La drôle de parabole

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 2 • 5 points

La drôle de parabole

On donne les matrices 428018-Eqn8 et 428018-Eqn9.

Partie A

1. Déterminer la matrice M2. On donne 428018-Eqn10.

2. Vérifier que M3 = M2 + 8M + 6I.

3. En déduire que M est inversible et que 428018-Eqn11.

Partie B : Étude d’un cas particulier

On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe par les points A(1 ; 1), B(–1 ; –1) et C(2 ; 5).

1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a, b et c tels que

428018-Eqn12.

2. Calculer les nombres a, b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers.

Partie C : Retour au cas général

Les nombres a, b, c, p, q, r sont des entiers.

Dans un repère 428018-Eqn13, on considère les points A(1 ; p), B(–1 ; q) et C(2 ; r).

On cherche des valeurs de p, q et r pour qu’il existe une parabole d’équation y = ax2 + bx + c passant par A, B et C.

1. Démontrer que si 428018-Eqn14 avec a, b et c entiers, alors 428018-Eqn15.

2. En déduire que 428018-Eqn16.

3. Réciproquement, on admet que si 428018-Eqn17 alors il existe trois entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe par les points A, B et C.

a) Montrer que les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, 2r + q – 3p = 0.

b) On choisit p = 7. Déterminer des entiers q, r, a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe par les points A, B et C.

Les clés du sujet

Les thèmes clés

Matrices • Arithmétique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calculatrice

Calcul matriciel  C5 Partie A, 1., 2. et 3. ; Partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

1. Utilisez le fait qu’un point appartient à une courbe si, et seulement si, ses coordonnées en vérifient l’équation. Écrivez ensuite les trois égalités qui en découlent sous forme matricielle.

Partie C

3. a) Souvenez-vous : trois points A, B et C du plan sont alignés si, et seulement si, les vecteurs 428018-Eqn28 et 428018-Eqn29 sont colinéaires.

Corrigé

Corrigé

Partie A

1. Effectuer un produit matriciel

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

Nous avons :

428018-Eqn269

2. Vérifier une égalité matricielle

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

Nous avons, d’après la question 1.,

428018-Eqn270

3. Démontrer qu’une matrice est inversible

D’après la question 2., nous avons :

428018-Eqn271

Or la matrice 428018-Eqn272 est la matrice identité d’ordre 3. Par définition, la matrice 428018-Eqn273 est donc inversible et son inverse 428018-Eqn274 est donné par 428018-Eqn275.

Partie B : étude d’un cas particulier

1. Écrire un système sous forme matricielle

Un point appartient à une courbe si, et seulement si, ses coordonnées en vérifient l’équation. Ainsi, les points A, B et C appartient à la parabole d’équation 428018-Eqn276 si, et seulement si,

428018-Eqn277

428018-Eqn278.

Autrement dit, le problème revient à chercher trois entiers 428018-Eqn279, 428018-Eqn280 et 428018-Eqn281 tels que 428018-Eqn282.

2. Résoudre un système à l’aide des matrices

Comme la matrice 428018-Eqn283 est inversible d’après la question 3. de la partie A, nous avons :

428018-Eqn284.

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

Or,

428018-Eqn285

Ainsi,

428018-Eqn286

Ainsi, nous en concluons que : 428018-Eqn287, 428018-Eqn288 et 428018-Eqn289.

Partie C : retour au cas général

1. Démontrer une implication

Supposons que : 428018-Eqn290.

Par suite, 428018-Eqn291

ce qui s’écrit également sous la forme suivante :

428018-Eqn292.

Par conséquent, 428018-Eqn293, 428018-Eqn294 et 428018-Eqn295 étant des entiers, nous avons :428018-Eqn296

2. Établir des relations de congruence

D’après la question 1. de cette partie, 428018-Eqn297

Par suite, 428018-Eqn298 et 428018-Eqn299

Toujours d’après la question 1. de la partie C, nous avons :

428018-Eqn300 et 428018-Eqn301

Par somme,

428018-Eqn302

3. a) Justifier une équivalence

Les trois points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs 428018-Eqn303 et 428018-Eqn304 sont colinéaires.

Les coordonnées de 428018-Eqn305 sont 428018-Eqn306

celles de 428018-Eqn307 sont 428018-Eqn308.

La colinéarité se traduisant par l’égalité :428018-Eqn309, les équivalences suivantes en découlent :

428018-Eqn310

Nous en concluons que les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, 428018-Eqn311.

b) Déterminer une équation d’une parabole

Choisissons 428018-Eqn312 Comme 428018-Eqn313 alors il existe un entier 428018-Eqn314 tel que 428018-Eqn315 Autrement dit, 428018-Eqn316.

De même, choisissons 428018-Eqn317 Comme 428018-Eqn318, alors il existe un entier 428018-Eqn319 tel que 428018-Eqn320 Autrement dit, 428018-Eqn321.

Avec 428018-Eqn322, 428018-Eqn323 et 428018-Eqn324, comme 428018-Eqn325, alors 428018-Eqn326 et donc les trois points A, B et C ne sont pas alignés.

Les trois conditions étant vérifiées pour ces choix de 428018-Eqn327, 428018-Eqn328 et 428018-Eqn329, nous en concluons qu’il existe trois entiers 428018-Eqn330428018-Eqn331 et 428018-Eqn332 tels que la parabole d’équation 428018-Eqn333 passe par les points A, B et C.

Similairement à la partie B, étude d’un cas particulier, nous avons :

428018-Eqn334

Suite aux choix pour 428018-Eqn335, 428018-Eqn336 et 428018-Eqn337 nous avons : 428018-Eqn338, 428018-Eqn339 et 428018-Eqn340.