La molécule de méthane

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2017

Exercice 3 • 4 points • 55 min

La molécule de méthane

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace

 

matT_1706_13_00C_02

Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane CH4 de la façon suivante :

les noyaux d’atomes d’hydrogène occupent les positions des quatre sommets d’un tétraèdre régulier ;

le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d’hydrogène.

L’objectif est de déterminer une mesure de l’angle entre deux liaisons carbone-hydrogène.

Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

1. Justifier qu’on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube ABCDEFGH en positionnant deux atomes d’hydrogène sur les sommets A et C du cube et les deux autres atomes d’hydrogène sur deux autres sommets du cube.

Représenter la molécule dans le cube donné :

matT_1706_13_00C_03

Dans la suite de l’exercice, on pourra travailler dans le repère (A;AB,AD,AE).

2. Démontrer que l’atome de carbone est au centre Ω du cube.

3. Déterminer l’arrondi au dixième de degré de la mesure de l’angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène c’est-à-dire l’angle AΩC^.

Les clés du sujet

2. Déterminez les coordonnées du centre Ω du cube en remarquant qu’il est le milieu des diagonales. Calculez ensuite les longueurs ΩA, ΩC, ΩF et ΩH pour conclure.

3. Pensez aux formules d’Al-Kashi étudiées en classe de Première et exploitez les calculs de la question 2. pour conclure.