Lois de probabilité
matT_1605_09_11C
Ens. spécifique
31
Liban • Mai 2016
Exercice 2 • 4 points
Jouons au tennis !
Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s'entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive.
Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.
Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats à 10−3 près.
Partie A
Le joueur s'apprête à recevoir une série de 20 balles.
▶ 1. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?
▶ 2. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ?
Partie B
Le lance-balle est équipé d'un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de 100 lancers, 42 balles ont été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l'appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?
Partie C
Pour augmenter la difficulté, le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit « liftées », soit « coupées ». La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.
Les réglages de l'appareil permettent d'affirmer que :
la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est 0,24
la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est 0,235.
Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu'elle soit envoyée à droite ?
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes.
Les thèmes clés
Loi binomiale • Intervalle de fluctuation • Probabilité conditionnelle.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Loi binomiale E39 → Partie A
Probabilités avec une loi binomiale C2 → Partie A
Intervalle de fluctuation E43 → Partie B
Conditionnement, arbre pondéré E35 • E37 → Partie C
Nos coups de pouce
Partie A
Pensez à définir clairement la variable aléatoire implicitement utilisée et à bien rédiger les justifications permettant d'identifier la loi suivie par cette variable aléatoire. Menez ensuite à bien les calculs demandés de probabilité à l'aide d'une calculatrice.
Partie B
Pensez à définir un intervalle de fluctuation. Pour ce faire, identifiez la taille n de l'échantillon considéré et la proportion p du caractère étudié mise en doute. Concluez selon l'appartenance ou non de la fréquence observée du caractère étudié sur l'échantillon à l'intervalle de fluctuation défini.
Partie C
Illustrez la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Corrigé
partie a
▶ 1. Calculer une probabilité avec une loi binomiale
Notons S la variable aléatoire qui, à toute série de 20 balles envoyées au hasard par le lance-balle, associe le nombre de balles envoyées à droite.
Selon le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard une balle soit à droite soit à gauche avec la même probabilité. On est alors dans le cadre d'une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la balle est envoyée à droite » de probabilité et l'échec est « la balle est envoyée à gauche » de probabilité Cette épreuve est répétée 20 fois, les épreuves étant indépendantes et identiques. On a donc un schéma de Bernoulli d'ordre 20, S comptant le nombre de succès dans ce schéma. S suit donc la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,5.
La probabilité demandée s'écrit : . À la calculatrice, nous obtenons :
TI 83 + | CASIO GRAPH 75 |
| |
La probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite est environ 0,176.
▶ 2. Calculer une probabilité avec une loi binomiale
Notez bien
Pour une variable aléatoire discrète
étant des entiers.
On reprend la variable aléatoire S de la question précédente. La probabilité demandée s'écrit : .
Or,
À la calculatrice, nous obtenons :
TI 83 + | CASIO GRAPH 75 |
| |
La probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite est environ 0,582.
partie b
Déterminer un intervalle de fluctuation et prendre une décision
Selon le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard une balle à droite ou à gauche avec la même probabilité. Par suite, d'après le constructeur, la probabilité que le lance-balle envoie une balle choisie au hasard à droite est Le joueur en doute.
Les doutes du joueur font suite à une séquence de 100 lancers effectués. Pour remettre en cause éventuellement l'affirmation du constructeur, le joueur se base alors sur un échantillon aléatoire de 100 lancers.
Comme et l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est bien défini et donné par :
Sur sa séquence de 100 lancers, le joueur a compté 42 balles lancées à droite. La fréquence observée f de balles lancées à droite pour cette séquence est donc Comme la fréquence observée f appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % le joueur ne peut pas remettre en cause l'information fournie par le manuel du constructeur à partir de la séquence qu'il a effectuée. Ses doutes ne sont pas justifiés.
partie c
Déterminer une probabilité conditionnelle
Considérons une balle choisie au hasard et envoyée par ce lance-balle. Notons D l'événement « la balle est envoyée à droite », G l'événement « la balle est envoyée à gauche », C l'événement « la balle est coupée » et L l'événement « la balle est liftée ».
La probabilité demandée est la probabilité qu'une balle choisie au hasard soit envoyée à droite sachant que le lance-balle l'a envoyée coupée. Cette probabilité est une probabilité conditionnelle et se note : . Or, par définition, on a à condition que soit non nul. Pour la calculer, il nous faut alors déterminer et . Représentons la situation décrite dans l'énoncé de cette partie à l'aide d'un arbre pondéré.
La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche. Ainsi,.
La probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée et à droite est 0,24. L'événement considéré étant l'événement , on a .
Notez bien
et désignent le même événement : « la balle est envoyée à droite liftée ». De même, et désignent l'événement : « la balle est envoyée à gauche coupée ».
La probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée et à gauche est 0,235.
L'événement considéré étant l'événement , on a .
On peut alors représenter la situation par l'arbre partiellement pondéré suivant :
L'événement D étant associé aux deux feuilles et , on a l'égalité suivante :
.
Or, d'après l'énoncé, P(D) = 0,5 et . Par suite, on a :
L'événement C étant lui associé aux deux feuilles et , on a :
.
Or, d'après l'énoncé, et d'après le point précédent, . Par suite, on a .
On en conclut que .
Si le lance-balle envoie une balle coupée, la probabilité qu'elle soit envoyée à droite est environ 0,525.