▶ 1. Calculer une probabilité

Comme P(G₁) = p₁ = 0,25, on a immédiatement $P(\overline{{\text{G}}_1})=1-P({\text{G}}_1)=\mathrm{0,75}$.

Si le joueur gagne la première partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est $\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$ ; il s'agit d'une probabilité conditionnelle : c'est la probabilité que l'événement G₂ se réalise sachant que l'événement G₁ est déjà réalisé. Nous avons donc $P_{{\text{G}}_1}({\text{G}}_2)=\mathrm{0,25}$.

Il vient alors $P_{{\text{G}}_1}(\overline{{\text{G}}_2})=1-P_{{\text{G}}_1}({\text{G}}_2)=1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}$.

Si le joueur perd la première partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$. Nous avons donc $P_{\overline{G_1}}(\overline{{\text{G}}_2})=\mathrm{0,5}$.

Il vient alors :

$P_{\overline{{\text{G}}_1}}({\text{G}}_2)=1-P_{\overline{{\text{G}}_1}}(\overline{{\text{G}}_2})$ = 1 – 0,5 = 0,5.

Résumons ces données à l'aide d'un arbre pondéré :

Il vient alors, par la formule des probabilités totales :

$\begin{array}{c}{p}_2=P\left({\text{G}}_2\right)=P({\text{G}}_1\cap {\text{G}}_2)+P(\overline{{\text{G}}_1}\cap {\text{G}}_2)\\ =P\left({\text{G}}_1\right)\times P_{{\text{G}}_1}\left({\text{G}}_2\right)+P\left(\overline{{\text{G}}_1}\right)\times P{}_{\overline{{\text{G}}_1}}\left({\text{G}}_2\right)\\ =\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,25}+\mathrm{0,75}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,4375}=\frac{7}{16}.\end{array}$

▶ 2. Établir une formule de récurrence

Pour tout entier naturel n non nul :

La probabilité que la n-ième partie soit gagnée est la probabilité de l'événement G_n. On a P(G_n) = p_n.

Il vient alors immédiatement $P(\overline{{\text{G}}_n})=1-P({\text{G}}_n)=1-p_n$. 

Si le joueur gagne la n-ième partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est $\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$. Nous avons donc $P_{{\text{G}}_n}({\text{G}}_{n+1})=\mathrm{0,25}$.

Il vient alors $P_{{\text{G}}_n}(\overline{{\text{G}}_{n+1}})=1-P_{{\text{G}}_n}({\text{G}}_{n+1})=1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}$.

Si le joueur perd la n-ième partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$. Nous avons donc $P_{\overline{G_n}}(\overline{G_{n+1}})=\mathrm{0,5}$.

Il vient alors $P_{\overline{G_n}}(G_{n+1})=1-P_{\overline{G_n}}(\overline{G_{n+1}})=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$.

Résumons ces données à l'aide d'un arbre pondéré :

Il vient alors, par la formule des probabilités totales, pour tout entier naturel n non nul :

$\begin{array}{l}{p}_{n+1}=P\left({\text{G}}_{n+1}\right)=P({\text{G}}_n\cap {\text{G}}_{n+1})+P(\overline{{\text{G}}_n}\cap {\text{G}}_{n+1})\\ =P\left({\text{G}}_n\right)\times P_{{\text{G}}_n}\left({\text{G}}_{n+1}\right)+P\left(\overline{{\text{G}}_n}\right)\times P_{\overline{{\text{G}}_n}}\left({\text{G}}_{n+1}\right)\\ =p_n\times \mathrm{0,25}+(1-p_n)\times \mathrm{0,5}\\ =-\mathrm{0,25}{p}_n+\mathrm{0,5}=-\frac{1}{4}{p}_n+\frac{1}{2}.\end{array}$

▶ 3. Émettre des conjectures sur une suite

Les termes de la suite (p_n) se rapprochent de plus en plus de la valeur 0,4 quand n augmente.

Il semblerait donc que la suite $(p_n)$ converge vers 0,4.

▶ 4. a) Démontrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n non nul :

$\begin{array}{c}{u}_{n+1}=p_{n+1}-\frac{2}{5}=\left(-\frac{1}{4}{p}_n+\frac{1}{2}\right)-\frac{2}{5}\\ =-\frac{1}{4}{p}_n+\frac{1}{10}=-\frac{1}{4}\left(p_n-\frac{2}{5}\right)=-\frac{1}{4}{u}_n.\end{array}$

La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=-\frac{1}{4}$.

b) Déterminer la formule explicite pour une suite

$u_1=p_1-\frac{2}{5}=\frac{1}{4}-\frac{2}{5}=-\frac{3}{20}$.

Pour tout entier naturel n non nul :

$u_n=u_1\times {\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=-\frac{3}{20}\times {\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$ et $p_n=u_n+\frac{2}{5}$.

Donc $p_n=\frac{2}{5}-\frac{3}{20}\times {\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$.

c) Étudier la convergence d'une suite

D'après la question 4. b), pour tout entier naturel n non nul :

$p_n=\frac{2}{5}-\frac{3}{20}\times {\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n-1}.$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=0$ ; par produit et différence, il en résulte que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{p}_n=\frac{2}{5}=\text{0,4}$.

La suite $(p_n)$ converge donc vers 0,4.

Au bout d'un grand nombre de parties, la probabilité que le joueur gagne une partie va se stabiliser à 0,4, celle qu'il perde une partie va se stabiliser à 0,6.