Partie A

▶ 1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation

D’après l’énoncé, la situation peut être modélisée par l’arbre suivant :

En effet :

$P(\text{R})=\mathrm{0,07}$ (« la probabilité de tirer un objet rare est de 7 % »), donc $P(\overline{\text{R}})=\mathrm{0,93}$ ;

$P_{\text{R}}(\text{E})=\mathrm{0,8}$ (« si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80 % »), donc $P_{\text{R}}(\overline{\text{E}})=\mathrm{0,2}$ ;

$P_{\overline{\text{R}}}(\text{E})=\mathrm{0,4}$ (« si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40 % »), donc $P_{\overline{\text{R}}}(\overline{\text{E}})=\mathrm{0,6}$.

▶ 2. Calculer la probabilité d’un événement

R et $\overline{\text{R}}$ forment une partition de l’univers, donc, d’après la formule des probabilités totales : $P(\text{E})=P(\text{R}\cap \text{E})+P(\overline{\text{R}}\cap \text{E})$.

D’après l’arbre, $P(\text{E})=\mathrm{0,07}\times \mathrm{0,8}+\mathrm{0,93}\times \mathrm{0,4}$

$P(\text{E})=\mathrm{0,428}$.

La probabilité de tirer une épée est égale à 0,428.

▶ 3. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est P_E(R).

Par définition d’une probabilité conditionnelle, $P_{\text{E}}(\text{R})=\frac{P(\text{R}\cap \text{E})}{P(\text{E})}$.

Donc $P_{\text{E}}\text{(R)=}\frac{\mathrm{0,07}\times \mathrm{0,8}}{\mathrm{0,428}}$, soit P_E(R) ≈ 0,131.

Si le joueur a tiré une épée, la probabilité que ce soit un objet rare est environ 0,131 (arrondi au millième).

Partie B

▶ 1. Déterminer la loi d’une variable aléatoire et calculer son espérance

L’expérience est un schéma de Bernoulli formé de la répétition de 30 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Le succès est l’événement R : « le joueur tire un objet rare », la probabilité de succès est 0,07. La variable aléatoire X est égale au nombre de succès, elle suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=\mathrm{0,07}$, notée B(30 ; 0,07).

L’espérance E(X) de X est $E(X)=30\times \mathrm{0,07}$, soit $E(X)=\mathrm{2,1}$.

▶ 2. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

$P(X<6)=P(X\le 5)$ car X ne prend que des valeurs entières.

D’après la calculatrice $P(X<6)\approx \mathrm{0,984}$ (en arrondissant au millième).

▶ 3. Déterminer la valeur maximale d’un entier vérifiant une condition donnée

D’après la calculatrice :

$P(X\ge 2)=P(X>1)\approx \mathrm{0,631}$ et $P(X\ge 3)=P(X>2)\approx \mathrm{0,351}$, donc $P(X\ge 2)>\mathrm{0,5}$ et $P(X\ge 3)<\mathrm{0,5}$, donc la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X\ge k)\ge \mathrm{0,5}$ est 2.

▶ 4. Déterminer la valeur minimale d’un entier pour atteindre un objectif donné

L’événement « le joueur obtient au moins un objet rare » a pour événement contraire « le joueur n’obtient que des objets communs », qui a pour probabilité ${\mathrm{0,93}}^N$ car les N tirages sont indépendants et, pour chacun, la probabilité de tirer un objet commun est égale à 0,93. La probabilité que le joueur obtienne au moins un objet rare est supérieure ou égale à 0,95 si, et seulement si, la probabilité qu’il n’obtienne que des objets communs est strictement inférieure à 0,05.

On cherche donc N tel que ${\mathrm{0,93}}^N<\mathrm{0,05}$.

$\begin{array}{c}{\mathrm{0,93}}^N<\mathrm{0,05}\iff N\ln (\mathrm{0,93})<\text{ln(0,05)}\\ \iff N>\frac{\text{ln(0,05)}}{\text{ln(0,93)}}.\end{array}$

Or $\frac{\text{ln}(\mathrm{0,05})}{\text{ln}(\mathrm{0,93})}\approx \mathrm{41,28}$, donc la plus petite valeur de N telle que la probabilité qu’un joueur obtienne au moins un objet rare lors de N tirages soit supérieure ou égale à 0,95 est 42.