Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

&gt  1. Paul se connecte sur le site. La durée  (en seconde) qu&rsquo il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l&rsquo intervalle [20  120].

a) Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes. (0,75 point)

b) Calculer l&rsquo espérance mathématique de . Interpréter ce résultat. (0,5 point)

&gt  2. L&rsquo équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée  (en minute) d&rsquo une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(120, 400).

a) Déterminer l&rsquo espérance et l&rsquo écart-type de la variable aléatoire . (0,5 point)

b) Montrer l&rsquo équivalence :

. (0,75 point)

c) On définit la variable aléatoire  par .

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire . (0,5 point)

d) Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près. (1 point)