Jouons sur les formes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2015

Exercice 2 • 4 points

Jouons sur les formes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé 2045389-Eqn7. À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M′ d’affixe z′ définie par :

z′ = z2 + 4z + 3.

1. Un point M est dit invariant lorsqu’il est confondu avec le point M′ associé.

Démontrer qu’il existe deux points invariants. Donner l’affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

2. Soit A le point d’affixe 2045389-Eqn8 et B le point d’affixe 2045389-Eqn9.

Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

3. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z = x + iyx et y sont réels, tels que le point M′ associé soit sur l’axe des réels.

4. Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l’ensemble E.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Équation du second degré dans 2045389-Eqn19 E23 1.

Forme algébrique d’un nombre complexe  E16 1. et 3.

Module d’un nombre complexe  E18 1. et 2.

Argument d’un nombre complexe  E19 1. et 2.

Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21 1. et 2.

Nombres complexes et géométrie  E22 2.

Calculatrice

Calculs avec les nombres complexes  C4 1. et 2.

Nos coups de pouce

3. Déterminez la forme algébrique de 2045389-Eqn20 en fonction de 2045389-Eqn21 et de 2045389-Eqn22 puis précisez que M′ est sur l’axe des réels si et seulement si la partie imaginaire de 2045389-Eqn23 est nulle. Concluez.

Corrigé

Corrigé

1. Déterminer des points invariants

Un point M est invariant s’il est confondu avec le point 2045389-Eqn79 associé.

Pour déterminer s’il existe des points invariants, nous devons donc résoudre l’équation :

2045389-Eqn80.

Nous avons une équation de la forme 2045389-Eqn81 avec 2045389-Eqn82.

Le discriminant est 2045389-Eqn83 donc l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

2045389-Eqn84 et 2045389-Eqn85.

Par conséquent, il existe deux points invariants 2045389-Eqn86d’affixes respectives 2045389-Eqn87et 2045389-Eqn88.

Mettons 2045389-Eqn89 et 2045389-Eqn90 sous forme exponentielle.

Notez bien

Pour tout réel 2045389-Eqn91 :2045389-Eqn92

2045389-Eqn93

Notez bien

Soit 2045389-Eqn94 un nombre complexe non nul :

2045389-Eqn95

2045389-Eqn97

Les deux points invariants 2045389-Eqn98ont pour affixes respectives 2045389-Eqn99et 2045389-Eqn100.

2. Montrer qu’un triangle est équilatéral

Première méthode

Nous avons :

2045389-Eqn101.

2045389-Eqn102

2045389-Eqn103.

Comme 2045389-Eqn104, nous en déduisons que 2045389-Eqn105.

Notez bien

Si 2045389-Eqn106 alors 2045389-Eqn107.

D’après la question précédente : 2045389-Eqn108 donc 2045389-Eqn109.

Par conséquent, 2045389-Eqn110et le triangle OAB est équilatéral.

Deuxième méthode

Nous avons :

Notez bien

Pour tous réels 2045389-Eqn111 :2045389-Eqn112

2045389-Eqn113

Par conséquent :

2045389-Eqn114 et 2045389-Eqn115.

Ainsi 2045389-Eqn116 et 2045389-Eqn117 donc le triangle OAB est équilatéral.

3. Déterminer un ensemble de points

2045389-Eqn118 est sur l’axe des réels si et seulement si 2045389-Eqn119 est un nombre réel : 2045389-Eqn120.

Déterminons la forme algébrique de 2045389-Eqn121.

Notez bien

2045389-Eqn122.

2045389-Eqn123

Ainsi :

2045389-Eqn124

L’ensemble E cherché est donc la réunion de deux droites d’équations respectives 2045389-Eqn125 et 2045389-Eqn126.

4. Dessiner un ensemble de points

Notez bien

2045389-Eqn127

Nous ajouterons sur la figure le cercle trigonométrique de façon à placer précisément un angle de mesure 2045389-Eqn128, utile pour placer ensuite les points A et B.

En effet, les points A et B ont tous deux des affixes respectives dont la partie réelle est égale à 2045389-Eqn129, mais dont les arguments sont opposés (égaux respectivement à 2045389-Eqn130 et 2045389-Eqn131).

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