La borne de péage automatique

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
&nbsp
La borne de p&eacute age automatique

Probabilit&eacute s et statistiques &bull Conditionnement

Corrig&eacute

32

Ens. sp&eacute cifique

matT_1200_00_10C

Sujet in&eacute dit

Exercice &bull 5 points

Dans tout cet exercice on donnera la valeur exacte de chaque r&eacute sultat.

Gr&acirc ce &agrave un syst&egrave me de d&eacute tecteur, une borne de p&eacute age automatique peut d&eacute livrer des tickets &agrave deux hauteurs diff&eacute rentes selon le v&eacute hicule d&eacute tect&eacute afin que le conducteur ne soit pas oblig&eacute de sortir pour le saisir  :

  • s&rsquo il s&rsquo agit d&rsquo une voiture, d&rsquo une moto ou d&rsquo une camionnette, le ticket sort en bas 
  • s&rsquo il s&rsquo agit d&rsquo un camion, le ticket sort en haut.

La soci&eacute t&eacute d&rsquo autoroute a mod&eacute lis&eacute le fonctionnement d&eacute fectueux du d&eacute tecteur de l&rsquo une de ces bornes  :

  • lorsqu&rsquo un camion passe, il n&rsquo est correctement d&eacute tect&eacute que deux fois sur trois 
  • lorsqu&rsquo un autre type de v&eacute hicule passe, son conducteur est contraint d&rsquo en sortir pour saisir son ticket une fois sur quatre.

On estime qu&rsquo &agrave cette borne de p&eacute age, 60  % des v&eacute hicules sont des camions. On consid&egrave re les &eacute v&eacute nements suivants  :

  : &laquo   Le v&eacute hicule qui se pr&eacute sente est un camion  &raquo

  : &laquo   Le ticket sort en haut  &raquo

B  : &laquo   Le ticket sort en bas  &raquo

Notation  : pour tout &eacute v&eacute nement E et tout &eacute v&eacute nement F de probabilit&eacute non nulle, on note la probabilit&eacute de l&rsquo &eacute v&eacute nement E et la probabilit&eacute conditionnelle de E sachant F.

&gt 1.  Donner les probabilit&eacute s et . (0,75 point)

&gt 2.  Construire un arbre probabiliste pr&eacute sentant la situation. (1 point)

&gt 3.  Calculer la probabilit&eacute que le ticket sorte en haut. (1 point)

&gt 4.  Montrer que la probabilit&eacute qu&rsquo un conducteur ne soit pas oblig&eacute de sortir de son v&eacute hicule pour saisir le ticket vaut 0,7. (1 point)

&gt 5.  Trois v&eacute hicules se pr&eacute sentent l&rsquo un apr&egrave s l&rsquo autre &agrave cette borne de p&eacute age d&eacute fectueuse. On mod&eacute lise cette situation comme un tirage avec remise.

Calculer la probabilit&eacute qu&rsquo au moins l&rsquo un des conducteurs soit contraint de descendre de son v&eacute hicule pour saisir son ticket. (1,25 point)

Dur&eacute e conseill&eacute e  : 45  min.

Les th&egrave mes en jeu

Arbres pond&eacute r&eacute s &bull Probabilit&eacute s conditionnelles &bull Loi de probabilit&eacute .

Les conseils du correcteur

&gt     4.  Exploitez le r&eacute sultat suivant  : le conducteur n&rsquo est pas oblig&eacute de sortir pour prendre son ticket si et seulement si il conduit un camion et le ticket sort en haut, ou un v&eacute hicule d&rsquo un autre type et le ticket sort en bas.

&gt     5.  On r&eacute p&egrave te trois fois la m&ecirc me exp&eacute rience. Il s&rsquo agit d&rsquo un sch&eacute ma de Bernoulli. &laquo   Au moins l&rsquo un des conducteurs  &raquo signifie un conducteur ou deux conducteurs ou trois conducteurs  il est plus simple de consid&eacute rer l&rsquo &eacute v&eacute nement contraire.