La jeunesse d'Anakin

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Lien entre les actions appliquées à un système et son mouvement
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Le mouvement

La jeunesse d’Anakin

50 min

5 points

Intérêt du sujet • Tatooine, la planète de Luke et d’Anakin Skywalker tourne autour de deux Soleils. Saurez-vous estimer leurs tailles respectives et la distance qui les sépare ? Les comparer à notre Soleil ? Calculer combien de jours dure une année sur Tatooine ? « De cette image beaucoup tu apprendras ! »

 

Dans la saga Star Wars, deux héros, Luke et Anakin Skywalker, ont passé leur enfance sur la planète Tatooine. Cette planète désertique a la particularité d’être en orbite autour de deux étoiles : Tatoo 1 et Tatoo 2. On se propose de déterminer quelques caractéristiques de cette planète et de ses deux étoiles à partir de données extraites du film.

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© Lucasfilm/20th Century Fox / The Kobal Collection / Aurimages

Image du film Star Wars. Épisode IV : A new hope Luke Skywalker marchant au coucher de soleils

Données

Masse et rayon du Soleil et de la Terre :

Tableau de 3 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : ; Soleil; Terre; Ligne 2 : Masse (en kg); 2,0 × 1030; 6,0 × 1024; Ligne 3 : Rayon (en km); 7,0 × 105; 6,4 × 103;

Constante gravitationnelle : G = 6,67 × 10–11 m3 ⋅ s–2 ⋅ kg–1.

Volume d’une sphère de rayon : V=43πr3.

DocumentL’orbite de Tatooine

Impossible d’évoquer la célèbre planète Tatooine, repère de brigands galactiques sur lequel règne le fameux Jabba le Hutt, sans parler de ses deux soleils (ou étoiles).

Cette particularité n’est pas si étonnante quand on considère que les deux tiers des étoiles visibles à l’œil nu font partie d’un système multiple. Le problème n’est donc pas de trouver une étoile double, mais de comprendre comment une planète peut évoluer dans un tel système.

[…] L’orbite de Tatooine pourrait englober ses deux soleils à la fois. Ce type d’orbite n’est stable que si la distance qui sépare la planète de ses soleils est au moins quatre fois plus grande que celle qui sépare les étoiles. Du point de vue de la planète, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient qu’une. Peut-on estimer le rayon de l’orbite de Tatooine ? Oui, bien sûr !

[…] Remarquons d’abord que les deux étoiles sont assez semblables à notre Soleil : l’une est jaune et l’autre est orange, laissant supposer qu’elle est un peu plus froide. Si ces deux étoiles étaient trop proches l’une de l’autre, elles devraient être déformées par leur gravité mutuelle. Comme aucune déformation n’est perceptible dans la scène du coucher des soleils, on peut calculer que leur distance est légèrement supérieure à 10 millions de kilomètres. Pour avoir une orbite stable Tatooine doit donc être distante de ces deux étoiles d’au moins 40 millions de kilomètres. En fait, elle ne doit pas être si près, sous peine d’être vraiment trop chaude et totalement inhabitable. Deux cent millions de kilomètres est une bonne position : à cette distance Tatooine reçoit une énergie lumineuse un peu supérieure à celle qui frappe la Terre, ce qui expliquerait son aspect désertique.

D’après « Carte blanche à Roland Lehoucq, astrophysicien », www.knowtex.com

Partie 1. Les Étoiles Tatoo 1 et Tatoo 2 20 min

1. En supposant que Tatoo 1 et Tatoo 2 ne sont pas déformées et sont à égale distance de Tatooine, montrer, en s’appuyant sur la photo et sur le texte, que la valeur du rayon de chacune des deux étoiles est environ égale à deux millions de kilomètres. Justifier avec soin la démarche utilisée. (1 point)

2. On adoptera pour la suite de l’exercice cette valeur commune pour le rayon des deux étoiles.

En supposant que les deux étoiles ont la même masse volumique moyenne que le Soleil, évaluer l’ordre de grandeur de la masse MTatoo de Tatoo (1 ou 2). Commenter le résultat obtenu. (0,75 point)

partie 2. Tatooine en orbite 30 min

Du point de vue de Tatooine, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient qu’une, l’étoile unique équivalente sera appelée Tatoo 1-2 ; sa masse sera prise égale à 9,5 × 1031 kg.

1. Justifier la phrase précédente à l’aide d’informations données dans le texte. (0,5 point)

2. Faire un schéma du système {Tatooine-Tatoo 1-2} et représenter sans souci d’échelle la force d’attraction gravitationnelle exercée par Tatoo 1-2 sur Tatooine ainsi que le vecteur accélération de la planète Tatooine dans le référentiel lié à Tatoo 1-2 considéré comme galiléen. (1 point)

3. Montrer que le mouvement, supposé circulaire, de la planète dans ce référentiel est uniforme. (0,75 point)

4. Exprimer la valeur de la vitesse de la planète Tatooine en fonction de la constante de gravitation G, de la masse M du système d’étoiles Tatoo1-2 et du rayon R de l’orbite de la planète. (0,5 point)

5. Déduire des résultats précédents, et du texte, la valeur de la période de révolution de Tatooine. Comparer cette valeur à la période de révolution de la Terre autour du Soleil. (0,5 point)

 

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

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Les conseils du correcteur

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Les étoiles Tatoo 1 et Tatoo 2; ▶ 1. Déterminez l’échelle de la photo en mesurant la distance entre les deux étoiles sur la photo, puis faites un produit en croix.▶ 2. La masse volumique du système Tatoo 1-2 est la même que celle de la Terre. Exprimez algébriquement ces deux masses volumiques.; Ligne 2 : Partie 2. Tatooine en orbite; ▶ 3. Appliquez la deuxième loi de Newton sur la planète Tatooine qui ne subit qu’une seule force, l’attraction de l’étoile double Tatoo 1-2, puis exprimez son accélération dans le repère de Frenet et utilisez sa partie tangentielle.▶ 4. Utilisez la partie normale de la composante de l’accélération du repère de Frenet et déduisez-en la valeur de la vitesse v.▶ 5. Exprimez la vitesse d’un objet dont la trajectoire est un cercle et qui a une vitesse constante à partir de la relation v = périmètrepériode.;