Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Jeu en équipe et durée d'une partie

Probabilités et statistiques • Notion de loi à densité

Corrigé

Ens. Spécifique

matT_1306_01_06C

Afrique • Juin 2013

Exercice 4 • 4 points

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

> 1. Paul se connecte sur le site. La durée (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [20 120].

a) Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes. (0,75 point)

b) Calculer l'espérance mathématique de . Interpréter ce résultat. (0,5 point)

> 2. L'équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée (en minute) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(120, 400).

a) Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire . (0,5 point)

b) Montrer l'équivalence :

. (0,75 point)

c) On définit la variable aléatoire par .

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire . (0,5 point)

d) Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près. (1 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Loi de probabilité • Loi à densité

Les conseils du correcteur

> 1. a) Puisque suit une loi uniforme, la probabilité qu'elle prenne une valeur appartenant à un intervalle donné est proportionnelle à l'amplitude de cet intervalle.

> 2. a) Si suit la loi normale N(120, 400), alors 400 est le carré de son écart-type.

> 1.a) Déterminer une probabilité associée à une loi uniforme

La probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes est .

suit la loi uniforme sur l'intervalle [20 120], donc :

b) Calculer l'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme

L'espérance mathématique de est .

En moyenne, les joueurs sont réunis au bout de 70 secondes.

> 2.a) Donner les paramètres de la loi d'une variable aléatoire

Notez bien

L'écart-type d'une variable aléatoire est toujours un réel positif.

La variable aléatoire suit la loi normale N(120, 400), donc son espérance est et son écart-type est tel que , donc .

b) Démontrer l'équivalence de deux encadrements

D'où :

c) Déterminer la loi d'une variable aléatoire

Notez bien

Si la variable aléatoire suit la loi normale d'espérance et d'écart-type , alors suit la loi normale centrée réduite N(0, 1) est la variable centrée réduite associée à .

Puisque suit la loi normale d'espérance 120 et d'écart-type 20, suit la loi normale centrée réduite, c'est-à-dire la loi N(0, 1) (loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 1).

d) Calculer une probabilité associée à une loi normale

La probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes (c'est-à-dire entre 1 h 30 et 3 h) est d'après la question précédente, cette probabilité est égale à .

Avec la calculatrice on obtient :