Analyse
Suites numériques
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matT_2000_00_11C
Suites numériques
Jeu de hasard sur ordinateur
Intérêt du sujet • En modélisant un jeu de hasard à l'aide d'un arbre de probabilité faisant intervenir des probabilités conditionnelles, construisez une suite arithmético-géométrique puis déterminez son comportement.
Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :
si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est ;
si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est ;
la probabilité de gagner la première partie est .
Pour tout entier naturel n non nul, on note Gn l'événement « la n-ième partie est gagnée » et on note pn la probabilité de cet événement. On a donc .
▶ 1. Montrer que .
▶ 2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, .
▶ 3. On obtient ainsi les premières valeurs de pn :
Quelle conjecture peut-on émettre ?
▶ 4. On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite par un .
a) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, .
c) La suite converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
Les clés du sujet
▶ 1. Pensez à construire un arbre pondéré avec les événements G1 et G2 et leurs événements contraires pour vous aider à déterminer p2 avec la formule des probabilités totales.
▶ 2. Pensez à construire un arbre pondéré avec les événements Gn et Gn+1 et leurs événements contraires pour vous aider à déterminer la relation proposée avec la formule des probabilités totales.
▶ 1. Calculer une probabilité
Comme P(G1) = p1 = 0,25, on a immédiatement .
Si le joueur gagne la première partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est ; il s'agit d'une probabilité conditionnelle : c'est la probabilité que l'événement G2 se réalise sachant que l'événement G1 est déjà réalisé. Nous avons donc .
Il vient alors .
Si le joueur perd la première partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est . Nous avons donc .
Il vient alors :
= 1 – 0,5 = 0,5.
Résumons ces données à l'aide d'un arbre pondéré :
Il vient alors, par la formule des probabilités totales :
▶ 2. Établir une formule de récurrence
Pour tout entier naturel n non nul :
La probabilité que la n-ième partie soit gagnée est la probabilité de l'événement Gn. On a P(Gn) = pn.
Il vient alors immédiatement .
Si le joueur gagne la n-ième partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est . Nous avons donc .
Il vient alors .
Si le joueur perd la n-ième partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est . Nous avons donc .
Il vient alors .
Résumons ces données à l'aide d'un arbre pondéré :
Il vient alors, par la formule des probabilités totales, pour tout entier naturel n non nul :
▶ 3. Émettre des conjectures sur une suite
Les termes de la suite (pn) se rapprochent de plus en plus de la valeur 0,4 quand n augmente.
Il semblerait donc que la suite converge vers 0,4.
▶ 4. a) Démontrer qu'une suite est géométrique
Pour tout entier naturel n non nul :
La suite est donc géométrique de raison .
b) Déterminer la formule explicite pour une suite
.
Pour tout entier naturel n non nul :
et .
Donc .
c) Étudier la convergence d'une suite
D'après la question 4. b), pour tout entier naturel n non nul :
rappel
Si - 1 q .
; par produit et différence, il en résulte que .
La suite converge donc vers 0,4.
Au bout d'un grand nombre de parties, la probabilité que le joueur gagne une partie va se stabiliser à 0,4, celle qu'il perde une partie va se stabiliser à 0,6.