Partie 1. Les étoiles Tatoo 1 et Tatoo 2

▶ 1. Évaluer une distance à partir d'un document photo

Nous savons d'après le texte que la distance d entre les deux étoiles est d'environ 10 millions de kilomètres (10⁷ km) or sur l'image cette distance mesure 19 mm.

Mesurons alors le rayon r d'une des étoiles sur l'image : 3,5 mm. Pour davantage de précision, on mesure le diamètre (7 mm) que l'on divise par deux ensuite.

On déduit donc le rayon des étoiles :

r = $\frac{{10}^7\times \mathrm{3,5}}{19}\simeq \mathrm{1,8}\times {10}^6 \text{km}$.

Ce qui est bien de l'ordre de 2 millions de kilomètres annoncé dans la question.

▶ 2. Calculer la masse à partir de la masse volumique

Si la masse volumique des étoiles est identique à celle du Soleil, on peut écrire :

ρ_soleil = ρ_Tatoo ⇔ $\frac{M_{\text{soleil}}}{V_{\text{soleil}}}=\frac{M_{\text{Tatoo}}}{V_{\text{Tatoo}}}$

D'où la masse de Tatoo (1 ou 2) : M_Tatoo = $\frac{M_{\text{soleil}}}{V_{\text{soleil}}}$ × V_Tatoo.

Le Soleil comme Tatoo étant des sphères, leurs volumes s'expriment par $\frac{4}{3}\text{π}{r}^3$. D'où :

M_Tatoo = $\frac{M_{\text{soleil}}}{\frac{4}{3}\text{π}{r}_{\text{soleil}}^3}$ × $\frac{4}{3}\text{π}{r}_{\text{Tatoo}}^{\text{3}}$

M_Tatoo = $\frac{r_{\text{Tatoo}}^3}{r_{\text{soleil}}^3}\times M_{\text{soleil}}={\left(\frac{2\times {10}^6}{7\times {10}^5}\right)}^3\times 2\times {10}^{30}\simeq$$\mathrm{4,7}\times {10}^{31}\text{kg}$.

La masse du Soleil étant de 2 × 10³⁰ kg les étoiles de Tatooine sont environ 23 fois plus massives $\left(\frac{\mathrm{4,7}\times {10}^{31}}{2\times {10}^{30}} \simeq 23\right)$.

Partie 2. Tatooine en orbite

▶ 1. Expliciter une phrase à partir d'informations données

Nous savons que la distance entre les étoiles est d'environ 10 millions de kilomètres, or la distance entre la planète Tatooine et ces étoiles est de 200 millions de kilomètres. La distance entre les étoiles est donc très inférieure à la distance étoiles-planète. Pour la planète, c'est comme si les étoiles ne formaient qu'une seule étoile.

▶ 2. Faire un schéma représentant un satellite et son astre attracteur

$\overrightarrow{F}$ représente la force d'attraction gravitationnelle du système Tatoo 1-2 sur la planète Tatooine et $\overrightarrow{a}$ l'accélération de la planète.

Les deux vecteurs sont colinéaires et dans le même sens puisque m_Tatooine $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{F}$ ; il s'agit d'un mouvement à accélération centrale (dirigée vers le centre). On parle aussi d'une accélération centripète.

▶ 3. Montrer que le mouvement circulaire d'un satellite est uniforme

Cette démonstration peut être menée à l'aide du repère de Frenet de la façon suivante :

Le bilan des forces appliquées sur le satellite (ici la planète Tatooine tournant autour de l'étoile Tatoo 1-2) nous apprend qu'il n'existe que la force d'attraction gravitationnelle.

En appliquant la seconde loi de Newton à la planète Tatooine, on obtient : m_Tatooine × $\overrightarrow{a}$ = G × $\frac{m_{\text{Tatoo}12}\times m_{\text{Tatooine}}}{{\left(d_{\text{Tatoo}12-\text{Tatooine}}\right)}^2}$ $\overrightarrow{N}$

où le vecteur $\overrightarrow{N}$, dirigé vers le centre de la trajectoire (ici, l'étoile double Tatoo 1-2), est le vecteur normal de la base de Frenet.

On peut donc écrire que :

$\overrightarrow{a}$ = G × $\frac{m_{\text{Tatoo}12}}{{\left(d_{\text{Tatoo}12-\text{Tatooine}}\right)}^2}$ $\overrightarrow{N}$.

Or, dans le repère de Frenet, pour un mouvement circulaire l'accélération $\overrightarrow{a}$ vérifie la relation :

$\overrightarrow{a}=\frac{v^2}{R}\overrightarrow{N}+\frac{dv}{dt}\overrightarrow{T}$.

En adaptant cette formule à notre exercice, on obtient :

$\overrightarrow{a}=\frac{v^2}{d_{\text{Tatoo}12-\text{Tatooine}}}\overrightarrow{N}+\frac{dv}{dt}\overrightarrow{T}$

D'où, on déduit de ces deux relations que :

$\overrightarrow{a}=\frac{v^2}{d_{\text{Tatoo}12-\text{Tatooine}}}\overrightarrow{N}+\frac{dv}{dt}\overrightarrow{T}=G\frac{m_{\text{Tatoo}12}}{{\left(d_{\text{Tatoo}12-\text{Tatooine}}\right)}^2}\overrightarrow{N}$

Or pour un mouvement circulaire, les vecteurs de la base sont perpendiculaires, donc les deux parties de l'accélération sont « séparées ».

Donc : $\frac{v^2}{d_{\text{Tatoo}12-\text{Tatooine}}}\overrightarrow{N}=G\frac{m_{\text{Tatoo}12}}{{\left(d_{\text{Tatoo}12-\text{Tatooine}}\right)}^2}\overrightarrow{N}$

et $\frac{dv}{dt}\overrightarrow{T}$= $\overrightarrow{0}$.

D'où $\frac{v^2}{d_{\text{Tatoo}12-\text{Tatooine}}}=G\frac{m_{\text{Tatoo}12}}{{\left(d_{\text{Tatoo}12-\text{Tatooine}}\right)}^2}$ et $\frac{dv}{dt}=0$ : la composante tangentielle de l'accélération est nulle.

Ainsi, par intégration, on peut en déduire que la valeur de la vitesse est constante et donc que le mouvement est uniforme.

▶ 4. Déterminer la vitesse d'un satellite

Dans la question précédente, nous avons démontré que :

$\frac{v^2}{d_{\text{Tatoo}12-\text{Tatooine}}}\overrightarrow{N}$ = G $\frac{m_{\text{Tatoo}12}}{\left(d_{\text{Tatoo}12-\text{Tatooine}}\right)²}\overrightarrow{N}$.

On peut alors écrire, d'après les notations de l'énoncé :

$\frac{v^2}{R}$ = G $\frac{M}{R^2}$

D'où v² = G $\frac{M}{R}$ et $v=\sqrt[]{G\frac{M}{R}}$.

▶ 5. Déterminer la période de révolution d'une planète

Pour obtenir la période de révolution, on exprime la vitesse comme étant égale au périmètre sur la période :

v = $\frac{2\text{π}R}{T}$.

$\begin{array}{l}\text{Donc }T=\frac{2\text{π}R}{v}=2\text{π}R\times \frac{1}{v}=2\text{π}R\times \sqrt{\frac{R}{GM}}=\sqrt{\frac{4{\text{π}}^2{R}^3}{GM}}\\ T=\sqrt{\frac{4{\text{π}}^2\times {(200\times {10}^6\times {10}^3)}^3}{\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\times \mathrm{9,5}\times {10}^{31}}}\approx \text{7,1}\times {\text{10}}^{\text{6}}\text{s}\approx \text{82 jours.}\end{array}$ 

La période de révolution de la Terre autour du Soleil étant de 365 jours, celle de Tatooine représente $\frac{82}{365}=\mathrm{0,22}$ soit un peu moins du quart de celle de la Terre autour du Soleil.