Jouer avec un cube

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2015

Exercice 1 • 6 points

Jouer avec un cube

matT_1505_09_02C_01

ABCDEFGH est un cube.

I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].

On munit l’espace du repère orthonormé (A ; 1111562-Eqn1, 1111562-Eqn2, 1111562-Eqn3).

1. a) Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).

3. Soit M le point d’intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du point M.

4. Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.

5. Calculer le volume du tétraèdre FIJK.

6. Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Positions relatives  E24 1. a) et 6.

Décomposition d’un vecteur  E29 1. a) et 6.

Représentation paramétrique d’une droite  E30 2 et 3.

Équation cartésienne d’un plan  E33c 1. b) et 3.

Produit scalaire  E31c • E32 1. a) et 4.

Norme d’un vecteur  E31c 4.

Nos coups de pouce

4. Calculez le produit scalaire 1111562-Eqn12 puis les distances IJ et IK. Concluez.

6. Déterminez les coordonnées du point L. Vérifiez que ce point appartient au plan (IJK). Déterminez ensuite les coordonnées du vecteur 1111562-Eqn14. Concluez.

Corrigé

Corrigé

1. a) Démontrer qu’une droite est orthogonale à un plan

Nous avons tout d’abord :

1111562-Eqn36 (relation de Chasles)

1111562-Eqn37 (J milieu de [EH])

1111562-Eqn38 (I milieu de [AB])

1111562-Eqn39 (ABCDEFGH est un cube).

Ainsi, dans le repère 1111562-Eqn40, le vecteur 1111562-Eqn41 a pour coordonnées : 1111562-Eqn42.

De même :

1111562-Eqn43 (relation de Chasles)

1111562-Eqn44 (I milieu de [AB] et K milieu de [BC])

1111562-Eqn45 (ABCDEFGH est un cube).

Ainsi, dans le repère 1111562-Eqn46, le vecteur 1111562-Eqn47 a pour coordonnées : 1111562-Eqn48.

Et enfin :

1111562-Eqn49 (relation de Chasles)

1111562-Eqn50 (ABCDEFGH est un cube).

Ainsi, dans le repère 1111562-Eqn51, le vecteur 1111562-Eqn52 a pour coordonnées : 1111562-Eqn53.

Les coordonnées des vecteurs 1111562-Eqn54 et 1111562-Eqn55 n’étant pas proportionnelles, ces deux vecteurs du plan (IJK) ne sont pas colinéaires. De plus, nous avons 1111562-Eqn56 et 1111562-Eqn57. Ainsi, le vecteur 1111562-Eqn58, vecteur directeur de la droite (FD), est orthogonal aux deux vecteurs 1111562-Eqn59 et 1111562-Eqn60, vecteurs non colinéaires du plan (IJK).

La droite (FD) est donc orthogonale au plan (IJK).

b) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

D’après la question 1. a), la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK). Donc le vecteur 1111562-Eqn61 de coordonnées 1111562-Eqn62 est un vecteur normal à ce plan. Par suite, ce plan admet une équation cartésienne de la forme 1111562-Eqn631111562-Eqn64 est un nombre réel à déterminer. Or, le point I, par exemple, appartient à ce plan. Ses coordonnées vérifient ainsi l’équation, à savoir 1111562-Eqn65. Comme I est le milieu du segment [AB], nous avons l’égalité suivante 1111562-Eqn66, ce qui implique que le point I a pour coordonnées 1111562-Eqn67. Ce qui nous amène à 1111562-Eqn68 ainsi 1111562-Eqn69.

Le plan (IJK) a pour équation cartésienne : 1111562-Eqn70.

2. Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

Le point F appartient naturellement à la droite (FD) dont un vecteur directeur est le vecteur 1111562-Eqn71.

D’après la question 1. a), le vecteur 1111562-Eqn72 a pour coordonnées 1111562-Eqn73.

Comme 1111562-Eqn74, le point F a pour coordonnées 1111562-Eqn75.

La droite (FD) admet alors pour représentation paramétrique :

1111562-Eqn76, 1111562-Eqn77 1111562-Eqn78.

3. Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection

Comme le point M appartient à la droite (FD), il existe un nombre réel t tel que :

1111562-Eqn79

De plus, comme le point M appartient au plan (IJK), ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne déterminée à la question 1. b) : 1111562-Eqn80. Ce qui nous conduit au système suivant :

1111562-Eqn81

Le point M a donc pour coordonnées 1111562-Eqn82.

4. Déterminer la nature d’un triangle

D’après la question 1. a), les vecteurs 1111562-Eqn83 et 1111562-Eqn84 ont pour coordonnées respectives 1111562-Eqn85 et 1111562-Eqn86.

Or 1111562-Eqn87. Ces vecteurs étant orthogonaux, les droites (IJ) et (IK) sont orthogonales. Comme le point I appartient à ces deux droites, elles sont perpendiculaires et donc le triangle IJK est rectangle en I.

Le point précédent implique naturellement que le triangle IJK ne peut pas être équilatéral. Mais il est possible que ce triangle soit isocèle en I.

Calculons alors les distances IJ et IK :

1111562-Eqn88

1111562-Eqn89

Notez bien

Aire (triangle) = 1111562-Eqn90

Comme 1111562-Eqn91, le triangle IJK n’est pas isocèle.

Le triangle IJK étant rectangle en I, son aire est donnée par :

1111562-Eqn92.

5. Déterminer le volume d’un tétraèdre

D’après la question 1. a), la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).

D’après la question 3., la droite (FD) et le plan (IJK) ont un point commun : le point M.

Notez bien

Volume (tétraèdre)1111562-Eqn93

Le tétraèdre FIJK de base IJK a ainsi pour hauteur le segment [FM] dont la longueur est :

1111562-Eqn94

Le volume du tétraèdre FIJK est donc :

1111562-Eqn95.

6. Montrer que des droites sont sécantes

Déterminons tout d’abord les coordonnées du point L :

1111562-Eqn96 (relation de Chasles)

1111562-Eqn97 (L milieu de [CG])

1111562-Eqn98.

Le point L a ainsi pour coordonnées 1111562-Eqn99. Comme 1111562-Eqn100, le point L appartient au plan (IJK). Par conséquent, les droites (IJ) et (KL) sont coplanaires.

D’après la question 1. a), le vecteur 1111562-Eqn101 a pour coordonnées 1111562-Eqn102

De plus, nous avons :

1111562-Eqn104 (relation de Chasles)

1111562-Eqn105 (K milieu de [BC] et L milieu de [CG])

1111562-Eqn106.

Le vecteur 1111562-Eqn107 a pour coordonnées 1111562-Eqn108.

Les coordonnées des vecteurs 1111562-Eqn109 et 1111562-Eqn110 étant non proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Ainsi, les droites (IJ) et (KL) ne sont pas parallèles mais sont sécantes.