Troisième Mathématiques Utiliser les probabilités

Utiliser les probabilités

S'entraîner

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Pondichéry • Mai 2018

Jeu de hasard

Exercice 1

15 min

13 points

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On considère un jeu composé d'un plateau tournant et d'une boule. Représenté ci-dessous, ce plateau comporte 13 cases numérotées de 0 à 12.

On lance la boule sur le plateau. La boule finit par s'arrêter au hasard sur une case numérotée.

La boule a la même probabilité de s'arrêter sur chaque case.

▶ 1. Quelle est la probabilité que la boule s'arrête sur la case numérotée 8 ?

▶ 2. Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur lequel la boule s'arrête soit un nombre impair ?

▶ 3. Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur lequel la boule s'arrête soit un nombre premier ?

▶ 4. Lors des deux derniers lancers, la boule s'est arrêtée à chaque fois sur la case numérotée 9. A-t-on maintenant plus de chances que la boule s'arrête sur la case numérotée 9 plutôt que sur la case numérotée 7 ? Argumenter à l'aide d'un calcul de probabilités.

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

De l'importance du français ! Dans l'étude des probabilités, on rencontre un vocabulaire « nouveau ». Par exemple, il est question de hasard, d'événements, de « résultats favorables », de « résultats possibles », d'arbres pondérés, etc. Un dictionnaire peut être utile !

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Rédiger un exercice de probabilité; N'oublie pas qu'une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 (cela te permet de détecter des erreurs grossières).Si E est un événement et si les résultats d'une expérience ont tous la même probabilité, alors :p(E)= nombre de résultats favorablesnombre de résultats possibles.; Ligne 2 : ▶ 2. et ▶ 3. Utiliser les définitions et les propriétés des probabilités; Utilise la même formule de probabilité. Dans chaque cas, compte le nombre de cas favorables : le nombre de cases qui portent un nombre impair, le nombre de cases avec un nombre premier.; Ligne 3 : ▶ 4. Comprendre le déroulé d'une expérience aléatoire; Utilise la définition de l'énoncé : « La boule a la même probabilité de s'arrêter sur chaque case. »On parle alors d'équiprobabilité.;

▶ 1. Notons E₁ l'événement : « la boule s'arrête sur la case numérotée 8 ». Chaque case a la même probabilité de recevoir la boule, alors :

$p (E_{1}) = \frac{nombre de résultats favorables}{nombre de résultats possibles}$ .

Il existe une seule case numérotée 8 et 13 cases possibles.

$p (E_{1}) = \frac{1}{13}$

▶ 2. Notons E₂ l'événement : « la boule s'arrête sur une case désignée par un numéro impair ».

Il existe 6 cases désignées par un numéro impair (1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11) et 13 cases possibles.

$p (E_{2}) = \frac{6}{13}$

▶ 3. Notons E₃ l'événement : « la boule s'arrête sur une case désignée par un nombre premier ».

rappel

2 admet exactement deux diviseurs distincts (1 et lui-même). 2 est donc bien un nombre premier.

Il existe 5 cases désignées par un nombre premier (2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11) et 13 cases possibles.

$p (E_{3}) = \frac{5}{13}$

▶ 4. Notons E₄ et E₅ les événements respectifs : « la boule s'arrête sur la case numérotée 9 » et « la boule s'arrête sur la case numérotée 7 ».

Il existe une seule case numérotée 9 et une seule case numérotée 7. Alors :

$p (E_{4}) = p (E_{5}) = \frac{1}{13}$

Conclusion : il n'y a donc pas plus de chance que la boule s'arrête sur la case numérotée 9 plutôt que sur la case numérotée 7.

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