S'entraîner
Écrire et exécuter un programme simple
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France métropolitaine • Septembre 2019
Jeux de dés
Exercice 6
Deux amis, Armelle et Basile, jouent aux dés en utilisant des dés bien équilibrés, mais dont les faces ont été modifiées. Armelle joue avec le dé A et Basile joue avec le dé B.
Lors d'une partie, chaque joueur lance son dé et celui qui obtient le plus grand numéro gagne un point.
Voici les patrons des deux dés :
▶ 1. Une partie peut-elle aboutir à un match nul ?
▶ 2. a) Si le résultat obtenu avec le dé A est 2, quelle est la probabilité que Basile gagne un point ?
b) Si le résultat obtenu avec le dé B est 1, quelle est la probabilité qu'Armelle gagne un point ?
▶ 3. Les joueurs souhaitent comparer leur chance de gagner. Ils décident de simuler un match de soixante mille duels à l'aide d'un programme informatique.
Voici une partie du programme qu'ils ont réalisé.
On précise que l'expression (nombre aléatoire entre 1 et 6) renvoie de manière équiprobable un nombre pouvant être 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6.
Les variables FaceA et FaceB enregistrent les résultats des dés A et B. Par exemple, la variable FaceA peut prendre soit la valeur 2, soit la valeur 6, puisque ce sont les seuls nombres présents sur le dé A.
Les variables Victoire de A et Victoire de B comptent les victoires des joueurs.
a) Lorsqu'on exécute le sous-programme « Lancer le dé A », quelle est la probabilité que la variable FaceA prenne la valeur 2 ?
b) Recopier la ligne 7 du programme principal en la complétant.
c) Rédiger un sous-programme « Lancer le dé B » qui simule le lancer du dé B et enregistre le nombre obtenu dans la variable FaceB.
▶ 4. Après exécution du programme principal, on obtient les résultats suivants :
Victoire de A = 39 901 ;
Victoire de B = 20 099.
a) Calculer la fréquence de gain du joueur A, exprimée en pourcentage. On donnera une valeur approchée à 1 % près.
b) Conjecturer la probabilité que A gagne contre B.
Les clés du sujet
L'intérêt du sujet
Tu vas travailler les notions de probabilité et de fréquence au travers d'un exercice de programmation Scratch.
Nos coups de pouce, question par question
▶ 1. Il n'y a aucun chiffre en commun sur les deux dés, donc il ne peut pas y avoir de match nul.
▶ 2. a) Sachant que c'est le chiffre 2 qui est sorti pour Armelle, pour que Basile gagne 1 point, il est nécessaire qu'il sorte un chiffre supérieur à 2, donc un 5.
Or, sur les six faces, il y a trois fois le chiffre 5, donc :
.
b) Sachant que c'est le chiffre 1 qui est sorti pour Basile, pour qu'Armelle gagne 1 point, il est nécessaire qu'elle sorte un chiffre supérieur à 1.
rappel
Un événement certain a une probabilité de 1.
Or, les chiffres des faces du dé d'Armelle sont des 2 et des 6. Donc Armelle est sûre de gagner un point :
.
▶ 3. a) Il y a 4 chances sur 6 que le nombre tiré soit inférieur à 5, donc que Face A prenne la valeur 2, d'où :
.
b) Il y a victoire de A si Face B est inférieur à Face A.
Il faut donc compléter la ligne 7 ainsi :
c) Voici le script attendu :
▶ 4. a) Sur les 60 000 lancers, 39 901 cas apportent la victoire du joueur A.
Donc la fréquence de gain du joueur A est soit 67 % à 0,1 près.
b) La probabilité de réalisation d'un événement est sa fréquence d'apparition lorsque l'on reproduit un très grand nombre de fois l'expérience.
La probabilité que A gagne est donc de 0,67.