La drôle de parabole

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 2 • 5 points

La drôle de parabole

On donne les matrices 428018-Eqn8 et 428018-Eqn9.

Partie A

1. Déterminer la matrice M2. On donne 428018-Eqn10.

2. Vérifier que M3 = M2 + 8M + 6I.

3. En déduire que M est inversible et que 428018-Eqn11.

Partie B : Étude d’un cas particulier

On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe par les points A(1 ; 1), B(–1 ; –1) et C(2 ; 5).

1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a, b et c tels que

428018-Eqn12.

2. Calculer les nombres a, b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers.

Partie C : Retour au cas général

Les nombres a, b, c, p, q, r sont des entiers.

Dans un repère 428018-Eqn13, on considère les points A(1 ; p), B(–1 ; q) et C(2 ; r).

On cherche des valeurs de p, q et r pour qu’il existe une parabole d’équation y = ax2 + bx + c passant par A, B et C.

1. Démontrer que si 428018-Eqn14 avec a, b et c entiers, alors 428018-Eqn15.

2. En déduire que 428018-Eqn16.

3. Réciproquement, on admet que si 428018-Eqn17 alors il existe trois entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe par les points A, B et C.

a) Montrer que les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, 2r + q – 3p = 0.

b) On choisit p = 7. Déterminer des entiers q, r, a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe par les points A, B et C.

Les clés du sujet

Les thèmes clés

Matrices • Arithmétique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calculatrice

Calcul matriciel  C5 Partie A, 1., 2. et 3. ; Partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

1. Utilisez le fait qu’un point appartient à une courbe si, et seulement si, ses coordonnées en vérifient l’équation. Écrivez ensuite les trois égalités qui en découlent sous forme matricielle.

Partie C

3. a) Souvenez-vous : trois points A, B et C du plan sont alignés si, et seulement si, les vecteurs 428018-Eqn28 et 428018-Eqn29 sont colinéaires.