Intersections de plans

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace - Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Intersections de plans

Géométrie dans l’espace

Corrigé

28

Ens. spécifique

matT_1200_00_54C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé .

On considère la droite D passant par les points et .

On appelle P le plan d’équation et Q le plan d’équation .


>1. Démontrer que les plans P et Q sont perpendiculaires. (1 point)

>2. Démontrer que l’intersection des plans P et Q est la droite D. (1 point)

>3.a) Démontrer que les plans P et Q coupent l’axe . (0,5 point)

b) Déterminer les coordonnées des points et , intersections respectives des plans P et Q avec l’axe . (0,5 point)

>4. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan R passant par B et de vecteur normal est . (1 point)

>5.a) Donner une représentation paramétrique de la droite . (0,25 point)

b) Démontrer que la droite et le plan R sont sécants en un point dont on déterminera les coordonnées. (0,25 point)

>6. Que représente le point pour le triangle  ? Justifier. (0,5 point)

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes en jeu

Produits scalaires • Droites et plans dans l’espace.

Les conseils du correcteur

>  1. Déterminez un vecteur normal à chacun des plans. → fiche  C41 B 

>  2. Démontrez que les points et appartiennent aux deux plans.

>  3. Démontrez que des vecteurs normaux aux plans P et Q ne sont pas orthogonaux au vecteur . Que peut-on dire des coordonnées d’un point de l’axe  ? → fiche  C38 

>  4. Déterminez les coordonnées du vecteur .→ fiche  C41 B 

>  5. Démontrez que les vecteurs et ne sont pas orthogonaux. → fiches  C38 E C42

>  6. Démontrez que le point appartient au plan , puis utilisez d’une part la définition du point , d’autre part ses coordonnées.

Que peut-on dire du vecteur  ? du vecteur  ?

Corrigé

>1. Démontrer que deux plans sont perpendiculaires

Un vecteur normal au plan P d’équation est .

Un vecteur normal au plan Q d’équation est .

, donc les vecteurs et sont orthogonaux.

On en déduit que les plans P et Q sont perpendiculaires.

>2. Déterminer l’intersection de deux plans

Les plans P et Q sont sécants, donc leur intersection est une droite. Démontrons qu’il s’agit de la droite D= (AI).

Pour cela, il suffit de démontrer que A et I appartiennent à P et à Q.

et  ; P :  ; Q : .

, donc , et , donc  ;

, donc , et , donc .

Ainsi, les points A et I appartiennent à l’intersection des plans P et Q qui est une droite, donc l’intersection des plans P et Q est la droite D = (AI).

>3. Étudier la position relative d’un plan et d’une droite

a) Démontrons que les plans P et Q ne sont pas parallèles à l’axe .

et sont des vecteurs normaux aux plans P et Q respectivement, et est un vecteur directeur de l’axe .

, donc et ne sont pas orthogonaux.

On en déduit que le plan P n’est pas parallèle à l’axe .

De même, , donc et ne sont pas orthogonaux.

On en déduit que le plan P n’est pas parallèle à l’axe .

Les deux plans P et Q coupent donc l’axe .

b) Déterminons les coordonnées des points et , intersections respectives des plans P et Q avec l’axe .

B appartient à l’axe , donc B a pour coordonnées .

D’autre part, B appartient à P, donc , soit .

B a donc pour coordonnées (0 ; 3 ; 0).

De même, C appartient à l’axe , donc C a pour coordonnées .

D’autre part, C appartient à Q, donc , soit .

C a donc pour coordonnées (0 ; – 12 ; 0).

>4. Déterminer une équation cartésienne d’un plan

a pour coordonnées

soit .

Le vecteur est un vecteur normal au plan R, donc R a une équation cartésienne de la forme .

Déterminons la valeur de .

Le point appartient à R, donc ses coordonnées vérifient l’équation du plan : , soit .

Une équation cartésienne du plan R est donc ou encore en divisant tous les termes par .

>5.a) Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

La droite passe par le point et a pour vecteur directeur , donc une représentation paramétrique de cette droite est :

b) Étudier la position relative d’une droite et d’un plan

est un vecteur normal au plan R et est un vecteur directeur de (OA).

, donc et ne sont pas orthogonaux, ce qui prouve que le plan R et la droite ne sont pas parallèles. Ils sont donc sécants, en un point .

Déterminer les coordonnées de H revient à déterminer le réel t tel que , c’est-à-dire tel que

La dernière équation donne , soit et .

H a donc pour coordonnées soit .

>6. Démontrer qu’un point est l’orthocentre d’un triangle

  • Démontrons que les points A, B et C définissent un plan, c’est-à-dire qu’ils ne sont pas alignés.

a pour coordonnées soit .

a pour coordonnées .

Les vecteurs et ne sont pas colinéaires, donc les points A, B, C ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

  • Démontrons que le point appartient au plan .

donc . De plus, donc .

donc .

  • Les points et appartiennent au plan R de vecteur normal , donc les vecteurs et sont orthogonaux, ce qui prouve que les droites (BH) et (AC) sont orthogonales. Or elles sont coplanaires, donc elles sont perpendiculaires.

Ainsi, est la hauteur issue de dans le triangle .

  • Démontrons que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

et soit .

, ce qui prouve que les vecteurs sont orthogonaux.

Les droites (AH) et (BC) sont donc orthogonales. Or elles sont coplanaires, donc elles sont perpendiculaires.

Ainsi, est la hauteur issue de A dans le triangle .

  • Deux des trois hauteurs du triangle se coupent en ,

donc H est l’orthocentre du triangle .