Annale corrigée Exercice

Jeu de hasard sur ordinateur

Suites numériques

Jeu de hasard sur ordinateur

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  En modélisant un jeu de hasard à l'aide d'un arbre de probabilité faisant intervenir des probabilités conditionnelles, construisez une suite arithmético-géométrique puis déterminez son comportement.

 

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 14 ;

si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est 12 ;

la probabilité de gagner la première partie est 14.

Pour tout entier naturel n non nul, on note Gn l'événement « la n-ième partie est gagnée » et on note pn la probabilité de cet événement. On a donc p1=14.

1. Montrer que p2=716.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn+1=14pn+12.

3. On obtient ainsi les premières valeurs de pn :

Tableau de 2 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : n; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; Ligne 2 : pn; 0,25; 0,4375; 0,3906; 0,4023; 0,3994; 0,4001; 0,3999;

Quelle conjecture peut-on émettre ?

4. On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite (un) par un un=pn25.

a) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, pn=2532014n1.

c) La suite (pn) converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.

Les clés du sujet

1. Pensez à construire un arbre pondéré avec les événements G1 et G2 et leurs événements contraires pour vous aider à déterminer p2 avec la formule des probabilités totales.

2. Pensez à construire un arbre pondéré avec les événements Gn et Gn+1 et leurs événements contraires pour vous aider à déterminer la relation proposée avec la formule des probabilités totales.

1. Calculer une probabilité

Comme P(G1) = p1 = 0,25, on a immédiatement P(G1¯)=1P(G1)=0,75.

Si le joueur gagne la première partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 14=0,25 ; il s'agit d'une probabilité conditionnelle : c'est la probabilité que l'événement G2 se réalise sachant que l'événement G1 est déjà réalisé. Nous avons donc PG1(G2)=0,25.

Il vient alors PG1(G2¯)=1PG1(G2)=10,25=0,75.

matT_1805_09_00C_04

Si le joueur perd la première partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est 12=0,5. Nous avons donc PG1¯(G2¯)=0,5.

Il vient alors :

PG1¯(G2)=1PG1¯(G2¯) = 1 – 0,5 = 0,5.

Résumons ces données à l'aide d'un arbre pondéré :

Il vient alors, par la formule des probabilités totales :

p2=P(G2)=P(G1G2)+P(G1¯G2)=P(G1)×PG1(G2)+P(G1¯)×PG1¯(G2)=0,25×0,25+0,75×0,5=0,4375=716.

2. Établir une formule de récurrence

Pour tout entier naturel n non nul :

La probabilité que la n-ième partie soit gagnée est la probabilité de l'événement Gn. On a P(Gn) = pn.

Il vient alors immédiatement P(Gn¯)=1P(Gn)=1pn

Si le joueur gagne la n-ième partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 14=0,25. Nous avons donc PGn(Gn+1)=0,25.

Il vient alors PGn(Gn+1¯)=1PGn(Gn+1)=10,25=0,75.

Si le joueur perd la n-ième partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est 12=0,5. Nous avons donc PGn¯(Gn+1¯)=0,5.

Il vient alors PGn¯(Gn+1)=1PGn¯(Gn+1¯)=10,5=0,5.

Résumons ces données à l'aide d'un arbre pondéré :

matT_1805_09_00C_05

Il vient alors, par la formule des probabilités totales, pour tout entier naturel n non nul :

pn+1=P(Gn+1)=P(GnGn+1)+P(Gn¯Gn+1)=P(Gn)×PGn(Gn+1)+ P(Gn¯)×PGn¯(Gn+1)=pn×0,25+(1pn)×0,5=0,25pn+0,5=14pn+12.

3. Émettre des conjectures sur une suite

Les termes de la suite (pn) se rapprochent de plus en plus de la valeur 0,4 quand n augmente.

Il semblerait donc que la suite (pn) converge vers 0,4.

4. a) Démontrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n non nul :

un+1=pn+125=14pn+1225=14pn+110=14pn25=14un.

La suite (un) est donc géométrique de raison q=14.

b) Déterminer la formule explicite pour une suite

u1=p125=1425=320.

Pour tout entier naturel n non nul :

un=u1×14n1=320×14n1 et pn=un+25.

Donc pn=25320×14n1.

c) Étudier la convergence d'une suite

D'après la question 4. b), pour tout entier naturel n non nul :

pn=25320×14n1.

rappel

Si - 1 q limn+qn=0.

limn+14n1=0 ; par produit et différence, il en résulte que limn+pn=25=0,4.

La suite (pn) converge donc vers 0,4.

Au bout d'un grand nombre de parties, la probabilité que le joueur gagne une partie va se stabiliser à 0,4, celle qu'il perde une partie va se stabiliser à 0,6.

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