L’atome d’hydrogène

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Énergie, matière et rayonnement
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
L’atome d’hydrogène
 
 

Énergie, matière et rayonnement

Corrigé

34

Comprendre

pchT_1200_00_59C

 

Sujet inédit

Exercice • 5 points

On se propose dans cet exercice d’étudier le modèle de l’atome d’hydrogène proposé par Niels Bohr en 1913. Ce modèle prolonge le modèle planétaire, issu de la mécanique classique, proposé par Ernest Rutherford, avec cette différence essentielle que Niels Bohr introduisit un nouveau concept, à savoir la quantification des niveaux d’énergie des électrons orbitaux.

Dans le modèle de Bohr, l’électron tournait autour du noyau de l’atome d’hydrogène sur une orbite considérée comme circulaire. Les atomes d’hydrogène étaient stables. Mais, d’après la mécanique classique, un électron en orbite autour d’un noyau aurait dû rayonner en émettant de l’énergie lumineuse. En perdant son énergie par rayonnement, il devait tomber sur le noyau. Pour résoudre cette impossibilité, Bohr proposa, dans son hypothèse, la quantification des orbites, c’est-à-dire qu’il devait y avoir certaines orbites sur lesquelles l’électron n’émet pas de rayonnement. Pour chaque orbite, l’électron a une énergie quantifiée. Ce modèle avait l’avantage d’expliquer que le spectre de l’hydrogène ne montrait que certaines raies et non un continuum lumineux. L’énergie de l’électron étant quantifiée, l’énergie de l’atome d’hydrogène l’était aussi.

Données

  • 1 eV = 1,6 × 10−19 J ;
  • h= 6,62 × 10−34 J · s ;
  • c= 3,00 × 108 m · s−1.

1 Expliquer succinctement ce que signifie l’adjectif quantifié. On pourra, pour illustrer le propos, faire une comparaison avec l’énergie déterminée dans le cadre de la mécanique classique, celle de Newton. (0,25 point)

L’énergie de l’atome d’hydrogène s’exprime sous la forme En=13,6n2 (eV)n est un nombre entier strictement positif appelé nombre quantique principal.

À chacune de ces énergies est associée une orbite circulaire de l’électron dont le rayon rn vérifie rn= a0 n2, a0 étant une grandeur appelée « rayon de Bohr », valeur du rayon de l’atome pour la plus petite valeur de n à savoir n= 1.

2 Compléter le tableau ci-dessous en indiquant la valeur de l’énergie de l’atome ainsi que le rayon de l’orbite de l’électron en fonction de n. Le rayon sera exprimé en multiple de a0. (0,25 point)

 

n

1

2

3

4

5

En (eV)

– 13,6

– 3,40

– 1,51

rn

a0

4a0

9a0

 

3 Vers quelle valeur évolue l’énergie En de l’atome lorsque la valeur du nombre quantique principal n devient très grande ? Même question concernant la valeur du rayon rn. (0,25 point)

L’image que l’on peut donner de l’électron en interaction avec le proton dans l’atome d’hydrogène est celle d’un puits dans lequel l’électron serait « piégé ». Le document en annexe, donne une représentation graphique de ce puits.

4 Définir l’état fondamental de l’atome d’hydrogène. (0,25 point)

5 Quelle énergie minimale faut-il fournir à l’atome pour « libérer » l’électron de ce puits ? (0,25 point)

6 Quelle modification subit l’atome d’hydrogène si l’électron est « libéré » de ce puits ? (0,5 point)

7 On suppose qu’un électron d’énergie E= 10,2 eV vient frapper un atome d’hydrogène d’énergie E1.

1. Quelle est la forme d’énergie E= 10,2 eV de l’électron ? (0,5 point)

2. Dans quel état énergétique se retrouve alors l’atome après avoir reçu cette énergie ? (0,25 point)

8 Dans ce nouvel état, l’atome est instable et va chercher à retrouver son état de plus basse énergie. Ce phénomène s’accompagne de l’émission d’un photon. Déterminer sa fréquence puis sa longueur d’onde dans le vide. (0,75 point)

9 Un rayonnement de longueur d’onde λ = 103 nm dans le vide est absorbé par des atomes d’hydrogène d’énergie – 13,6 eV.

1. À quel type de rayonnement appartiennent les photons de longueur d’onde λ = 103 nm ? (0,25 point)

2. Décrire sur le diagramme en annexe l’évolution de l’énergie de l’atome d’hydrogène. Vous justifierez votre description par des calculs. (0,75 point)

3. Est-ce que la désexcitation des atomes d’hydrogène est visible ? (0,75 point)

Annexe


 

Ne sont présentés sur ce diagramme que les trois premiers niveaux d’énergie, à savoir E1, E2 et E3.

Notions et compétences en jeu

Connaître le pourquoi des différences entre mécanique classique et mécanique quantique • Connaître les spectres atomiques.

Conseils du correcteur

Un atome effectue une transition en passant d’un état d’énergie à un autre :

  • en absorbant de l’énergie sous forme lumineuse (photon) ou cinétique (électron), il passe d’un état d’énergie à un état d’énergie supérieure ;
  • pour se désexciter, l’atome libère de l’énergie lumineuse sous la forme d’un photon dont la fréquence du rayonnement dépend de la différence d’état d’énergie de l’atome.
Corrigé

1 Expliquer la différence entre mécanique classique
et mécanique quantique

 

C’est la grande différence entre la mécanique de Newton et la mécanique quantique.

Dans le cadre de la mécanique de Newton, l’énergie mécanique d’un système est une fonction continue donc elle peut, a priori, prendre toutes les valeurs possibles. En revanche, dans le cadre de la mécanique quantique, l’énergie de l’atome ne peut prendre que des valeurs discrètes : l’énergie de l’atome est dite quantifiée.

2 Savoir extrapoler des données pour remplir un tableau

 

n

1

2

3

4

5

En (eV) = – 13,6/n²

– 13,6

– 3,40

– 1,51

– 0,850

– 0,544

rn=a0n²

a0

4a0

9a0

16a0

25a0

 

3 Tirer les conséquences d’une formule aux limites

Si n devient très grand alors En= 13,6n2 tend vers zéro et le rayon rn =a0 n2 tend vers l’infini.

4 Donner une définition

L’état fondamental est l’état de plus basse énergie soit E1.

5 Donner la condition minimale du rayonnement

L’électron piégé au fond du puits dans l’état fondamental d’énergie E1= – 13,6 eV, doit passer à un état d’énergie nulle au minimum, pour se libérer de cet état d’énergie négative ; ainsi il faut lui fournir une énergie positive minimale égale à 13,6 eV.

6 Conséquence pour l’atome d’hydrogène

Si l’électron sort du puits alors l’atome d’hydrogène perd un électron ; il devient un proton H+, il est alors ionisé.

 

Rappel

L’atome d’hydrogène est constitué d’un électron et d’un proton.

7 Calculer un état d’énergie

1. L’électron possède de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle que l’on néglige devant l’énergie cinétique.

2. L’atome est initialement dans son état de plus basse énergie E1.

On lui apporte l’énergie ΔE = 10,2 eV =En – E1. Il passe alors dans un état d’énergie En tel que : En=E1+ 10,2 = −13,6 + 10,2 = – 3,4 eV =E2.

Ainsi l’atome se retrouve dans l’état d’énergie E2 qui est le premier état excité.

8 Calculer la valeur de la longueur d’onde d’un rayonnement

 

Afin d’éviter toute erreur, pensez à convertir chaque grandeur dans son unité du système international. L’énergie doit donc être convertie en Joule.

L’atome retrouve son état de plus basse énergie E1 en libérant un photon d’énergie ΔE=E2 – E1 et de fréquence ν telle que ΔE=h · ν soit  ν=ΔEh avec ΔE en J.

 

Attention aux chiffres significatifs !

ν=10,2×1,602×10196,62×1034

= 2,468 × 1015= 2,47 ×1015 Hz.

La longueur d’onde dans le vide λ du photon émis est alors : λ=cν.

Il s’ensuit que λ=3,00×1082,468×1015= 1,215 × 10−7 m =122 nm.

9 Donner la nature d’un rayonnement et calculer son énergie

1. λ = 103 nm est inférieure à 400 nm donc ce rayonnement appartient au domaine des ultraviolets.

2. Calcul de l’énergie du photon :

E = h cλ = 6,62 × 1034 × 3,00 × 108103 × 109 = 1,93 × 1018 J

soit en eV : E = 1,93 × 10181,6 × 1019 = 12,1 eV.

Or E3 – E1= – 1,51 – (− 13,6) = 12,1 eV.

L’atome absorbe donc ce rayonnement et passe de l’état d’énergie E1 à l’état E3.

Rapidement, cet atome va se désexciter en libérant une énergie E3 – E1, E3 – E2 et E2 – E1 sous forme de quanta d’énergie ou photons (flèches courbes).


 

3. Calcul des longueurs d’onde de chaque photon émis lors des transitions 3 → 2 et 2 → 1 : λ · ΔE=h · c soit λ = hcΔE

Pour 3 → 2 : λ32= 6,62 ×1034 × 3,00 × 108[(1,51  (3,4)) × 1,6 × 1019]= 6,6 × 10−7 m.

Pour 2 → 1 : λ21= 6,62 ×1034 × 3,00 × 108[(3,4  (13,6)) × 1,6 × 1019] = 1,2 × 10−7 m.

On constate que 400 nm < λ32< 800 nm ; il s’ensuit que la radiation émise par désexcitation de l’atome de l’état 3 à l’état 2 sera visible.