La famille exponentielle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle - Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
La famille exponentielle

Fonction exponentielle

matT_1309_04_01C

ENS. SPÉCIFIQUE

16

CORRIGE

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Exercice 2 • 6 points

Pour tout réel k strictement positif, on désigne par fk la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels telle que :

.

On note sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal .

Partie A : étude du cas k = 1

On considère donc la fonction f1 définie sur par .

>1. Déterminer les limites de la fonction f1 en − ∞ et en + ∞. En déduire que la courbe admet une asymptote que l’on précisera.

>2. Étudier les variations de f1 sur puis dresser son tableau de variations sur .

>3. Démontrer que la fonction g1 définie et dérivable sur telle que :

est une primitive de la fonction f1 sur .

>4. Étudier le signe de f1(x) suivant les valeurs du nombre réel x.

>5. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = ln10.

Partie B : propriétés graphiques

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes , et a et b sont des réels strictement positifs fixés, et T la tangente à au point O origine du repère.


>1. Montrer que pour tout réel k strictement positif, les courbes passent par un même point.

>2.a) Montrer que pour tout réel k strictement positif et tout réel x on a :

.

b) Justifier que, pour tout réel k strictement positif, fk admet un maximum et calculer ce maximum.

c) En observant le graphique ci-dessus, comparer a et 2. Expliquer la démarche.

d) Écrire une équation de la tangente à au point O origine du repère.

e) En déduire à l’aide du graphique une valeur approchée de b.

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Étude de fonction • Calcul d’aire • Équation de tangente.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Limites associées à la fonction exponentielle  E5a • E8c  → Partie A, 1.
  • Formule de dérivation pour un produit de fonctions  E6f  → Partie A, 2. et 3. ; partie B, 2. a)
  • Formule pour le calcul intégral  E13 Partie A, 5.
  • Formule pour l’équation réduite d’une tangente  E6b  → Partie B, 2. d)

Nos coups de pouce

Partie B

>1. Remarquez que les courbes représentées sur le graphique passent toutes par l’origine du repère : .

>2. b) Étudiez le signe de la dérivée de la fonction puis déduisez-en ses variations et enfin concluez sur l’existence d’un maximum.

>2. c) Placez sur l’axe des abscisses les valeurs respectives de pour lesquelles et atteignent leur maximum, puis comparez ces valeurs et concluez.

Corrigé

Partie A : étude du cas k = 1

Autre méthode

En posant , et.

Par produit,.

>1. Quelques calculs de limites et interprétation

Pour tout réel x, . Alors, comme et , par quotient .

Attention

Limite à connaître : un calcul direct donnerait une forme indéterminée.

Pour tout réel non nul x, . Par croissances comparées, .

Par passage à l’inverse, .

Nous en déduisons que la courbe 𝒞1 admet pour asymptote la droite d’équation y = 0 (axe des abscisses).

>2. Variations d’une fonction

Attention

La dérivée de la fonction est (application de la formule ).

D’après l’énoncé, f1 est dérivable sur (étude du cas ).

Pour tout réel x : .

De plus, .

Nous obtenons donc :


.

>3. Identification d’une primitive d’une fonction

Attention

Dérivée d’un produit de deux fonctions , avec

D’après l’énoncé, g1 est dérivable sur .

Pour tout réel x :

La fonction g1 est donc une primitive de la fonction f1 sur .

>4. Signe d’une fonction

Pour tout réel x : .

Nous obtenons ainsi :


x


- ∞



0



+ ∞


Signe de f1(x)




0


+