Jouons dans l’espace

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Afrique
Corpus Corpus 1
Jouons dans l’espace

Géométrie dans l’espace

matT_1406_01_04C

Ens. spécifique

25

CORRIGE

Afrique  • Juin 2014

Exercice 4 • 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points  :

A(1 2 7), B(2 0 2), C(3 1 3), D(3 &minus 6 1) et E(4 &minus 8 &minus 4).

>1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

>2. Soit un vecteur de l’espace, où b et c désignent deux nombres réels.

a) Déterminer les valeurs de b et c telles que soit un vecteur normal au plan (ABC).

b) En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est  :

x &minus 2y +z &minus 4  = 0.

c) Le point D appartient-il au plan (ABC)  ?

>3. On considère la droite de l’espace dont une représentation paramétrique est  :

t est un nombre réel.

a) La droite est-elle orthogonale au plan (ABC)  ?

b) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite et du plan (ABC).

>4. &Eacute tudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60  min.

Le thème clé

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Colinéarité dans l’espace   E27  → 1.
  • Position relative d’une droite et d’un plan   E24b  → 3.  b) et 4.
  • Calcul d’un produit scalaire   E31c  → 2.  a), 3.  a) et 4.
  • Représentation paramétrique d’une droite   E30  → 3.  a) et 3.  b)
  • &Eacute quation cartésienne d’un plan   E33c  → 2.  b), 2.  c) et 3.  b)
  • Vecteur normal à un plan   E33a  → 2.  a)
  • Orthogonalité   E32a • E32c  → 2.  a) et 3.  a)

Nos coups de pouce

>2. a) Calculez et en fonction de et de . Remémorez-vous une propriété d’un vecteur normal à un plan pour conclure.

>3. a) Précisez les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite à partir de l’équation paramétrique donnée. Vérifiez que ce vecteur est orthogonal aux vecteurs et . Concluez.