Jouons au tennis !

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2016

Exercice 2 • 4 points

Jouons au tennis !

Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive.

Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.

Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à 10−3 près.

Partie A

Le joueur s’apprête à recevoir une série de 20 balles.

1. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?

2. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ?

Partie B

Le lance-balle est équipé d’un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de 100 lancers, 42 balles ont été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l’appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?

Partie C

Pour augmenter la difficulté, le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit « liftées », soit « coupées ». La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.

Les réglages de l’appareil permettent d’affirmer que :

la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est 0,24 ;

la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est 0,235.

Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu’elle soit envoyée à droite ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes.

Les thèmes clés

Loi binomiale • Intervalle de fluctuation • Probabilité conditionnelle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi binomiale  E39  Partie A

Probabilités avec une loi binomiale  C2  Partie A

Intervalle de fluctuation  E43  Partie B

Conditionnement, arbre pondéré  E35 • E37  Partie C

Nos coups de pouce

Partie A

Pensez à définir clairement la variable aléatoire implicitement utilisée et à bien rédiger les justifications permettant d’identifier la loi suivie par cette variable aléatoire. Menez ensuite à bien les calculs demandés de probabilité à l’aide d’une calculatrice.

Partie B

Pensez à définir un intervalle de fluctuation. Pour ce faire, identifiez la taille n de l’échantillon considéré et la proportion p du caractère étudié mise en doute. Concluez selon l’appartenance ou non de la fréquence observée du caractère étudié sur l’échantillon à l’intervalle de fluctuation défini.

Partie C

Illustrez la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

Corrigé

Corrigé

partie a

1. Calculer une probabilité avec une loi binomiale

Notons S la variable aléatoire qui, à toute série de 20 balles envoyées au hasard par le lance-balle, associe le nombre de balles envoyées à droite.

Selon le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard une balle soit à droite soit à gauche avec la même probabilité. On est alors dans le cadre d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la balle est envoyée à droite » de probabilité p=0,5 et l’échec est « la balle est envoyée à gauche » de probabilité q=1p=0,5. Cette épreuve est répétée 20 fois, les épreuves étant indépendantes et identiques. On a donc un schéma de Bernoulli d’ordre 20, S comptant le nombre de succès dans ce schéma. S suit donc la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,5.

La probabilité demandée s’écrit : P(S=10). À la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1605_09_01C_06

matT_1605_09_01C_07

La probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite est environ 0,176.

2. Calculer une probabilité avec une loi binomiale

Notez bien

Pour une variable aléatoire discrète X,P(aXb)=P(Xb)P(X<a)

=P(Xb)P(Xa1),a, b étant des entiers.

On reprend la variable aléatoire S de la question précédente. La probabilité demandée s’écrit : P(5S10).

Or,P(5S10)=P(S10)P(S<5)=P(S10)P(S4).

À la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1605_09_01C_08

matT_1605_09_01C_09

La probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite est environ 0,582.

partie b

Déterminer un intervalle de fluctuation et prendre une décision

Selon le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard une balle à droite ou à gauche avec la même probabilité. Par suite, d’après le constructeur, la probabilité que le lance-balle envoie une balle choisie au hasard à droite est p=0,5. Le joueur en doute.

Les doutes du joueur font suite à une séquence de 100 lancers effectués. Pour remettre en cause éventuellement l’affirmation du constructeur, le joueur se base alors sur un échantillon aléatoire de n= 100 lancers.

Comme n=10030,n×p=100×0,5=505 et n×(1p)=100×0,5=505, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est bien défini et donné par :

[p1,96×p×(1p)n ; p+1,96×p×(1p)n]=[0,402 ; 0,598].

Sur sa séquence de 100 lancers, le joueur a compté 42 balles lancées à droite. La fréquence observée f de balles lancées à droite pour cette séquence est donc 42100=0,42. Comme la fréquence observée f appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % (0,4020,420,598), le joueur ne peut pas remettre en cause l’information fournie par le manuel du constructeur à partir de la séquence qu’il a effectuée. Ses doutes ne sont pas justifiés.

partie c

Déterminer une probabilité conditionnelle

Considérons une balle choisie au hasard et envoyée par ce lance-balle. Notons D l’événement « la balle est envoyée à droite », G l’événement « la balle est envoyée à gauche », C l’événement « la balle est coupée » et L l’événement « la balle est liftée ».

La probabilité demandée est la probabilité qu’une balle choisie au hasard soit envoyée à droite sachant que le lance-balle l’a envoyée coupée. Cette probabilité est une probabilité conditionnelle et se note : PC(D). Or, par définition, on a PC(D)=P(CD)P(C) à condition que P(C) soit non nul. Pour la calculer, il nous faut alors déterminer P(CD) et P(C). Représentons la situation décrite dans l’énoncé de cette partie à l’aide d’un arbre pondéré.

La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche. Ainsi,P(G)=P(D)=0,5.

La probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée et à droite est 0,24. L’événement considéré étant l’événement LD, on a P(LD)=0,24.

Notez bien

DL et LD désignent le même événement : « la balle est envoyée à droite liftée ». De même, CG et GC désignent l’événement : « la balle est envoyée à gauche coupée ».

La probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée et à gauche est 0,235.

L’événement considéré étant l’événement CG, on a P(CG)=0,235.

On peut alors représenter la situation par l’arbre partiellement pondéré suivant :

matT_1605_09_01C_10

L’événement D étant associé aux deux feuilles DL et DC, on a l’égalité suivante :

P(D)=P(DL)+P(DC).

Or, d’après l’énoncé, P(D) = 0,5 et P(DL)=0,24. Par suite, on a :

P(DC)=P(D)P(DL)=0,50,24=0,26.

L’événement C étant lui associé aux deux feuilles GC et DC, on a :

P(C)=P(GC)+P(DC).

Or, d’après l’énoncé, P(GC)=0,235 et d’après le point précédent, P(DC)=0,26. Par suite, on a P(C)=0,235+0,26=0,4950.

On en conclut que PC(D)=P(CD)P(C)=0,260,4950,525.

Si le lance-balle envoie une balle coupée, la probabilité qu’elle soit envoyée à droite est environ 0,525.