▶ 1. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle AHC rectangle en H.

AC² = AH² + CH² ou encore AH² = AC² – CH².

Alors AH² = 342² – 145² = 95 939.

AH = $\sqrt{95 939}$ ou encore $\boxed{\text{AH }\approx \text{ 310 cm}}$ (valeur approchée au cm près).

▶ 2. Les points A, N, C sont alignés dans le même ordre que les points A, M, B et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès et écrire $\frac{\text{AN}}{\text{AC}}$ = $\frac{\text{MN}}{\text{BC}}$.

Alors $\frac{165}{342}$ = $\frac{\text{MN}}{290}$ et le produit en croix permet d’écrire

MN = $\frac{165\times 290}{342}$.

Conclusion : $\boxed{\text{MN }=\text{ 140 cm}}$ (valeur approchée au cm près).

▶ 3. On sélectionne les différents matériaux utilisés et on indique les prix correspondants :

la poutre principale de longueur 4 m et coûtant 12,99 € ;

4 poutres de 3,5 m de longueur et coûtant 11,75 € l’unité soit un coût total de 47 € ;

1 barre de maintien de longueur 3 m et coûtant 6,99 €. On la coupe pour obtenir deux morceaux de même longueur 1,4 m ;

ensemble de fixations pour 1 portique à 80 € ;

ensemble de deux balançoires à 50 €.

Coût total C = 12,99 + 47 + 6,99 + 80 + 50,

soit $\boxed{C=\text{196,98 €}}$.

▶ 4. Calculons le prix de vente T du portique.

T = 196,98 + $\frac{20}{100}$ × 196,98 ou encore $\boxed{T=\mathrm{236,3}\text{8 €}}$ au centime d’euro près.

▶ 5. Dans le triangle HAC rectangle en H, $\sin \widehat{\text{HAC}}$ = $\frac{\text{HC}}{\text{AC}}$ ou encore $\sin \widehat{\text{HAC}}$ = $\frac{145}{342}$ ≈ 0,424. La calculatrice donne $\widehat{\text{HAC}}$ = 25,09° (valeur au centième de degré près).

De plus, le triangle BAC est isocèle en A.

Donc (AH) est la bissectrice de l’angle $\widehat{\text{BAC}}$ et

$\widehat{\text{BAC}}$ = 2 × 25,09° = 50,18°.

La mesure de cet angle est bien comprise entre 45° et 55°.

Conclusion : le portique respecte la condition de sécurité.