d dans chacune des équations cartésiennes des plans P1 et P2.

Pour tout nombre réel t :

donc tous les points de d appartiennent à P1 donc d est incluse dans P1.

donc tous les points de d appartiennent à P2 donc d est incluse dans P2.

La représentation paramétrique fournie est bien celle de la droite d, intersection des plans P1 et P2.

  • Deuxième méthode

On cherche une représentation paramétrique de d en résolvant un système d’équations composé des équations cartésiennes de chacun des plans P1 et P2.

Ce dernier système est équivalent à . En posant y =t, cela équivaut finalement au système , qui est une représentation paramétrique de la droite d, celle qui était demandée.

c) Étudier la position d’une droite par rapport à un plan

Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d. Le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC).

donc et sont orthogonaux. On en déduit donc que la droite d et le plan (ABC) sont parallèles.

Remarque : Le point E(- 2 ; 0 ; 2) est un point de la droite d, on vérifie que . Le point E n’appartient donc pas au plan (ABC). Cela signifie que la droite d et le plan (ABC) sont strictement parallèles.