Terminale générale Physique-chimie Images et lumière

France métropolitaine, mars 2023 • Jour 1

SPRINT FINAL

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France métropolitaine, mars 2023 • Jour 1

exercice 1

À la découverte de Saturne

1 h 50

11 points

Intérêt du sujet • Retournons au xvii^esiècle, à la découverte historique de la planète Saturne ! Cela nous permettra aussi de découvrir comment Huygens a perfectionné la lunette astronomique de Galilée et découvert le satellite Titan.

La planète Saturne a été observée à travers une lunette astronomique pour la première fois par l’astronome Galilée en 1610. Il a pu entrevoir la planète, mais sa lunette ne lui a pas permis de distinguer clairement ce qui l’entourait (figure 1).

Ce n’est qu’en 1655, grâce à une lunette plus perfectionnée, que Christian Huygens comprend que ce qui entoure Saturne sont des anneaux dont l’aspect varie avec l’angle d’observation.

La même année, il découvre également Titan, le plus gros satellite de Saturne (figures 2 et 3).

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Source : Systema Saturnium de Huygens

Le but de cet exercice est d’étudier la lunette astronomique de Huygens afin de comparer ses observations de Saturne et de ses anneaux à celles de Galilée. La fin de l’exercice est consacrée à l’étude du mouvement du satellite Titan à partir des observations de Huygens.

Données

Caractéristiques des lunettes astronomiques utilisées par Galilée et Huygens :

Tableau de 3 lignes, 5 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : ;Distance focale f1′ de l’objectif;Distance focale f2′ de l’oculaire;Diamètre a de l’objectif;Grossissement;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Lunette de Galilée utilisée en 1610; ; ; 29,0 mm; GGal = 14; Ligne 2 : Lunette de Huygens utilisée en 1655; 329 cm; 7,0 cm; 51,0 mm; ;

Un observateur peut distinguer deux points différents d’un objet si l’angle sous lequel sont vus ces deux points, depuis le point d’observation, est supérieur ou égal à 3,0 × 10^–4 rad.

Approximation dans le cas de petits angles (θ << 1 rad) : tan θ = θ.

Constante de gravitation universelle : G = 6,67 × 10^–11 N · m² · kg^–2.

Masse de Saturne : M_S= 5,68 × 10²⁶ kg.

Masse de Titan : M_T = 1,34 × 10²³kg.

Distance moyenne entre la Terre et Saturne : D_T-S = 1,42 × 10⁹ km.

Rayon de l’orbite de Titan autour de Saturne : R = 1,22 × 10⁶km.

Partie 1. Observation de Saturne par Huygens ⏱ 50 min

La lunette de Huygens, considérée comme afocale, est modélisée par un système de deux lentilles minces convergentes notées L₁ et L₂. La lentille L₁ représente l’objectif et la lentille L₂ l’oculaire.

Leurs centres optiques respectifs sont notés O₁ et O₂ et leurs distances focales respectives sont notées f₁′ et f₂′.

Sur la figure 4 ci-après, réalisée sans souci d’échelle, sont représentées les deux lentilles et la position du foyer image F′₁ de la lentille L₁. La lunette est utilisée pour observer un objet AB, supposé « à l’infini », dont l’image par l’objectif sera notée A₁B₁. Deux rayons lumineux issus de B sont représentés sur le schéma.

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Figure 4. Schéma de la lunette de Huygens (échelle non respectée)

▶ 1. Préciser le sens du terme « afocal ». (0,5 point)

▶ 2. Placer, sur la figure 4, les foyers objet F₂ et image F′₂ de la lentille L₂ dans le cas d’une lunette afocale. (0,5 point)

▶ 3. Construire, sur la figure 4, la marche des deux rayons lumineux issus de B qui émergent de la lunette en faisant apparaître l’image intermédiaire A₁B₁. (1 point)

La lunette de Huygens est constituée d’un tube long de 372 cm. Comme indiqué sur la figure 5, l’oculaire est placé à une extrémité du tube. L’objectif quant à lui est enfoncé de 36 cm par rapport à l’autre extrémité, afin de le protéger de la buée.

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Figure 5. Représentation schématique de la lunette de Huygens (échelle non respectée)

▶ 4. Vérifier, à partir des données, que la lunette d’Huygens peut être considérée comme « afocale ».

L’angle θ, représenté sur la figure 4, désigne l’angle sous lequel l’espace AB entre la surface de Saturne et son premier anneau est vu à l’œil nu depuis la Terre, lorsque les anneaux de Saturne sont vus de face (voir figure 6). (0,5 point)

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Figure 6. Angle sous lequel Saturne est vue par Huygens sans la lunette (échelle non respectée)

On note θ′ l’angle sous lequel un observateur voit l’image A′ B′ de l’espace AB, à travers la lunette astronomique.

▶ 5. Placer l’angle θ′ sur la figure 4. (0,25 point)

▶ 6. Donner l’expression du grossissement G_Huy de la lunette de Huygens en fonction des angles θ et θ′. (0,25 point)

▶ 7. Montrer que le grossissement G_Huyde la lunette de Huygens s’exprime en fonction des distances focales des lentilles L₁ et L₂ constituant la lunette :

$G_{Huy} = \frac{{f^{'}}_{1}}{{f^{'}}_{2}}$ (1 point)

▶ 8. Calculer la valeur du grossissement G_Huy de la lunette utilisée par Huygens. (0,25 point)

▶ 9. Conclure sur la possibilité pour Huygens de distinguer la surface de Saturne de son premier anneau en utilisant la lunette. La distance entre la surface de Saturne et son premier anneau est égale à D_A-B = 3,17 × 10⁴ km (figure 6). (1 point)

Partie 2. Prise en compte de la diffraction dans l’observation astronomique ⏱ 15 min

L’observation des détails d’un objet avec une lunette astronomique est principalement limitée par le phénomène de diffraction. En effet, l’image donnée par l’objectif d’une source ponctuelle « à l’infini » n’est pas un point mais une figure de diffraction circulaire, appelée tache d’Airy, représentée en figure 7.

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Figure 7. Figure de diffraction obtenue par une ouverture circulaire (échelle non respectée – image en négatif)

Dans le cas de la lunette astronomique, on admet que l’angle caractéristique de diffraction vérifie la relation :

$θ_{diff} = 1,22 \times \frac{λ}{a}$

avec λ la longueur d’onde du faisceau incident et a le diamètre de l’objectif.

Une lunette astronomique ne permet de distinguer deux points A et B que si l’écart angulaire θ entre les directions de ces deux points vus depuis la Terre est supérieur ou égal à l’angle caractéristique de diffraction, c’est-à-dire si la condition θ ≥ θ_diff est vérifiée. Si ce n’est pas le cas, les taches d’Airy associées aux deux points se superposent et les deux points ne peuvent être séparés visuellement.

▶ 10. Expliquer pourquoi on peut considérer que le phénomène de diffraction a empêché Galilée d’observer les anneaux de Saturne avec sa lunette astronomique contrairement à Huygens qui a pu les observer. Une approche quantitative est attendue.

On rappelle que la distance entre Saturne et la limite du premier anneau visible à l’époque est égale à D_A-B= 3,17 × 10⁴ km et on effectuera les calculs avec une valeur de la longueur d’onde λ = 550 nm, pour laquelle l’œil humain est le plus sensible. (1,25 point)

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Partie 3. Prise en compte de la diffraction dans l’observation astronomique ⏱ 45 min

Le 25 mars 1655, à 8 heures du soir, employant sa lunette, Huygens aperçoit près de Saturne, un point brillant qu’il soupçonne être un satellite de cette planète. Plus tard, ce satellite sera appelé Titan.

Document

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« Après le 25 mars 1655, à savoir le 10 avril, le satellite a été vu à la même position qu’il occupait à cette première date. De même, le 3 et le 19 avril de cette même année des positions identiques furent observées ; de même encore le 13 et le 29 de ce mois. Tenant donc compte de ces résultats, j’ai dessiné une circonférence de cercle représentant l’orbite du satellite, avec Saturne au centre, et je l’ai divisée en 16 parties, comme le montre la figure suivante. Dans cette orbite j’ai fait circuler le satellite suivant l’ordre naturel des chiffres. […]

Cherchant ensuite sur cette circonférence l’endroit où le satellite s’était trouvé dans notre première observation et corrigeant plusieurs fois cet endroit, […] il m’a semblé enfin que tout le mouvement peut être représenté le plus commodément, si dans le cas de la première observation, celle du 25 mars 1655, le satellite est placé auprès du nombre 12. Par suite le satellite de Saturne était le 26 mars auprès du nombre 13, le 27 mars auprès du nombre 14, le 3 avril auprès du nombre 5 et ainsi de suite aux endroits de l’orbite qui correspondent assez bien avec les situations observées la première année. »

Source : d’après Systema Saturnium, Huygens

▶ 11. Justifier le choix de Huygens de diviser la trajectoire de Titan en 16 parties. (0,5 point)

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Figure 8. Schéma de la trajectoire de Titan dans le référentiel saturnocentrique

Le mouvement de Titan, noté T, est étudié dans le référentiel saturnocentrique, dont l’origine est placée au centre S de Saturne et dont les axes sont dirigés vers des étoiles lointaines. Il est considéré comme galiléen. On travaille dans le repère de Frenet $(T, \vec{u_{t}}, \vec{u_{n}})$ .

Dans Systema Saturnium, Huygens précise que la valeur de la période de révolution T_Huy de Titan est de « 15 jours 23 heures 13 minutes ».

▶ 12. Donner l’expression vectorielle de la force d’interaction gravitationnelle exercée par Saturne sur le satellite Titan en fonction de G, M_S, M_T, R et de l’un des vecteurs unitaires. (0,5 point)

▶ 13. Le mouvement de Titan autour de S est supposé circulaire. Montrer qu’il est uniforme puis que l’expression de la vitesse du satellite s’écrit sous la forme :

$v = \sqrt[]{\frac{G M_{s}}{R}}$ . (2 points)

▶ 14. En déduire l’expression de la période de révolution notée T_Kep de Titan. Calculer sa valeur. Commenter. (1,5 point)

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

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Les conseils du correcteur

Coups de pouce

$Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Observation de Saturne par Huygens; ▶ 7. Placez-vous dans l’approximation des petits angles et exprimez séparément les angles θ et θ′ avant d’en faire le rapport.▶ 9. Utilisez la figure 6 pour établir l’expression de l’angle θ′. Calculez sa valeur et comparez-la au pouvoir de séparation de l’œil.; Ligne 2 : Partie 3. Prise en compte de la diffraction dans l’observation astronomique; ▶ 11. Exploitez le texte historique pour déterminer la valeur de la période de révolution de Titan.▶ 12. Souvenez-vous que la force d’attraction gravitationnelle exercée par Saturne sur Titan a la même direction et le même sens que le vecteur unitaire un→. ▶ 13. Appliquez la deuxième loi de Newton au satellite Titan, soumis à l’attraction gravitationnelle exercée par Saturne. Souvenez-vous aussi que, dans le cas d’un mouvement circulaire, l’expression du vecteur accélération a→ est donné, dans le repère de Frenet, par a → = dvdt ut → + v2R un→.;$

Aide à la résolution de la question 10 (Partie 2)

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Partie 1. Observation de Saturne par Huygens

▶ 1. Définir le terme « afocal »

Une lunette est dite afocale si l’image d’un objet situé à l’infini se forme elle-même à l’infini. Pour cela, le foyer image F′₁ de l’objectif doit être confondu avec le foyer objet F₂ de l’oculaire : F′₁ = F₂.

▶ 2. Placer les foyers objet et image de l’oculaire

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▶ 3. Construire des rayons lumineux

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▶ 4. Vérifier que la lunette est afocale

Sur la figure 5, on constate que L = l + O₁O₂.

On en déduit que O₁O₂ = L – l = 372 – 36 = 336 cm.

Or, d’après les données, on a f₁′ = 329 cm et f₂′ = 7,0 cm donc f₁′ + f₂′ = 336,0 cm. Ainsi, on a bien f₁′ + f₂′ = O₁O₂ : la lunette de Huygens est effectivement afocale.

▶ 5. Placer un angle sur un schéma

L’angle θ′ a été placé sur le schéma précédent.

▶ 6. Donner l’expression du grossissement

Le grossissement de la lunette de Huygens est donné par : G_Huy = $\frac{θ^{'}}{θ}$ .

▶ 7. Établir l’expression du grossissement en fonction des distances focales

attention

Cette démonstration, très classique, est souvent demandée : savoir la refaire vous permettra de gagner des points facilement.

En regardant attentivement le schéma optique, nous pouvons exprimer ce grossissement non pas en fonction des angles θ et θ′ mais en fonction de distances.

Dans le triangle (O₂, A₁, B₁) rectangle en A₁, on peut écrire : $\tan θ^{'} = \frac{A_{1} B_{1}}{A_{1} O_{2}}$ = θ′ car θ′ est petit, d’où $θ^{'} = \frac{A_{1} B_{1}}{A_{1} O_{2}}$ = $\frac{A_{1} B_{1}}{{f^{'}}_{2}}$ .

Dans le triangle (O₁, A₁, B₁) rectangle en A₁ on peut écrire $\tan θ = \frac{A_{1} B_{1}}{A_{1} O_{1}} = θ$ car θ est petit, d’où $θ = \frac{A_{1} B_{1}}{A_{1} O_{1}} = \frac{A_{1} B_{1}}{{f^{'}}_{1}}$ .

Le grossissement de la lunette peut donc s’écrire :

G_Huy = $\frac{θ^{'}}{θ} = \frac{A_{1} B_{1}}{{f^{'}}_{2}} \times \frac{{f^{'}}_{1}}{A_{1} B_{1}}$ $= \frac{{f^{'}}_{1}}{{f^{'}}_{2}}$ .

▶ 8. Calculer la valeur du grossissement

On utilise la formule précédente en considérant les valeurs données, f₁′ = 329 cm et f₂′ = 7,0 cm : G_Huy = $\frac{329}{7,0}$ = 47.

Le grossissement de la lunette utilisée par Huygens est égal à 47.

à noter

Souvenez-vous que le grossissement est une grandeur sans unité. Ici, vous pouvez faire cette division en conservant les valeurs des distances focales en cm.

▶ 9. Valider l’observation de Saturne et de son premier anneau

Nous devons ici comparer l’angle θ′ au pouvoir de séparation de l’œil.

Déterminons l’angle θ sous lequel l’espace AB entre la surface de Saturne et son premier anneau est vu, à l’œil nu, par Huygens depuis la Terre.

D’après la figure 6, on a : tanθ = $\frac{D_{A - B}}{D_{T - S}}$ .

On peut donc calculer tanθ = $\frac{3,17 \times 10^{4}}{1,42 \times 10^{9}}$ = 2,23 × 10^–5 rad.

Comme tanθ est très petit, on peut estimer que θ a la même valeur : θ = 2,23 × 10^–5 rad.

Déterminons l’angle θ′ sous lequel l’espace AB entre la surface de Saturne et son premier anneau est désormais vu par Huygens à travers sa lunette depuis la Terre.

On connaît la valeur du grossissement de la lunette de Huygens, or G_Huy = $\frac{θ^{'}}{θ}$ .

On peut donc écrire : θ′ = G_Huy × θ et calculer sa valeur : θ′ = 47 × 2,23 × 10^–5 = 1,0 × 10^–3 rad.

On en déduit que θ′ est supérieur au pouvoir de séparation de l’œil, qui vaut 3,0 × 10^–4 rad d’après l’énoncé.

En utilisant sa lunette, Huygens pouvait effectivement distinguer la surface de Saturne de son premier anneau.

Partie 2. Prise en compte de la diffraction dans l’observation astronomique

▶ 10. Montrer que le phénomène de diffraction peut gêner une observation

À la question 9, nous avons calculé que θ = 2,23 × 10^–5 rad. Or, nous pouvons calculer, pour chacune des lunettes, l’angle caractéristique de diffraction en utilisant la formule donnée dans l’énoncé : θ_diff = 1,22 × $\frac{λ}{a}$ .

Pour chaque lunette, nous pourrons donc comparer les valeurs de θ et θ_diff et ainsi évaluer leur sensibilité au phénomène de diffraction.

Pour la lunette de Galilée

θ_diff = 1,22 × $\frac{550 \times 10^{- 9}}{29,0 \times 10^{- 3}} = 2,31 \times 10^{- 5} rad$ .

On constate que θ_diff > θ : le phénomène de diffraction empêchait Galilée d’observer les anneaux de Saturne.

Pour la lunette de Huygens

θ_diff = 1,22 × $\frac{550 \times 10^{- 9}}{51,0 \times 10^{- 3}} = 1,32 \times 10^{- 5} rad .$

Ici, θ_diff < θ donc le phénomène de diffraction n’a pas empêché Huygens d’observer les anneaux de Saturne.

Partie 3. Découverte de Titan par Huygens

▶ 11. Analyser un texte pour en déduire une période de révolution

D’après le texte, Huygens a observé la rotation du satellite Titan autour de Saturne. Il a ainsi constaté qu’il était à la même position :

le 25 mars 1655 puis le 10 avril 1655 ;

le 3 et le 19 avril 1655 ;

le 13 et le 29 avril 1655.

Ainsi, on en déduit qu’il s’écoule 16 jours pour que le satellite soit observé à la même position : la période de révolution de Titan est de 16 jours. C’est pourquoi Huygens a divisé la trajectoire de Titan en 16 parties égales.

▶ 12. Donner l’expression vectorielle de la force d’interaction gravitationnelle

La force d’attraction gravitationnelle exercée par Saturne sur Titan est donnée par la relation : $\vec{F_{S/T}} = G \frac{M_{T} M_{S}}{R^{2}} \vec{u_{n}}$ .

▶ 13. Montrer que le mouvement du satellite est uniforme et établir l’expression de sa vitesse

On étudie le système {Titan} dans le référentiel saturnocentrique considéré comme galiléen. On considère que la seule force qui s’exerce sur Titan est la force d’attraction gravitationnelle exercée par Saturne $\vec{F_{S/T}} .$

D’après la deuxième loi de Newton, appliquée au satellite de masse M_T, on peut écrire :

$\sum \vec{F_{ext}} = M_{T} \vec{a}$ d’où $\vec{F_{S/T}} = M_{T} \vec{a}$ .

Ainsi, $G \frac{M_{T} M_{S}}{R^{2}} \vec{u_{n}}$ $= M_{T} \vec{a}$

d’où : $\vec{a} = G \frac{M_{S}}{R^{2}} \vec{u_{n}}$ (1)

Comme le satellite décrit une orbite circulaire, l’expression du vecteur accélération $\vec{a}$ est donné, dans le repère de Frenet, par :

$\vec{a} = \frac{d v}{d t} \vec{u_{t}} + \frac{v^{2}}{R} \vec{u_{n}}$ (2)

Par identification des relations (1) et (2), on obtient selon le vecteur $\vec{u_{t}}$ :

$\frac{d v}{d t} = 0$

donc v = constante.

On en conclut que le mouvement du satellite est bien circulaire et uniforme car sa vitesse reste constante.

Poursuivons l’identification des relations (1) et (2), selon le vecteur $\vec{u_{n}}$ cette fois :

$G \frac{M_{S}}{R^{2}} = \frac{v^{2}}{R}$ d’où $v^{2} = G \frac{M_{S}}{R^{2}} R$ .

On obtient bien la relation donnée dans l’énoncé : $v = \sqrt[]{\frac{G M_{S}}{R}}$ .

▶ 14. Établir l’expression de la période de révolution du satellite puis calculer sa valeur

La période de révolution T_Kep de Titan est la durée que met ce satellite pour faire un tour complet autour de Saturne sur son orbite. C’est donc le temps qu’il lui faut pour parcourir la distance d = 2πR à la vitesse v :

$T_{Kep} = \frac{2π R}{v}$ .

En remplaçant v par l’expression obtenue à la question 13 :

$T_{Kep} = \frac{2π R}{\sqrt[]{\frac{G M_{S}}{R}}} = 2πR \sqrt[]{\frac{R}{G M_{S}}}$ = $2 π \sqrt[]{\frac{R^{3}}{G M_{S}}}$ .

$T_{Kep} =$ $2 π \sqrt[]{\frac{{(1,22 \times 10^{6} \times 10^{3})}^{3}}{6,67 \times 10^{- 11} \times 5,68 \times 10^{26}}}$

= 1,38 × 10⁶ s.

attention

Il faut convertir les distances en mètres.

Que vaut cette valeur en nombre de jour quand on l’exprime comme l’a fait Huygens ?

1 j = 24 h = 24 × 3 600 s donc $T_{Kep} =$ $\frac{1,38 \times 10^{6}}{24 \times 3 600}$ = 15,97 j : c’est une période proche de 16 jours, valeur trouvée à la question 11.

On peut aussi comparer cette valeur aux observations de Huygens qui écrivait que la période de révolution de Titan est « 15 jours 23 heures et 13 minutes » : en secondes, cette durée est de :

15 × 24 × 3 600 + 23 × 3 600 + 13 × 60 = 1,38 × 10⁶ s.

La valeur de la période obtenue à partir de la deuxième loi de Newton correspond parfaitement à celle déterminée par Huygens à partir de ses observations.

À la découverte de saturne

Partie 1. Observation de Saturne par Huygens ⏱ 50 min

Figure 4. Schéma de la lunette de Huygens (échelle non respectée)

Figure 5. Représentation schématique de la lunette de Huygens (échelle non respectée)

Figure 6. Angle sous lequel Saturne est vue par Huygens sans la lunette (échelle non respectée)

Partie 2. Prise en compte de la diffraction dans l’observation astronomique ⏱ 15 min

Figure 7. Figure de diffraction obtenue par une ouverture circulaire (échelle non respectée – image en négatif)

Partie 3. Prise en compte de la diffraction dans l’observation astronomique ⏱ 45 min

Document

Figure 8. Schéma de la trajectoire de Titan dans le référentiel saturnocentrique

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

Les conseils du correcteur

Coups de pouce

Aide à la résolution de la question 10 (Partie 2)

Partie 1. Observation de Saturne par Huygens

▶ 1. Définir le terme « afocal »

▶ 2. Placer les foyers objet et image de l’oculaire

▶ 3. Construire des rayons lumineux

▶ 4. Vérifier que la lunette est afocale

▶ 5. Placer un angle sur un schéma

▶ 6. Donner l’expression du grossissement

▶ 7. Établir l’expression du grossissement en fonction des distances focales

attention

▶ 8. Calculer la valeur du grossissement

à noter

▶ 9. Valider l’observation de Saturne et de son premier anneau

Partie 2. Prise en compte de la diffraction dans l’observation astronomique

▶ 10. Montrer que le phénomène de diffraction peut gêner une observation

Partie 3. Découverte de Titan par Huygens

▶ 11. Analyser un texte pour en déduire une période de révolution

▶ 12. Donner l’expression vectorielle de la force d’interaction gravitationnelle

▶ 13. Montrer que le mouvement du satellite est uniforme et établir l’expression de sa vitesse

▶ 14. Établir l’expression de la période de révolution du satellite puis calculer sa valeur

attention

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