Terminale générale Mathématiques Équations de droites et de plans

ALGÈBRE • GÉOMéTRIE

Vecteurs, droites et plans de l'espace

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Vecteurs, droites et plans de l'espace

La molécule de méthane

55 min

4 points

Intérêt du sujet • En inscrivant le tétraèdre formé par la molécule de méthane dans un cube, utilisez le calcul vectoriel pour déterminer l'angle de ses liaisons carbone-hydrogène.

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Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane CH₄ de la façon suivante :

les noyaux d'atomes d'hydrogène occupent les positions des quatre sommets d'un tétraèdre régulier ;

le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d'hydrogène.

L'objectif est de déterminer une mesure de l'angle entre deux liaisons carbone-hydrogène.

Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

▶ 1. Justifier qu'on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube ABCDEFGH en positionnant deux atomes d'hydrogène sur les sommets A et C du cube et les deux autres atomes d'hydrogène sur deux autres sommets du cube.

Représenter la molécule dans le cube donné :

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Dans la suite de l'exercice, on pourra travailler dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}) .$

▶ 2. Démontrer que l'atome de carbone est au centre Ω du cube.

▶ 3. Déterminer l'arrondi au dixième de degré de la mesure de l'angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène c'est-à-dire l'angle $\hat{A Ω C}$ .

Les clés du sujet

▶ 2. Déterminez les coordonnées du centre Ωdu cube en remarquant qu'il est le milieu des diagonales. Calculez ensuite les longueurs ΩA, ΩC, ΩF et ΩH pour conclure.

▶ 3. Pensez aux formules d'Al-Kashi étudiées en classe de Première et exploitez les calculs de la question 2. pour conclure.

▶ 1. Justifier l'inscription d'un tétraèdre dans un cube

Positionnons les atomes d'hydrogène sur les sommets A, C, F et H.

Puisque ABCDEFGH est un cube, toutes ses faces sont des carrés identiques dont les diagonales ont toutes la même longueur. Par conséquent, nous avons AC = CF = AF = AH = HF = HC. Les arêtes du tétraèdre ACFH sont donc toutes d'égale longueur, les quatre faces du tétraèdre sont ainsi des triangles équilatéraux et le tétraèdre ACFH est un tétraèdre régulier.

On peut donc inscrire le tétraèdre formé par les noyaux d'hydrogène dans un cube ABCDEFGH en positionnant deux atomes d'hydrogène sur les sommets A et C, les deux autres sur les sommets F et H.

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▶ 2. Déterminer la position d'un atome

Dans le repère proposé, nous avons : A(0 ; 0 ; 0), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0) et H(0 ; 1 ; 1).

Le centre Ωdu cube est le milieu des diagonales ; c'est en particulier le milieu de [AG].

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Ainsi : $x_{Ω} = \frac{x_{A} + x_{G}}{2} = \frac{0 + 1}{2} = 0,5$ , $y_{Ω} = \frac{y_{A} + y_{G}}{2} = \frac{0 + 1}{2} = 0,5$ et $z_{Ω} = \frac{z_{A} + z_{G}}{2} = \frac{0 + 1}{2} = 0,5$ .

Le point Ω a donc pour coordonnées (0,5 ; 0,5 ; 0,5).

Ensuite, nous avons :

$\begin{matrix} Ω A = \sqrt[]{{(x_{A} - x_{Ω})}^{2} + {(y_{A} - y_{Ω})}^{2} + {(z_{A} - z_{Ω})}^{2}} \\ = \sqrt[]{{(0 - 0,5)}^{2} + {(0 - 0,5)}^{2} + {(0 - 0,5)}^{2}} = \sqrt[]{0,75} \end{matrix}$

$\begin{matrix} Ω C = \sqrt[]{{(x_{C} - x_{Ω})}^{2} + {(y_{C} - y_{Ω})}^{2} + {(z_{C} - z_{Ω})}^{2}} \\ = \sqrt[]{{(1 - 0,5)}^{2} + {(1 - 0,5)}^{2} + {(0 - 0,5)}^{2}} = \sqrt[]{0,75} \end{matrix}$

$\begin{matrix} Ω F = \sqrt[]{{(x_{F} - x_{Ω})}^{2} + {(y_{F} - y_{Ω})}^{2} + {(z_{F} - z_{Ω})}^{2}} \\ = \sqrt[]{{(1 - 0,5)}^{2} + {(0 - 0,5)}^{2} + {(1 - 0,5)}^{2}} = \sqrt[]{0,75} \end{matrix}$

$\begin{matrix} Ω H = \sqrt[]{{(x_{H} - x_{Ω})}^{2} + {(y_{H} - y_{Ω})}^{2} + {(z_{H} - z_{Ω})}^{2}} \\ = \sqrt[]{{(0 - 0,5)}^{2} + {(1 - 0,5)}^{2} + {(1 - 0,5)}^{2}} = \sqrt[]{0,75} . \end{matrix}$

Ωest donc équidistant des quatre sommets A, C, F et Hqui symbolisent les atomes d'hydrogène : l'atome de carbone est donc au centre $Ω$ du cube.

▶ 3. Déterminer la mesure d'un angle

Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, nous avons :

${AC}^{2} = {AB}^{2} + {BC}^{2}$ .

Puisque, dans le repère orthonormé proposé, nous avons AB = BC = 1, il s'ensuit :

${AC}^{2} = {AB}^{2} + {BC}^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$ et $AC = \sqrt[]{2}$ .

à noter

Formules d'Al-Kashi : soient A, B et C trois points distincts non alignés du plan.

Posons a = BC, b = AC et c = AB.

Dans le triangle ABC :

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos(\hat{A})$ ;

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos(\hat{B})$ ;

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos(\hat{C})$ .

Dans le triangle ΩAC, d'après les formules d'Al-Kashi, nous avons :

${AC}^{2} = Ω C^{2} + Ω A^{2} - 2 Ω C \times Ω A \times \cos \hat{A Ω C}$ .

En exploitant les résultats de la question 2., nous obtenons, à partir de la relation ci-dessus :

$\begin{matrix} \cos \hat{A Ω C} = \frac{Ω C^{2} + Ω A^{2} - {AC}^{2}}{2 Ω C \times Ω A} \\ = \frac{0,75 + 0,75 - 2}{2 \times \sqrt[]{0,75} \times \sqrt[]{0,75}} = - \frac{0,5}{1,5} = - \frac{1}{3} \end{matrix}$

et $\hat{A Ω C} \approx 109,5 ° .$

L'angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène mesure environ 109,5°.