Troisième Mathématiques Écrire et exécuter un programme simple

Écrire et exécuter un programme simple

S'entraîner

mat3_1805_12_07C

Pondichéry • Mai 2018

Jeu de fléchettes

Exercice 5

15 min

20 points

Dans tout l'exercice, l'unité de longueur est le mm.

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On lance une fléchette sur une plaque carrée sur laquelle figure une cible circulaire (en bleu sur la figure). Si la pointe de la fléchette est sur le bord de la cible, on considère que la cible n'est pas atteinte.

On considère que cette expérience est aléatoire et l'on s'intéresse à la probabilité que la fléchette atteigne la cible.

La longueur du côté de la plaque carrée est 200.

Le rayon de la cible est 100.

La fléchette est représentée par le point F de coordonnées (x ; y) où x et y sont des nombres aléatoires compris entre − 100 et 100.

▶ 1. Dans l'exemple ci-dessus, la fléchette F est située au point de coordonnées (72 ; 54).

Montrer que la distance OF, entre la fléchette et l'origine du repère, est 90.

▶ 2. D'une façon générale, quel nombre ne doit pas dépasser la distance OF pour que la fléchette atteigne la cible ?

▶ 3. On réalise un programme qui simule plusieurs fois le lancer de cette fléchette sur la plaque carrée et qui compte le nombre de lancers atteignant la cible. Le programmeur a créé trois variables nommées : carré de OF, distance et score.

a) Lorsqu'on exécute ce programme, combien de lancers sont simulés ?

b) Quel est le rôle de la variable score ?

c) Compléter et recopier sur la copie uniquement les lignes 5, 6 et 7 du programme afin qu'il fonctionne correctement.

d) Après une exécution du programme, la variable score est égale à 102. À quelle fréquence la cible a-t-elle été atteinte dans cette simulation ? Exprimer le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

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▶ 4. On admet que la probabilité d'atteindre la cible est égale au quotient : aire de la cible divisée par aire de la plaque carrée. Donner une valeur approchée de cette probabilité au centième près.

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

Le traditionnel jeu de fléchettes sert ici de base au travail de l'algorithmique, mais aussi à revoir le théorème de Pythagore et les calculs d'aire d'un disque.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 4 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Utiliser le théorème de Pythagore; Repère l'hypoténuse du triangle OHF, puis applique le théorème de Pythagore avec OH = 72 et HF = 54.; Ligne 2 : ▶ 2. Observer une figure; Demande-toi quel est le rayon maximal de la cible.; Ligne 3 : ▶ 3. Comprendre un programme Scratch; a) Regarde la valeur dans la boucle « répéter ».b) Dès que la cible est atteinte, la variable « score » est incrémentée de 1.c) L'abscisse du point F correspond à la longueur OH et son ordonnée à la longueur HF. La distance de la flèche au centre correspond à la longueur OF.Remarque que la variable « score » augmente de 1 lorsque la distance est inférieure à 100.; Ligne 4 : ▶ 4. Calculer une probabilité par quotient d'aires; Souviens-toi que Airedisque = π × r2.;

rappel

Pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, pense au théorème de Pythagore !

▶ 1. Le triangle OHF est rectangle en H donc d'après le théorème de Pythagore on a :

${OF}^{2} = {OH}^{2} + {HF}^{2}$

${OF}^{2} = 72^{2} + 54^{2}$

${OF}^{2} = 8 100$

$OF = \sqrt[]{8 100} = 90$

$La distance OF vaut 90.$

▶ 2. La distance OF ne doit pas dépasser la valeur 100 puisque c'est le rayon maximal de la cible.

▶ 3. a) La boucle « répéter » nous indique que 120 lancers ont été simulés.

b) La variable score compte le nombre de fois où la cible a été atteinte.

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d) La cible a été atteinte avec une fréquence de $\frac{102}{120} = \frac{17}{20}$ .

▶ 4. Aire_cible = $π \times r^{2} = π \times 100^{2} = 10 000 π$

Aire_rectangle = c × c = 200 × 200 = 40 000

La probabilité d'atteindre la cible est de $\frac{10 000 π}{40 000} \approx 0,79$ .

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