L’ascenseur spatial

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
L’ascenseur spatial
 
 

Temps, mouvement et évolution

pchT_1309_07_00C

Comprendre

15

CORRIGE

 

France métropolitaine • Septembre 2013

Exercice 1 • 5 points

Document 1

Présentation de l’ascenseur spatial

Dessin d’artiste représentant un ascenseur spatial

 

L’ascenseur spatial a été envisagé dans les années 1970 comme alternative aux lanceurs classiques de satellites que sont les fusées et navettes spatiales. Dans certains ouvrages, l’ascenseur culminerait à l’altitude de 36 000 kilomètres au-dessus du sol. Cette hauteur n’est pas due au hasard. En effet, un satellite en orbite équatoriale à cette altitude apparait immobile au-dessus d’un point de l’équateur : c’est un satellite géostationnaire.

La particularité de l’orbite géostationnaire suggère une façon de relier le sol et l’espace : il suffit de laisser pendre un câble d’un satellite géostationnaire. Ce dernier restera toujours à l’aplomb du même point de la surface terrestre d’où l’on pourra construire une base de départ de cabines qui escaladeront le câble, transportant des satellites directement jusqu’à l’orbite géostationnaire en quelques jours, environ cinq selon certaines hypothèses retenues. Et inversement les satellites en fin de vie pourraient être redescendus par l’ascenseur et récupérés sur Terre.

Comment déployer le câble depuis l’espace ? La réponse semble simple : il suffit de dérouler une bobine de câble préalablement mise en orbite géostationnaire.

Mais il y a un problème. Sur la partie basse du câble, l’attraction terrestre dépasse la force centrifuge due à son mouvement de rotation autour de la Terre. Conséquence : le câble est irrémédiablement tiré vers la Terre et ne peut maintenir sa position initiale. Pour pallier ce problème, il suffit de déployer le câble simultanément dans deux directions opposées, c’est-à-dire vers la Terre et vers l’espace.

Dans ce cas, l’astuce consiste à ce que la partie supérieure du câble « retienne » la partie inférieure.

L’ascenseur spatial permettrait aussi d’utiliser l’énergie de rotation de la Terre pour lancer des sondes depuis l’orbite géostationnaire vers des orbites plus hautes. La vitesse orbitale tout en haut de l’ascenseur serait si grande qu’un satellite qui y serait largué n’aurait pas besoin de moteur pour échapper à l’attraction terrestre. Vénus, Mars, Jupiter et même la sortie du système solaire seraient accessibles sans énergie supplémentaire que celle requise pour atteindre l’orbite géostationnaire.


 
Schéma de principe de l’ascenseur spatial

D’après « The orbital tower : a spacecraft launcher using the Earth’s rotaional energy », article original de Jérôme Pearson en 1975, et http://blog.belial.fr/post/2010/04/18/Ascenseur-vers-l-espace, article de R. Lehoucq.

Document 2

Vitesse de libération et vitesse orbitale


 

Le graphe ci-dessus représente la vitesse de libération VL et la vitesse orbitale VO d’un point de l’ascenseur spatial en fonction de l’altitude z.

Vitesse de libération VL: vitesse minimale à communiquer à un projectile non motorisé dans le référentiel géocentrique (référentiel lié au solide imaginaire contenant le centre de la Terre et 3 étoiles éloignées) pour qu’il puisse s’échapper de l’attraction terrestre. Elle dépend de son altitude initiale z.

Vitesse orbitale VO d’un point de l’ascenseur spatial : vitesse, par rapport au référentiel géocentrique, qu’il possède sur son orbite dans une direction perpendiculaire au fil de l’ascenseur.

1. Pourquoi utiliser un satellite géostationnaire pour ce projet ?

1 À partir des documents et sans faire de calcul, définir un satellite géostationnaire puis donner les valeurs de sa vitesse et de sa période dans le référentiel terrestre et dans le référentiel géocentrique. (0,5 point)

2 Dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, le satellite géostationnaire a une trajectoire circulaire. À partir de la deuxième loi de Kepler (ou des aires), montrer que le mouvement de ce satellite est uniforme. (0,5 point)

3 En faisant référence à la question précédente, donner la direction et le sens du vecteur accélération du satellite géostationnaire dans le référentiel géocentrique. Montrer que ces résultats sont en conformité avec la deuxième loi de Newton. (0,5 point)

4 Établir l’expression de la vitesse v du satellite géostationnaire dans le référentiel géocentrique en fonction de sa période TGéo, du rayon de la Terre RT (RT = 6,4 × 103 km) et de son altitude h puis calculer sa valeur. (0,5 point)

5 D’après le texte, que faut-il « rajouter » à un satellite géostationnaire pour réaliser un ascenseur spatial ? Pour quelle raison est-il essentiel de placer un satellite à 36 000 km ? (0,5 point)

2. L’ascenseur spatial

1 Sans souci d’échelle, représenter sur un schéma :

  • la Terre de rayon RT= 6,4 × 103 km ;
  • le satellite géostationnaire en orbite à l’altitude h de « 36 000 km » ;
  • le câble reliant le satellite géostationnaire à la Terre ;
  • la cabine de l’ascenseur à un altitude h= 20 000 km ;
  • le vecteur vitesse ascensionnelle de la cabine le long du fil ainsi que son vecteur vitesse orbitale . (0,25 point)

2 Un point de l’ascenseur spatial situé à l’altitude z possède dans le référentiel géocentrique la vitesse orbitale . Montrer que cette expression est cohérente avec l’allure de la courbe de vitesse orbitale dans le document 2. (0,25 point)

3 En faisant référence au document 1, calculer la valeur de sa vitesse moyenne ascensionnelle. (0,5 point)

4 Comparer la vitesse moyenne ascensionnelle à la vitesse orbitale, à l’altitude h. (0,5 point)

5 « La vitesse tout en haut de l’ascenseur serait si grande qu’un satellite qui y serait largué n’aurait pas besoin de moteur pour échapper à l’attraction terrestre. »

1. Estimer l’altitude minimale de l’ascenseur spatial pour que le satellite s’échappe de l’attraction terrestre. (0,5 point)

2. Estimer l’énergie cinétique à communiquer à un satellite de masse m = 1,5 × 103 kg, en orbite géostationnaire, pour qu’il s’échappe de l’attraction terrestre. Comment cette énergie peut-elle lui être communiquée ? (0,5 point)

Notions et compétences en jeu

Extraire des informations Connaître les lois de Kepler Connaître les lois de Newton Connaître les propriétés des mouvements circulaires Schématiser une situation.

Conseils du correcteur

Partie 1

3 Utilisez les propriétés de l’accélération d’un mouvement circulaire uniforme.

Partie 2

2 Commencez par définir mathématiquement l’équation d’une courbe telle que celle donnée dans le document 2, puis identifiez les termes avec ceux de la formule donnée.

52. Grâce au document 2, déterminez la vitesse de libération que le satellite doit atteindre pour échapper à l’attraction terrestre. Comparez alors son énergie cinétique à celle qu’il a en orbite géostationnaire.

Corrigé

1. Pourquoi utiliser un satellite géostationnaire ?

1 Extraire des informations

Un satellite géostationnaire est un satellite stationnaire par rapport à la Terre. D’après le document 1 : « […], un satellite en orbite équatoriale à cette altitude apparaît immobile au-dessus d’un point de l’équateur […] ». Le satellite est donc immobile dans le référentiel terrestre : sa vitesse est nulle.

Dans le référentiel géocentrique, il tourne avec la même période que la Terre c’est-à-dire 24 h. Sa vitesse est, d’après le document 2 et par lecture graphique, vO= 3 km/s puisque son altitude est 36 000 km.

2 Utiliser la deuxième loi de Kepler

La deuxième loi de Kepler dit que le satellite balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux. Si la trajectoire est circulaire, le satellite parcourt donc des arcs de cercle de longueurs égales pendant des intervalles de temps égaux. Sa vitesse est donc constante. Le mouvement du satellite est circulaire uniforme.

 

Notez bien

Un vecteur centripète est dirigé vers le centre du cercle.

3 Connaître les propriétés des mouvements circulaires uniformes

Par propriété d’un mouvement circulaire uniforme, l’accélération est centripète et sa valeur est telle que R est le rayon de la trajectoire.

Ici, v est constante donc est centripète et constante.

D’autre part, le satellite n’est soumis qu’à la force de gravitation exercée par la Terre. Cette force est dirigée vers la Terre : elle est centripète. Elle est donc colinéaire au vecteur accélération, ce qui est conforme avec la deuxième loi de Newton qui dit que .

4 Établir la relation entre vitesse et période

Le satellite décrit un cercle de périmètre d = 2π(RT+h).

Il parcourt ce cercle en une durée TGéo.

Sa vitesse est donc :

.

5 Formuler une hypothèse

Pour réaliser un ascenseur spatial il faut ajouter un câble à un satellite géostationnaire. Il faut forcément placer le satellite à l’altitude de 36 000 km parce qu’il faut que le satellite soit géostationnaire.

2. L’ascenseur spatial

1 Schématiser une situation


 

2 Définir l’allure d’une courbe

D’après les données,

On a donc une relation de la forme vO= a +bz avec a et b constants puisque RT et TGéo le sont. Le graphe représentant vO en fonction de z est donc une droite, ce qui est conforme au document 2. De plus a et b sont positifs. La droite est donc croissante et son ordonnée à l’origine est positive.

 

Attention

Dans le système international, les vitesses se calculent en m/s.

3 Extraire des informations

D’après le document 1, la durée de parcours est t= 5 jours. La distance parcourue est :

h = 36 000 km.

On peut donc calculer la vitesse moyenne ascensionnelle :

2,8×102km/h.

4 Comparer des données

Par lecture graphique sur le document 2, quand h = 20 000 km,

vO= 2 km/s = 2 000 m/s. On a donc = 25 soit une vitesse orbitale 25 fois plus grande que la vitesse ascensionnelle moyenne.

51. Faire une lecture graphique

Pour échapper de l’orbite terrestre, il faut que la vitesse orbitale soit au moins égale à la vitesse de libération. D’après le document 2, cela se produit quand l’altitude est au moins égale à celle du point de concours des courbes soit : H = 48 000 km.

2. Calculer une énergie cinétique

Quand il est en orbite géostationnaire, un satellite a une vitesse orbitale de vO= 3,1 km/s (calcul à la question 4 de la partie 1). Pour échapper à l’attraction terrestre, il lui faudrait une vitesse vL= 4,5 km/s (lecture graphique). Il faut donc lui communiquer une énergie ΔE qui correspond à une énergie cinétique :

Cette énergie supplémentaire peut être communiquée au satellite par un moteur annexe.