La borne de péage automatique

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
La borne de péage automatique

Probabilités et statistiques • Conditionnement

Corrigé

32

Ens. spécifique

matT_1200_00_10C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Dans tout cet exercice on donnera la valeur exacte de chaque résultat.

Grâce à un système de détecteur, une borne de péage automatique peut délivrer des tickets à deux hauteurs différentes selon le véhicule détecté afin que le conducteur ne soit pas obligé de sortir pour le saisir :

  • s’il s’agit d’une voiture, d’une moto ou d’une camionnette, le ticket sort en bas ;
  • s’il s’agit d’un camion, le ticket sort en haut.

La société d’autoroute a modélisé le fonctionnement défectueux du détecteur de l’une de ces bornes :

  • lorsqu’un camion passe, il n’est correctement détecté que deux fois sur trois ;
  • lorsqu’un autre type de véhicule passe, son conducteur est contraint d’en sortir pour saisir son ticket une fois sur quatre.

On estime qu’à cette borne de péage, 60 % des véhicules sont des camions. On considère les événements suivants :

 : « Le véhicule qui se présente est un camion »

 : « Le ticket sort en haut »

B : « Le ticket sort en bas »

Notation : pour tout événement E et tout événement F de probabilité non nulle, on note la probabilité de l’événement E et la probabilité conditionnelle de E sachant F.

>1. Donner les probabilités  ; et . (0,75 point)

>2. Construire un arbre probabiliste présentant la situation. (1 point)

>3. Calculer la probabilité que le ticket sorte en haut. (1 point)

>4. Montrer que la probabilité qu’un conducteur ne soit pas obligé de sortir de son véhicule pour saisir le ticket vaut 0,7. (1 point)

>5. Trois véhicules se présentent l’un après l’autre à cette borne de péage défectueuse. On modélise cette situation comme un tirage avec remise.

Calculer la probabilité qu’au moins l’un des conducteurs soit contraint de descendre de son véhicule pour saisir son ticket. (1,25 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles • Loi de probabilité.

Les conseils du correcteur

>  4. Exploitez le résultat suivant : le conducteur n’est pas obligé de sortir pour prendre son ticket si et seulement si il conduit un camion et le ticket sort en haut, ou un véhicule d’un autre type et le ticket sort en bas.

>  5. On répète trois fois la même expérience. Il s’agit d’un schéma de Bernoulli. « Au moins l’un des conducteurs » signifie un conducteur ou deux conducteurs ou trois conducteurs ; il est plus simple de considérer l’événement contraire.

Corrigé

>1. Calcul de p(C) ; et

60 % des véhicules qui passent à cette borne de péage sont des camions, donc :

Lorsqu’un véhicule autre qu’un camion passe, son conducteur est contraint d’en sortir pour saisir son ticket une fois sur quatre, donc le ticket sort en haut une fois sur quatre, donc :

Les événements H et B sont contraires, donc :

>2. Puisqu’on connaît des probabilités « sachant  », les deux premières branches de l’arbre mènent aux événements et .


>3. Calcul de p(H)

>4. Calcul de la probabilité qu’un conducteur ne soit pas obligé de sortir de son véhicule

La probabilité qu’un conducteur ne soit pas obligé de sortir de son véhicule pour saisir le ticket est la somme de deux probabilités (d’événements incompatibles) : la probabilité qu’il conduise un camion et que le ticket sorte en haut, et la probabilité qu’il ne conduise pas un camion et que le ticket sorte en bas, soit :

>5. Calcul de la probabilité qu’au moins un des conducteurs soit contraint de descendre pour saisir son ticket

On considère trois véhicules se présentant successivement à la borne de péage.

Soit D l’événement « au moins l’un des conducteurs est contraint de descendre de son véhicule pour saisir son ticket » ; l’événement contraire est « aucun conducteur n’est obligé de sortir de son véhicule pour prendre son ticket ».

Puisqu’on modélise la situation comme un tirage avec remise, d’après la question précédente :

La probabilité demandée est :

Notez bien

On considère les trois véhicules comme indépendants les uns des autres.