Annale corrigée Exercice Ancien programme

Jouons dans l'espace

Corpus Corpus 1
Jouons dans l'espace

Géométrie dans l'espace

matT_1406_01_04C

Ens. spécifique

25

CORRIGE

Afrique • Juin 2014

Exercice 4 • 5 points

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points :

A(1 2 7), B(2 0 2), C(3 1 3), D(3 − 6 1) et E(4 − 8 − 4).

>1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

>2. Soit un vecteur de l'espace, où b et c désignent deux nombres réels.

a) Déterminer les valeurs de b et c telles que soit un vecteur normal au plan (ABC).

b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est :

x − 2y + z − 4 = 0.

c) Le point D appartient-il au plan (ABC) ?

>3. On considère la droite de l'espace dont une représentation paramétrique est :

t est un nombre réel.

a) La droite est-elle orthogonale au plan (ABC) ?

b) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite et du plan (ABC).

>4. Étudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Le thème clé

Géométrie dans l'espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Propriétés et formules

  • Colinéarité dans l'espace E271.
  • Position relative d'une droite et d'un plan E24b3. b) et 4.
  • Calcul d'un produit scalaire E31c2. a), 3. a) et 4.
  • Représentation paramétrique d'une droite E303. a) et 3. b)
  • Équation cartésienne d'un plan E33c2. b), 2. c) et 3. b)
  • Vecteur normal à un plan E33a2. a)
  • Orthogonalité E32a • E32c2. a) et 3. a)

Nos coups de pouce

>2. a) Calculez et en fonction de et de . Remémorez-vous une propriété d'un vecteur normal à un plan pour conclure.

>3. a) Précisez les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite à partir de l'équation paramétrique donnée. Vérifiez que ce vecteur est orthogonal aux vecteurs et . Concluez.

Corrigé

>1. Démontrer que des points ne sont pas alignés

Calculons les coordonnées des vecteurs et :

.

Leurs coordonnées n'étant pas proportionnelles, les vecteurs et ne sont pas colinéaires et par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés.

>2. a) Déterminer les coordonnées d'un vecteur normal à un plan

Par la question précédente, les vecteurs et sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). Comme, d'après l'énoncé, le vecteur doit être un vecteur normal à ce plan, le vecteur doit être orthogonal aux vecteurs et . Nous devons donc avoir : et .

Or, et

.

Ce qui amène au système suivant :

.

Le vecteura pour coordonnées

b) Déterminer une équation cartésienne d'un plan

Par la question précédente, le vecteur de coordonnées est un vecteur normal au plan (ABC). Par suite, le plan (ABC) admet une équation cartésienne de la forme :

est un nombre réel à déterminer.

Le point B appartenant à ce plan, ses coordonnées vérifient cette équation cartésienne : Ce qui implique que et .

Ainsi, une équation cartésienne du plan (ABC) est :.

c) Vérifier qu'un point appartient ou non à un plan

Nous avons : . Les coordonnées du point D ne vérifiant pas l'équation cartésienne du plan (ABC) déterminée à la question précédente, le point D n'appartient pas au plan (ABC).

>3 a) Vérifier qu'une droite est orthogonale ou non à un plan

Notez bien

En constatant que et en se remémorant que est normal au plan (ABC), la réponse est immédiate.

De l'équation paramétrique donnée de la droite , nous déduisons que le vecteur de coordonnées est un vecteur directeur de cette droite. De plus,

et

.

Le vecteur étant orthogonal aux vecteurs et , vecteurs non colinéaires du plan (ABC), la droiteest orthogonale au plan (ABC).

b) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection

Comme le point H appartient à la droite , il existe un nombre réel tel que :

.

Mais le point H appartient également au plan (ABC), ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne donnée à la question 2. b), à savoir : Ce qui amène au système suivant :

Le point H a donc pour coordonnées

>4. Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

Le vecteur a pour coordonnées .

Première méthode

Comme les vecteurs et ont les mêmes coordonnées, ces vecteurs sont égaux et par suite, les droites (DE) et (AB) sont parallèles. Les points A et B étant deux points du plan (ABC), la droite (DE) est soit strictement parallèle à ce plan soit incluse dans ce plan.

Mais, d'après la question 2. c), le point D n'appartient pas au plan (ABC). La droite (DE) est donc strictement parallèle au plan (ABC).

Deuxième méthode

Nous avons . Les vecteurs et étant orthogonaux, la droite (DE) est soit strictement parallèle au plan (ABC), soit incluse dans ce plan. Mais, d'après la question 2. c), le point D n'appartient pas au plan (ABC). La droite (DE) est donc strictement parallèle au plan (ABC).

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