Lois de probabilité

matT_1605_09_11C

Ens. spécifique

Liban • Mai 2016

Exercice 2 • 4 points

Jouons au tennis !

Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive.

Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.

Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à 10−3 près.

Partie A

Le joueur s’apprête à recevoir une série de 20 balles.

▶ 1. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?

▶ 2. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ?

Partie B

Le lance-balle est équipé d’un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de 100 lancers, 42 balles ont été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l’appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?

Partie C

Pour augmenter la difficulté, le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit « liftées », soit « coupées ». La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.

Les réglages de l’appareil permettent d’affirmer que :

la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est 0,24 ;

la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est 0,235.

Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu’elle soit envoyée à droite ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes.

Les thèmes clés

Loi binomiale • Intervalle de fluctuation • Probabilité conditionnelle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi binomiale E39 → Partie A

Probabilités avec une loi binomiale C2 → Partie A

Intervalle de fluctuation E43 → Partie B

Conditionnement, arbre pondéré E35 • E37 → Partie C

Nos coups de pouce

Partie A

Pensez à définir clairement la variable aléatoire implicitement utilisée et à bien rédiger les justifications permettant d’identifier la loi suivie par cette variable aléatoire. Menez ensuite à bien les calculs demandés de probabilité à l’aide d’une calculatrice.

Partie B

Pensez à définir un intervalle de fluctuation. Pour ce faire, identifiez la taille n de l’échantillon considéré et la proportion p du caractère étudié mise en doute. Concluez selon l’appartenance ou non de la fréquence observée du caractère étudié sur l’échantillon à l’intervalle de fluctuation défini.

Partie C

Illustrez la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

Corrigé

partie a

▶ 1. Calculer une probabilité avec une loi binomiale

Notons S la variable aléatoire qui, à toute série de 20 balles envoyées au hasard par le lance-balle, associe le nombre de balles envoyées à droite.

Selon le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard une balle soit à droite soit à gauche avec la même probabilité. On est alors dans le cadre d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la balle est envoyée à droite » de probabilité $p = 0,5$ et l’échec est « la balle est envoyée à gauche » de probabilité $q = 1 - p = 0,5 .$ Cette épreuve est répétée 20 fois, les épreuves étant indépendantes et identiques. On a donc un schéma de Bernoulli d’ordre 20, S comptant le nombre de succès dans ce schéma. S suit donc la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,5.

La probabilité demandée s’écrit : $P (S = 10)$ . À la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 +	CASIO GRAPH 75

La probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite est environ 0,176.

▶ 2. Calculer une probabilité avec une loi binomiale

Notez bien

Pour une variable aléatoire discrète $X,$ $P (a \leq X \leq b) = P (X \leq b) - P (X < a)$

$= P (X \leq b) - P (X \leq a - 1),$ $a, b$ étant des entiers.

On reprend la variable aléatoire S de la question précédente. La probabilité demandée s’écrit : $P (5 \leq S \leq 10)$ .

Or, $\begin{matrix} P (5 \leq S \leq 10) = P (S \leq 10) - P (S < 5) \\ = P (S \leq 10) - P (S \leq 4) . \end{matrix}$

À la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 +	CASIO GRAPH 75

La probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite est environ 0,582.

partie b

Déterminer un intervalle de fluctuation et prendre une décision

Selon le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard une balle à droite ou à gauche avec la même probabilité. Par suite, d’après le constructeur, la probabilité que le lance-balle envoie une balle choisie au hasard à droite est $p = 0,5 .$ Le joueur en doute.

Les doutes du joueur font suite à une séquence de 100 lancers effectués. Pour remettre en cause éventuellement l’affirmation du constructeur, le joueur se base alors sur un échantillon aléatoire de $n =$ 100 lancers.

Comme $n = 100 \geq 30,$ $n \times p = 100 \times 0,5 = 50 \geq 5$ et $n \times (1 - p) = 100 \times 0,5 = 50 \geq 5,$ l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est bien défini et donné par :

$[p - 1,96 \times \frac{\sqrt{p \times (1 - p)}}{\sqrt{n}}; p + 1,96 \times \frac{\sqrt{p \times (1 - p)}}{\sqrt{n}}] = [0,402; 0,598] .$

Sur sa séquence de 100 lancers, le joueur a compté 42 balles lancées à droite. La fréquence observée f de balles lancées à droite pour cette séquence est donc $\frac{42}{100} = 0,42 .$ Comme la fréquence observée f appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % $(0,402 \leq 0,42 \leq 0,598),$ le joueur ne peut pas remettre en cause l’information fournie par le manuel du constructeur à partir de la séquence qu’il a effectuée. Ses doutes ne sont pas justifiés.

partie c

Déterminer une probabilité conditionnelle

Considérons une balle choisie au hasard et envoyée par ce lance-balle. Notons D l’événement « la balle est envoyée à droite », G l’événement « la balle est envoyée à gauche », C l’événement « la balle est coupée » et L l’événement « la balle est liftée ».

La probabilité demandée est la probabilité qu’une balle choisie au hasard soit envoyée à droite sachant que le lance-balle l’a envoyée coupée. Cette probabilité est une probabilité conditionnelle et se note : $P_{C} (D)$ . Or, par définition, on a $P_{C} (D) = \frac{P (C \cap D)}{P (C)}$ à condition que $P (C)$ soit non nul. Pour la calculer, il nous faut alors déterminer $P (C \cap D)$ et $P (C)$ . Représentons la situation décrite dans l’énoncé de cette partie à l’aide d’un arbre pondéré.

La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche. Ainsi, $P (G) = P (D) = 0,5$ .

La probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée et à droite est 0,24. L’événement considéré étant l’événement $L \cap D$ , on a $P (L \cap D) = 0,24$ .

Notez bien

$D \cap L$ et $L \cap D$ désignent le même événement : « la balle est envoyée à droite liftée ». De même, $C \cap G$ et $G \cap C$ désignent l’événement : « la balle est envoyée à gauche coupée ».

La probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée et à gauche est 0,235.

L’événement considéré étant l’événement $C \cap G$ , on a $P (C \cap G) = 0,235$ .

On peut alors représenter la situation par l’arbre partiellement pondéré suivant :

matT_1605_09_01C_10

L’événement D étant associé aux deux feuilles $D \cap L$ et $D \cap C$ , on a l’égalité suivante :

$P (D) = P (D \cap L) + P (D \cap C)$ .

Or, d’après l’énoncé, P(D) = 0,5 et $P (D \cap L) = 0,24$ . Par suite, on a :

$P (D \cap C) = P (D) - P (D \cap L) = 0,5 - 0,24 = 0,26 .$

L’événement C étant lui associé aux deux feuilles $G \cap C$ et $D \cap C$ , on a :

$P (C) = P (G \cap C) + P (D \cap C)$ .

Or, d’après l’énoncé, $P (G \cap C) = 0,235$ et d’après le point précédent, $P (D \cap C) = 0,26$ . Par suite, on a $P (C) = 0,235 + 0,26 = 0,495 \neq 0$ .

On en conclut que $P_{C} (D) = \frac{P (C \cap D)}{P (C)} = \frac{0,26}{0,495} \approx 0,525$ .

Si le lance-balle envoie une balle coupée, la probabilité qu’elle soit envoyée à droite est environ 0,525.

Pas encore de compte ?

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Partie A

Partie B

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