Corrigé

partie a

▶ 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D'après l'énoncé, p(I)=0,01 (la maladie cœliaque touche environ 1 % de la population) etpI(T)=0,2 (20 % des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées), d'où l'arbre :

▶ 2. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements

L'événement « la personne choisie est intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée » est I∩T&macr.

D'après l'arbre ci-dessus : p(I∩T&macr )=0,01×0,8=0,008.

La probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée est 0,008.

▶ 3. Calculer la probabilité d'un événement

Puisque I et I&macr forment une partition de l'univers :

p(T)=p(I∩T)+p(I&macr ∩T).

Mais p(I&macr ∩T)=p(T/I&macr )×p(I&macr )=0 (« si une personne n'est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test »), donc, d'après l'arbre :

p(T)=0,01×0,2

p(T)=0,002

partie b

▶ 1. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les premiers symptômes est p(9 ≤ X ≤ 13).

D'après la calculatrice :

p(9≤X≤13)≈0,383à10−3près

▶ 2. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Puisque X suit une loi normale d'espérance 11 :

p(X≤6)=p(X≤11)−p(6≤X≤11)=0,5−p(6≤X≤11).

D'après la calculatrice :

p(X≤6)≈0,106à10−3près

▶ 3. Estimer et interpréter un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

On cherche le réel a tel que p(X≤a)=0,84.

D'après la calculatrice, en utilisant la fonction InvNorm ou FracNormale et en arrondissant à l'unité :

a=15

Donc, pour 84 % des personnes intolérantes au gluten, la maladie cœliaque est diagnostiquée dans un délai de 15 ans après l'apparition des premiers symptômes.

▶ 4. Reconnaître la courbe représentative de la fonction de densité d'une loi normale de paramètres donnés

La loi de X a pour espérance μ = 11, donc la droite d'équation x = 11 est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité, ce qui exclut la courbe 1.

D'autre part, si f est la fonction de densité de la loi de X, p(9 ≤ X ≤ 13) est l'aire sous la courbe de f entre 9 et 13.

Sur le graphique donné, chaque rectangle du quadrillage a une aire égale à 0,02. Le domaine délimité par la courbe 2, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 9 et x = 11 a une aire égale à environ 19 rectangles, ce qui correspond à une probabilité d'environ 0,38  le domaine analogue délimité par la courbe 3 a une aire égale à environ 11 rectangles, ce qui correspond à une probabilité d'environ 0,22.

Or on a vu à la question 1. que p(9≤X≤13)≈0,383.

La courbe représentant la fonction de densité de la loi normale d'espérance μ=11 et d'écart-type σ=4 est donc la courbe 2.