COMPRENDRE

Temps, mouvement et évolution

pchT_1705_09_00C

Liban • Mai 2017

Exercice 1 • 5 points • ⏱ 50 min

La mécanique au service de la pétanque

Les thèmes clés

Temps, mouvement et évolution • Cinématique et dynamique newtoniennes

La pétanque est un jeu de boules dérivé du jeu provençal aussi appelé « la longue ». Le but du jeu consiste tout simplement à lancer la boule le plus près possible du « but » matérialisé par le bouchon. Le terrain de jeu est horizontal.

Au début d'une partie de pétanque, un joueur trace un cercle sur le sol, il se place dans ce cercle et lance le bouchon à une distance entre 6 et 10 mètres de ce cercle. Les joueurs de pétanque ont le choix entre pointer, c'est-à-dire tenter de placer leur boule plus près du but que l'adversaire, ou tirer, c'est-à-dire déplacer la boule adverse pour l'éloigner du « but » et remporter le point.

Le pointeur joue avec des boules de petit diamètre (71 à 74 mm) pour offrir moins de surface au tireur, assez lourdes pour un meilleur contrôle (710 à 740 g). Le tireur joue avec des boules de gros diamètre (74 à 78 mm), légères afin de limiter la fatigue (670 à 700 g).

D'après https://www.laboulebleue.fr

Cet exercice aborde l'étude d'un lancer d'une boule par un pointeur, puis par un tireur. Dans tout l'exercice, les frottements seront négligés.

1. le pointeur ⏱ 30 min

Le pointeur lance sa boule de masse m = 710 g avec une vitesse initiale $\vec{V_{0}}$ faisant un angle α par rapport à l'horizontale. L'origine O est prise au point où le pointeur lâche la boule. Le modèle de la chute libre conduit aux équations horaires du mouvement du centre G de la boule dans le repère (O, x, y) : ${\begin{cases} x = V_{0} \cos (α) t \\ y = - \frac{1}{2} g t^{2} + V_{0} \sin (α) t \end{cases}$

Donnée

Intensité du champ de pesanteur sur Terre : g = 9,81 m ∙ s–2.

1 On réalise la chronophotographie du mouvement de la boule lancée par le pointeur. Cette chronophotographie est représentée ci-dessous l'intervalle de temps entre deux prises de vue est de 33,3 ms.

pchT_1705_09_00C_01

Quelques coordonnées du centre de la boule de pétanque

Date t (s)	Abscisse x (m)	Ordonnée y (m)
0,000	0,000	0,000
0,033	0,117	0,117
0,067	0,243	0,243
0,100	0,346	0,360

1. Déterminer, à partir de la chronophotographie, la valeur de l'angle α entre l'horizontale et le vecteur vitesse à l'origine des dates en précisant la méthode choisie. (0,75 point)

2. En exploitant le modèle de la chute libre et en utilisant les résultats expérimentaux, déterminer la valeur de la vitesse initiale V0. (0,75 point)

2 Le pointeur lance la boule en direction du bouchon et la lâche au point O origine du repère choisi. Le point O est situé à 1,2 m du sol.

1. Montrer que la boule suit une trajectoire parabolique d'équation (0,5 point) :

$y = - \frac{1}{2} g \frac{x^{2}}{{(V_{0} \cos (α))}^{2}} + \tan (α) x$

2. Pour un angle α de 51° et une vitesse initiale de valeur égale à 5,5 m ∙ s–1, la boule touche le sol, puis roule vers le bouchon.

Calculer l'abscisse du point d'impact de la boule avec le sol. (1 point)

2. le tireur ⏱ 20 min

La boule lancée par le pointeur étant proche du bouchon, le tireur de l'équipe adverse va chercher à la déplacer. Le tireur lance sa boule à quelques centimètres de la boule visée la boule du tireur roule puis percute la boule du pointeur de plein fouet avec une vitesse V2 = 8,0 m ∙ s–1.

Dans le référentiel terrestre, après le choc, les deux boules, de masses respectives m1 et m2, possèdent les vecteurs vitesse $\vec{{V^{'}}_{1}}$ et $\vec{{V^{'}}_{2}}$ portés par la même direction.

On étudie le cas de figure du choc donné par le schéma suivant.

pchT_1705_09_00C_02

1 Lors de ce choc, deux grandeurs se conservent et permettent d'écrire les relations suivantes :

$m_{2} \vec{V_{2}}$ = $m_{1} \vec{{V^{'}}_{1}}$ + $m_{2} \vec{{V^{'}}_{2}}$

$\frac{1}{2} m_{2} V_{2}^{2}$ = $\frac{1}{2} m_{1} {({V^{'}}_{1})}^{2}$ + $\frac{1}{2} m_{2} {({V^{'}}_{2})}^{2}$

Nommer les deux grandeurs dont la conservation est exprimée par ces relations. (0,5 point)

2 La résolution du système précédent permet d'écrire les relations vectorielles suivantes :

$\vec{{V^{'}}_{1}}$ = $\frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \vec{V_{2}}$ et $\vec{{V^{'}}_{2}}$ = $\frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \vec{V_{2}}$

À partir de ces relations vectorielles, associer les relations A, B et C comparant les masses aux trois propositions 1, 2 et 3.

m1 = m2	A	1	La boule G2 repart en sens inverse.
m1 > m2	B	2	La boule G2 suit la boule G1.
m1 m2	C	3	Les boules échangent leurs vitesses.

Reporter vos réponses sur votre copie et justifier chaque choix. (1 point)

3 Que se passe-t-il si la masse m1 est très largement supérieure à la masse m2 ? (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie 1

1 1. Utilisez soit le tableau des données soit une lecture graphique pour déterminer les coordonnées d'un point.

2. Utilisez une des équations horaires.

2 2. Réinvestissez vos connaissances sur les polynômes du second degré.

Partie 2

2 Commencez par la proposition A, c'est la plus simple.

Corrigé

1. le pointeur

1 1. Déterminer la valeur d'un angle

info

Dans un triangle rectangle en A, on a les formules suivantes :

$\tan α = \frac{x}{y} cos α = \frac{x}{V_{0}} sin α = \frac{y}{V_{0}}$

pchT_1705_09_00C_03

Pour déterminer la valeur de l'angle α nous pouvons utiliser la formule donnant le cosinus, ce qui donne ici : $\cos α = \frac{V_{0}_{x}}{V_{0}}$ .

On mesure donc directement sur le schéma de la chronophotographie :

$\begin{array}{l} ‖ \vec{V_{0}} ‖ = V_{0} = 17 mm \\ V_{0 x} = 11,5 mm \\ donc α = \cos^{- 1} (\frac{11,5}{17}) ≃ 47 ° \end{array}$

2. Déterminer la valeur de V0

On peut utiliser l'équation horaire de la coordonnée x de la boule :

$x = V_{0} \cos (α) t$

D'après les données, $x (0,100) = 0,346 m$ , donc :

$V_{0} \cos (47 °) \times 0,100 = 0,346$

$V_{0} = \frac{0,346}{0,100 \times cos (47 °)} = 5,1 m \cdot s^{- 1}$

2 1. Déterminer une équation de trajectoire

Les équations horaires sont données :

${\begin{cases} x (t) = V_{0} \cos (α) t \\ y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + V_{0} \sin (α) t \end{cases}$

On peut isoler t dans la première équation horaire :

$t = \frac{x (t)}{V_{0} cos (α)}$

et le substituer dans la deuxième équation horaire :

$y = - \frac{1}{2} g {(\frac{x (t)}{V_{0} \cos (α)})}^{2} + V_{0} \sin (α) \frac{x (t)}{V_{0} cos (α)}$

Soit : $y = - \frac{1}{2} g {(\frac{x}{V_{0} \cos (α)})}^{2} + \tan (α) x$

Nous retrouvons bien l'équation demandée.

2. Utiliser l'équation de la trajectoire

attention !

Dans cet exercice, le point d'ordonnée 0 n'est pas au niveau du sol mais au niveau de la main du lanceur !

Le point d'impact avec le sol correspond à une ordonnée y = – 1,2 m. Cela revient donc à résoudre l'équation du second degré suivante :

$- \frac{1}{2} g {(\frac{x}{V_{0} \cos (α)})}^{2} + \tan (α) x = - 1,2$

$- \frac{1}{2} g {(\frac{x}{V_{0} \cos (α)})}^{2} + \tan (α) x + 1,2 = 0$

En remplaçant $a x^{2} + b x + c = 0$ par les valeurs numériques, on obtient :

$- 0,41 x^{2} + 1,23 x + 1,2 = 0 .$

On peut calculer le discriminant :

$∆ = b^{2} - 4 a c = {1,23}^{2} - 4 \times (- 0,41 \times 1,2) = 3,48$

et en déduire les racines du polynôme :

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt[]{∆}}{2 a} = \frac{- 1,23 - \sqrt[]{3,48}}{2 \times (- 0,41)} = 3,77$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt[]{∆}}{2 a} = \frac{- 1,23 + \sqrt[]{3,48}}{2 \times (- 0,41)} = - 0,77$

Physiquement, la seule racine cohérente est $x_{1} = 3,77 m$ , ce qui nous donne la distance de point d'impact de la boule avec le sol.

2. le tireur

1 Connaître les lois de conservation

La relation $m_{2} \vec{V_{2}} = m_{1} \vec{{V^{'}}_{1}} + m_{2} \vec{{V^{'}}_{2}}$ correspond à la loi de conservation de la quantité de mouvement.

La relation $\frac{1}{2} m_{2} V_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} {V^{'}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {V^{'}}_{2}^{2}$ correspond à la loi de conservation de l'énergie cinétique.

2 Émettre des hypothèses à partir de relations mathématiques

Proposition A : m1 = m2 alors $\vec{{V^{'}}_{1}} = \vec{V_{2}}$ et $\vec{{V^{'}}_{2}} = 0 .$

Cela correspond à la proposition 3 : les boules échangent leur vitesse.

Proposition B : m1 > m2 alors $\vec{{V^{'}}_{2}} = k \vec{V_{2}}$ avec k 0.

Cela correspond à la proposition 1 : la boule G2 repart en sens inverse.

Proposition C : m1 m2 alors $\vec{{V^{'}}_{2}} = k \vec{V_{2}}$ avec k > 0.

Cela correspond à la proposition 2 : la boule G2 suit la boule G1.

3 Émettre des hypothèses à partir de relations mathématiques

Si m1 est très grand devant m2 alors :

la relation $\vec{{V^{'}}_{1}} = \frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \vec{V_{2}}$ tend vers 0. La boule 1 ne bouge pas

la relation $\vec{{V^{'}}_{2}} = \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \vec{V_{2}}$ tend vers $\vec{{V^{'}}_{2}} = - \vec{V_{2}}$ . La boule 2 repart avec une vitesse opposée.

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