Jouer avec un cube

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2015

Exercice 1 • 6 points

Jouer avec un cube

matT_1505_09_02C_01

ABCDEFGH est un cube.

I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].

On munit l’espace du repère orthonormé (A ; 1111562-Eqn1, 1111562-Eqn2, 1111562-Eqn3).

1. a) Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).

3. Soit M le point d’intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du point M.

4. Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.

5. Calculer le volume du tétraèdre FIJK.

6. Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Positions relatives  E24 1. a) et 6.

Décomposition d’un vecteur  E29 1. a) et 6.

Représentation paramétrique d’une droite  E30 2 et 3.

Équation cartésienne d’un plan  E33c 1. b) et 3.

Produit scalaire  E31c • E32 1. a) et 4.

Norme d’un vecteur  E31c 4.

Nos coups de pouce

4. Calculez le produit scalaire 1111562-Eqn12 puis les distances IJ et IK. Concluez.

6. Déterminez les coordonnées du point L. Vérifiez que ce point appartient au plan (IJK). Déterminez ensuite les coordonnées du vecteur 1111562-Eqn14. Concluez.