Matrices et applications

ENS. DE SPÉCIALITÉ

matT_1711_03_04C

Amérique du Sud • Novembre 2017

Exercice 5 • 5 points • ⏱ 1 h

Jeu vidéo en ligne

Les thèmes clés

Matrices • Algorithmique

Dans un jeu vidéo en ligne, les joueurs peuvent décider de rejoindre l'équipe A (statut noté A) ou l'équipe B (statut noté B) ou bien de n'en rejoindre aucune et rester ainsi solitaire (statut noté S). Chaque jour, chaque joueur peut changer de statut mais ne peut pas se retirer du jeu. Les données recueillies sur les premières semaines après le lancement du jeu ont permis de dégager les tendances suivantes :

un joueur de l'équipe A y reste le jour suivant avec une probabilité de 0,6 il devient joueur solitaire avec une probabilité de 0,25. Sinon, il rejoint l'équipe B

un joueur de l'équipe B y reste le jour suivant avec une probabilité de 0,6 sinon, il devient joueur solitaire avec une probabilité identique à celle de rejoindre l'équipe A

un joueur solitaire garde ce statut le jour suivant avec une probabilité de $\frac{1}{7}$ il rejoint l'équipe B avec une probabilité 3 fois plus élevée que celle de rejoindre l'équipe A.

Au début du jeu, à la clôture des inscriptions, tous les joueurs sont solitaires.

On note Un = (an bn sn) l'état probabiliste des statuts d'un joueur au bout de n jours. Ainsi an est la probabilité d'être dans l'équipe A, bn, celle d'être dans l'équipe B et sn celle d'être un joueur solitaire, après n jours de jeu.

On a donc : a0 = 0, b0 = 0 et s0 = 1.

▶ 1. On note p la probabilité qu'un joueur solitaire un jour donné passe dans l'équipe A le jour suivant. Justifier que $p = \frac{3}{14}$ .

matT_1711_03_04C_02

▶ 2. a) Recopier et compléter le graphe probabiliste ci-contre représentant la situation.

b) On admet que la matrice de transition est $T = (\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{3}{5} \\ \frac{1}{5} \\ \frac{3}{14} \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{3}{20} \\ \frac{3}{5} \\ \frac{9}{14} \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{5} \\ \frac{1}{7} \end{matrix} \end{matrix})$ .

Pour tout entier naturel n, on a donc Un+1 = UnT.

Montrer alors que, pour tout entier naturel n, on a Un = U0Tn.

c) Déterminer l'état probabiliste au bout d'une semaine, en arrondissant au millième.

▶ 3. On pose V = (300 405 182).

a) Donner, sans détailler les calculs, le produit matriciel VT. Que constate-t-on ?

b) En déduire un état probabiliste qui reste stable d'un jour sur l'autre.

▶ 4. On donne l'algorithme suivant, où la commande « U[i] » renvoie le coefficient de la i-ème colonne d'une matrice ligne U.

S47_algo_001

a) Quelle est la valeur numérique arrondie au millième de la sortie de cet algorithme ? L'interpréter dans le contexte de l'exercice.

b) Recopier et modifier cet algorithme pour qu'il affiche la fréquence de joueurs solitaires au bout de 13 jours.

Les clés du sujet

▶ 2. b) Raisonnez par récurrence.

c) Remarquez que l'état probabiliste au bout d'une semaine, d'après la question 2. b), s'obtient en effectuant le calcul matriciel $U_{0} \times T^{7}$ .

Déterminez ensuite la matrice $T^{7}$ à l'aide de la calculatrice puis concluez.

▶ 4. a) Faites le lien avec la question 2.

Corrigé

▶ 1. Déterminer une probabilité

Un joueur solitaire un jour donné :

reste solitaire le jour suivant avec une probabilité de $\frac{1}{7}$

rejoint l'équipe A le jour suivant avec une probabilité de $p$

rejoint l'équipe B le jour suivant avec une probabilité de $3 p$ (un joueur solitaire rejoignant l'équipe B avec une probabilité trois fois plus élevée que celle de rejoindre l'équipe A).

La somme des probabilités étant égale à 1, nous avons :

$\frac{1}{7} + p + 3 p = 1 \Leftrightarrow 4 p = \frac{6}{7} \Leftrightarrow p = \frac{6}{28} = \frac{3}{14} .$

Ainsi, $p = \frac{3}{14} .$

▶ 2. a) Compléter un graphe probabiliste

Un joueur de l'équipe A un jour donné :

reste le jour suivant dans l'équipe A avec une probabilité de 0,6

devient solitaire le jour suivant avec une probabilité de 0,25

rejoint donc le jour suivant l'équipe B avec une probabilité de $1 - 0,6 - 0,25 = 0,15 .$

Un joueur de l'équipe B un jour donné :

reste le jour suivant dans l'équipe B avec une probabilité de 0,6

devient solitaire le jour suivant ou rejoint l'équipe A avec une probabilité de $\frac{1 - 0,6}{2} = 0,2 .$

D'après la question précédente, un joueur solitaire :

reste solitaire avec une probabilité de $\frac{1}{7}$

rejoint l'équipe A le jour suivant avec une probabilité de $\frac{3}{14}$

rejoint l'équipe B le jour suivant avec une probabilité de $3 \times \frac{3}{14} = \frac{9}{14} .$

Nous avons ainsi :

matT_1711_03_04C_01

b) Raisonner par récurrence E1

Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n} = U_{0} T^{n} .$

rappel

$I_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ est la matrice identité d'ordre 3.

Initialisation : nous avons $U_{0} T^{0} = U_{0} I_{3} = U_{0}$ , donc la propriété est vraie au rang initial.

Hérédité : supposons que, pour un entier naturel $k$ , nous ayons $U_{k} = U_{0} T^{k} .$ Il en découle alors que $U_{k + 1} = U_{k} T = (U_{0} T^{k}) T = U_{0} (T^{k} T) = U_{0} T^{k + 1} .$ La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : pour tout entier naturel $n$ , $U_{n} = U_{0} T^{n}$ .

c) Effectuer un calcul matriciel C5

L'état probabiliste au bout d'une semaine, donc après 7 jours de jeu, est $U_{7} .$

D'après la question précédente, nous avons : $U_{7} = U_{0} \times T^{7} .$

Après l'entrée de la matrice $T$ dans la calculatrice et la réalisation du calcul $T^{7}$ , nous obtenons en arrondissant au millième :

$T^{7} \approx (\begin{matrix} 0,339 & 0,455 & 0,205 \\ 0,338 & 0,457 & 0,205 \\ 0,338 & 0,457 & 0,205 \end{matrix}) .$

Par suite, nous avons :

$\begin{array}{l} U_{7} = U_{0} \times T^{7} \approx (0 0 1) \times (\begin{matrix} 0,339 & 0,455 & 0,205 \\ 0,338 & 0,457 & 0,205 \\ 0,338 & 0,457 & 0,205 \end{matrix}) \\ = (0,338 0,457 0,205) . \end{array}$

L'état probabiliste au bout d'une semaine est donc : $(0,338 0,457 0,205) .$

▶ 3. a) Effectuer un calcul matriciel C5

Après l'entrée de la matrice V dans la calculatrice (matrice à une ligne et à trois colonnes) et la réalisation du calcul VT, la matrice T étant déjà entrée dans la calculatrice, nous obtenons : $V T = (300 405 182)$ .

Nous constatons que $V T = V .$

b) Interpréter un résultat

Comme $V T = V$ , nous pouvons en déduire que $V$ est un état probabiliste qui reste stable d'un jour sur l'autre.

▶ 4. a) Comprendre un algorithme A2

La matrice ligne U est initialisée à (0 0 1). Cela correspond à l'état probabiliste initial : tous les joueurs sont solitaires au début du jeu. La matrice T est la matrice de transition (question 2. b)).

Ensuite, à 7 reprises (boucle itérative Pour), la matrice ligne U prend la valeur UT. À la fin de l'exécution de cette boucle, la matrice ligne U correspond alors à l'état probabiliste au bout de 7 jours de jeu : $U_{7} .$ Cela découle de l'utilisation de la formule de récurrence $U_{n + 1} = U_{n} \times T$ valable pour tout entier naturel $n .$ Or, cet état probabiliste a été déterminé à la question 2. c) : $U_{7} \approx (0,338 0,457 0,205)$ .

Enfin, à la phase dite de sortie, l'algorithme affiche le coefficient de cette matrice ligne U situé à la première colonne donc $0,338 .$

Cela s'interprète de la manière suivante : après sept jours de jeu, la probabilité d'être dans l'équipe A est d'environ 0,338.

b) Modifier un algorithme

attention !

Suite aux modifications de présentation des algorithmes, « prend la valeur » est remplacé par « $\leftarrow$ ».

Nous souhaitons obtenir et afficher la fréquence d'un certain type de joueurs au bout de 13 jours. Il faut ainsi faire effectuer la boucle 13 fois au lieu de 7.

De plus, nous ne nous intéressons plus aux joueurs de l'équipe A mais aux joueurs solitaires. Il faut ainsi remplacer $U [1]$ par $U [3] .$

L'algorithme serait donc :

S47_algo_002

Jeu vidéo en ligne

▶ 1. Déterminer une probabilité

▶ 2. a) Compléter un graphe probabiliste

b) Raisonner par récurrence E1

c) Effectuer un calcul matriciel C5

▶ 3. a) Effectuer un calcul matriciel C5

b) Interpréter un résultat

▶ 4. a) Comprendre un algorithme A2

b) Modifier un algorithme

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