La clé du numéro INSEE

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
La clé du numéro INSEE

Arithmétique

Corrigé

41

Ens. de spécialité

matT_1200_00_23C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Partie A

>1. Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances ?

>2. Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.

Partie B

Le numéro INSEE est constitué de 15 chiffres. Quand on le lit de gauche à droite :

  • le premier chiffre est 1 s’il s’agit d’un homme et 2 s’il s’agit d’une femme ;
  • les deux chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres de l’année de naissance ;
  • les deux chiffres suivants désignent le mois de naissance ;
  • les deux chiffres suivants désignent le département de naissance ;
  • les trois chiffres suivants désignent la commune de naissance ;
  • les trois chiffres suivants désignent le numéro d’inscription sur le registre d’état-civil ;
  • les deux chiffres suivants désignent la clé K, calculée de la manière suivante :
  • soit A le nombre entier constitué par les 13 chiffres de gauche ;
  • soit r le reste de la division euclidienne de A par 97 ;
  • alors K = 97 − r.

Les 13 premiers chiffres (sans la clé) du numéro INSEE de Sophie sont : 2 85 07 86 183 048.

On note A ce nombre et r le reste de la division euclidienne de A par 97.

>1.a) Déterminer les deux entiers a et b tels que avec .

Montrer ensuite que , en utilisant le reste de la division euclidienne de 100 par 97.

b) En déduire le reste r de la division euclidienne de A par 97.

>2. Déterminer le numéro INSEE complet de Sophie.

>3. Sophie, à qui l’on demande les treize premiers chiffres de son numéro INSEE, inverse les deux derniers chiffres et répond 2 85 07 86 183 084 au lieu de 2 85 07 86 183 048. On note B la réponse de Sophie.

a) Calculer la différence BA et en déduire que le reste de la division euclidienne de B par 97 est égal à 21.

b) L’erreur faite par Sophie peut-elle être détectée ?

Durée conseillée : 35 min.

Le thème en jeu

Arithmétique.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Utilisez le fait que «  » équivaut à « Il existe un entier relatif k tel que  ».

Partie B

>  1. a) Démontrez dans un premier temps que et utilisez judicieusement une propriété de compatibilité de la relation de congruence.

b) Vérifiez les égalités suivantes : et .

Déduisez-en que le reste r de la division euclidienne de A par 97 est 82.

>  2. Relisez dans l’énoncé la définition de la clé INSEE…

>  3. a) Démontrez puis exploitez l’égalité de congruence .

b) Calculez la clé K du numéro B saisie et comparez-la à celle du numéro A.

Corrigé

PARTIE A

>1. Question de cours sur les congruences

Soit a, b, a′, b′ et n cinq nombres entiers relatifs avec n 0.

  • Si et alors . (1)

Si et alors . (2)

Si alors pour tout entier naturel k. (3)

>2. Supposons et .

Il existe k et k′ deux entiers relatif tels que et .

On en déduit par produit les égalités suivantes équivalentes :

On a avec  ℤ.

Par conséquent, si et alors .

PARTIE B

>1.a) Manipuler des égalités de congruences

Notons a = 2 850 786 et b = 183 048 on a bien .

On a . En effet, .

Ainsi, et donc .

b) Calculer le reste d’une division euclidienne

et .

On en déduit ainsi que et .

Or, . Il s’ensuit que avec et .

Le reste r de la division euclidienne de A par 97 est 82.

>2. Exploiter les données d’un énoncé

La clé K du numéro INSEE de Sophie est donc K = 97 – 82 = 15.

Son numéro INSEE complet est donc 2 85 07 86 183 048 15.

>3.a) Manipuler des égalités de congruences

BA = 2 85 07 86 183 084 – 2 85 07 86 183 048 = 36.

Or, d’où .

De plus, .

On en conclut que le reste de la division euclidienne de B par 97 est égal à 21.

b) Prendre une initiative

La clé K du numéro B saisie est donc K = 97 – 21= 76.

L’erreur de Sophie peut donc être détectée car sa clé est égale à 15.