Jouons sur les formes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2015

Exercice 2 • 4 points

Jouons sur les formes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé 2045389-Eqn7. À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M′ d’affixe z′ définie par :

z′ = z2 + 4z + 3.

1. Un point M est dit invariant lorsqu’il est confondu avec le point M′ associé.

Démontrer qu’il existe deux points invariants. Donner l’affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

2. Soit A le point d’affixe 2045389-Eqn8 et B le point d’affixe 2045389-Eqn9.

Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

3. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z = x + iyx et y sont réels, tels que le point M′ associé soit sur l’axe des réels.

4. Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l’ensemble E.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Équation du second degré dans 2045389-Eqn19 E23 1.

Forme algébrique d’un nombre complexe  E16 1. et 3.

Module d’un nombre complexe  E18 1. et 2.

Argument d’un nombre complexe  E19 1. et 2.

Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21 1. et 2.

Nombres complexes et géométrie  E22 2.

Calculatrice

Calculs avec les nombres complexes  C4 1. et 2.

Nos coups de pouce

3. Déterminez la forme algébrique de 2045389-Eqn20 en fonction de 2045389-Eqn21 et de 2045389-Eqn22 puis précisez que M′ est sur l’axe des réels si et seulement si la partie imaginaire de 2045389-Eqn23 est nulle. Concluez.