Annale corrigée Exercice

Intolérance au gluten et diagnostic

Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 3 • 5 points • 45 min

Intolérance au gluten et diagnostic

Les thèmes clés

Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale.

 

D'après l'AFDIAG (Association française des intolérants au gluten), la maladie cœliaque, aussi appelée intolérance au gluten, est une des maladies digestives les plus fréquentes. Elle touche environ 1 % de la population.

On estime que seulement 20 % des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées.

On considère que si une personne n'est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test pour être diagnostiquée.

On choisit au hasard une personne dans la population française qui compte environ 66,6 millions d'habitants au 1er janvier 2016.

On considère les événements :

I : « la personne choisie est intolérante au gluten » 

T : « la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée ».

partie a

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous : (1 point)

matT_1706_02_00C_01

2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée. (0,5 point)

3. Montrer que p(T= 0,002. (0,75 point)

partie b

L'AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.

On note X la variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l'apparition des premiers symptômes.

On admet que la loi de X peut être assimilée à la loi normale d'espérance μ = 11 et d'écart-type σ = 4.

1. Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les premiers symptômes. Arrondir le résultat à 103. (0,5 point)

2. Calculer p(X  6). Arrondir le résultat à 103. (0,5 point)

3. Sachant que p(X  a) = 0,84, donner la valeur de a arrondie à l'unité.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. (0,75 point)

4. Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d'espérance μ = 11 et d'écart-type σ = 4 ? Justifier le choix. On pourra s'aider des réponses aux questions précédentes. (1 point)

matT_1706_02_00C_02

Les clés du sujet

Partie A

1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés.

2. On demande la probabilité de l'intersection de deux événements.

Partie B

1., 2. et 3. Utilisez la calculatrice.

4. Regardez dans un premier temps l'axe de symétrie des courbes, puis l'aire sous les courbes entre 9 et 13.

Corrigé

partie a

1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D'après l'énoncé, p(I)=0,01 (la maladie cœliaque touche environ 1 % de la population) etpI(T)=0,2 (20 % des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées), d'où l'arbre :

matT_1706_02_00C_06

2. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements

L'événement « la personne choisie est intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée » est IT&macr .

D'après l'arbre ci-dessus : p(IT&macr )=0,01×0,8=0,008.

La probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée est 0,008.

3. Calculer la probabilité d'un événement

Puisque I et I&macr forment une partition de l'univers :

p(T)=p(IT)+p(I&macr T).

Mais p(I&macr T)=p(T/I&macr )×p(I&macr )=0 (« si une personne n'est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test »), donc, d'après l'arbre :

p(T)=0,01×0,2

p(T)=0,002

partie b

1. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les premiers symptômes est p(9 X  13).

D'après la calculatrice :

p(9X13)0,383à103près

2. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Puisque X suit une loi normale d'espérance 11 :

p(X6)=p(X11)p(6X11)=0,5p(6X11).

D'après la calculatrice :

p(X6)0,106à103près

3. Estimer et interpréter un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

On cherche le réel a tel que p(Xa)=0,84.

D'après la calculatrice, en utilisant la fonction InvNorm ou FracNormale et en arrondissant à l'unité :

a=15

Donc, pour 84 % des personnes intolérantes au gluten, la maladie cœliaque est diagnostiquée dans un délai de 15 ans après l'apparition des premiers symptômes.

4. Reconnaître la courbe représentative de la fonction de densité d'une loi normale de paramètres donnés

La loi de X a pour espérance μ = 11, donc la droite d'équation x = 11 est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité, ce qui exclut la courbe 1.

D'autre part, si f est la fonction de densité de la loi de X, p(9  X  13) est l'aire sous la courbe de f entre 9 et 13.

Sur le graphique donné, chaque rectangle du quadrillage a une aire égale à 0,02. Le domaine délimité par la courbe 2, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 9 et x = 11 a une aire égale à environ 19 rectangles, ce qui correspond à une probabilité d'environ 0,38  le domaine analogue délimité par la courbe 3 a une aire égale à environ 11 rectangles, ce qui correspond à une probabilité d'environ 0,22.

Or on a vu à la question 1. que p(9X13)0,383.

La courbe représentant la fonction de densité de la loi normale d'espérance μ=11 et d'écart-type σ=4 est donc la courbe 2.

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