Terminale générale Mathématiques Primitives, équations différentielles

matT_2506_07_03C

France métropolitaine, juin 2025 • Jour 1

Sprint final

France métropolitaine, juin 2025 • Jour 1

Exercice 4

La posidonie va-t-elle recouvrir toute la zone ?

50 min

5 points

Intérêt du sujet • Il s’agit d’étudier deux modèles, l’un discret, l’autre continu, de la superficie recouverte par une herbe marine appelée posidonie. Dans la première partie, on modélise la superficie par une suite dont on étudie la convergence et la limite ; un algorithme de seuil doit être complété. Dans la deuxième partie, la superficie est modélisée par une fonction solution d’une équation différentielle donnée.

Une équipe de biologistes étudie l’évolution de la superficie recouverte par une algue marine appelée posidonie, sur le fond de la baie de l’Alycastre, près de l’île de Porquerolles. La zone étudiée est d’une superficie totale de 20 hectares (ha) et, au premier juillet 2024, la posidonie recouvrait 1 ha de cette zone.

Partie A • étude d’un modèle discret

Pour tout entier naturel n, on note u_n la superficie de la zone, en hectares, recouverte par la posidonie au premier juillet de l’année 2024 + n. Ainsi, u₀ = 1.

Une étude conduite sur cette superficie a permis d’établir que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = - 0,02 u_{n}^{2} + 1,3 u_{n}$ .

▶ 1. Calculer la superficie que devrait recouvrir la posidonie au premier juillet 2025 d’après ce modèle.

▶ 2. On note h la fonction définie sur [0 ; 20] par :

$h (x) = - 0,02 x^{2} + 1,3 x$ .

On admet que h est croissante sur [0 ; 20].

a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 ≤ u_n ≤ u_n₊₁ ≤ 20.

b) En déduire que la suite (u_n) converge. On note L sa limite.

c) Justifier que L = 15.

▶ 3. Les biologistes souhaitent savoir au bout de combien de temps la surface recouverte par la posidonie dépassera les 14 hectares.

a) Sans aucun calcul, justifier que, d’après ce modèle, cela se produira.

b) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’en fin d’exécution, il affiche la réponse à la question des biologistes.

Partie B • étude d’un modèle continu

On souhaite décrire la superficie de la zone étudiée recouverte par la posidonie au cours du temps avec un modèle continu.

Dans ce modèle, pour une durée t, en années, écoulée à partir du premier juillet 2024, la superficie de la zone étudiée recouverte par la posidonie est donnée par f(t), où f est une fonction définie sur [0 ; + ∞[ vérifiant :

f(0) = 1 ;

f ne s’annule pas sur [0 ; + ∞[ ;

f est dérivable sur [0 ; + ∞[ ;

f est solution sur [0 ; + ∞[ de l’équation différentielle (E₁) : $y^{'} = 0,02 y (15 - y)$ .

On admet qu’une telle fonction f existe ; le but de cette partie est d’en déterminer une expression.

On note f′ la fonction dérivée de f.

▶ 1. Soit g la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par $g (t) = \frac{1}{f (t)}$ . Montrer que g est solution de l’équation différentielle (E₂) : $y^{'} = - 0,3 y + 0,02$ .

▶ 2. Donner les solutions de l’équation différentielle (E₂).

▶ 3. En déduire que pour tout t ∈ [0 ; + ∞[ :

$f (t) = \frac{15}{14 e^{- 0,3 t} + 1}$ .

▶ 4. Déterminer la limite de f en + ∞.

▶ 5. Résoudre dans l’intervalle [0 ; + ∞[ l’inéquation f(t) > 14. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Les clés du sujet

Partie A

▶ 2. a) Faites une démonstration par récurrence en remarquant que, pour tout entier naturel n, u_n₊₁ = h(u_n).

b) Appliquez le théorème de convergence monotone.

▶ 3. a) Exploitez la définition de la limite d’une suite.

Partie B

▶ 1. Utilisez la formule donnant la dérivée de l’inverse d’une fonction dérivable.

▶ 3. Utilisez la « condition initiale » $f (0) = 1$ .

Partie A • étude d’un modèle discret

▶ 1. Calculer un terme d’une suite

D’après ce modèle, la superficie (en ha) de la zone recouverte est u₁, car 2025 = 2024 + 1.

$u_{1} = - 0,02 u_{0}^{2} + 1,3 u_{0}$

u₁ = - 0,02 + 1,3.

Au premier juillet 2025, la posidonie devrait recouvrir 1,28 ha.

▶ 2. a) Montrer une inégalité par récurrence

Initialisation

On a 1 ≤ u₀ ≤ u₁ ≤ 20 ; la propriété est vraie pour n = 0.

Hérédité

Soit n un entier naturel tel que 1 ≤ u_n ≤ u_n₊₁ ≤ 20.

On a $h (u_{n}) = u_{n + 1}$ et $h (u_{n + 1}) = u_{n + 2}$ , et on sait que h est croissante sur $[0; 20]$ , donc h(1) ≤ h(u_n) ≤ h(u_n₊₁) ≤ h(20).

Or $h (1) = 1,28$ et $h (20) = 18$ , donc 1,28 ≤ u_n₊₁ ≤ u_n₊₂ ≤ 18, donc 1 ≤ u_n₊₁ ≤ u_n₊₂ ≤ 20, car 1,28 ≥ 1 et 18 ≤ 20.

La propriété est vraie pour n + 1 si elle est vraie pour n, elle est héréditaire.

Conclusion

La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire, donc par principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n.

Pour tout n ∈ ℕ, 1 ≤ u_n ≤ u_n₊₁ ≤ 20.

b) Prouver la convergence d’une suite

D’après la question précédente, la suite (u_n) est croissante et majorée par 20. D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite L telle que 1 ≤ L ≤ 20.

c) Déterminer la limite d’une suite

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = L$ ; pour tout entier naturel n, u_n₊₁ = h(u_n) et h est continue sur $[0; 20]$ , donc L est solution de l’équation $h (x) = x$ .

$\begin{array}{l} h (x) = x \Leftrightarrow - 0,02 x^{2} + 1,3 x = x \\ \Leftrightarrow x (0,02 x - 0,3) = 0 \\ \Leftrightarrow x = 0 ou x = 15 . \end{array}$

Or 1 ≤ L ≤ 20, donc L = 15.

▶ 3. a) Justifier que les termes d’une suite dépasseront une valeur donnée

Puisque $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 15,$ tout intervalle ouvert contenant 15 contient tous les termes u_n à partir d’un certain rang.

En particulier, pour n suffisamment grand, tous les termes u_n appartiennent à l’intervalle $] 14; + \infty [.$ Donc au bout d’un certain temps, d’après ce modèle, la surface recouverte par la posidonie dépassera les 14 hectares.

b) Compléter un algorithme de seuil

à noter

L’appel seuil() renvoie 18 ; d’après ce modèle, c’est donc au bout de 18 ans, c’est-à-dire en 2042, que la superficie recouverte par la posidonie dépassera les 14 hectares.

partie B • étude d’un modèle continu

▶ 1. Montrer qu’une fonction est solution d’une équation différentielle

Pour tout t dans $[0; + \infty [$ , $g (t) = \frac{1}{f (t)}$ .

f ne s’annule pas et est dérivable sur $[0; + \infty [$ , donc g est définie et dérivable et ne s’annule pas sur $[0; + \infty [$ . Pour tout t dans cet intervalle, on a également $f (t) = \frac{1}{g (t)}$ , donc $f^{'} (t) = - \frac{g^{'} (t)}{{(g (t))}^{2}}$ .

f est solution sur $[0; + \infty [$ de l’équation différentielle (E₁), donc, pour tout t dans $[0; + \infty [$ : $f^{'} (t) = 0,02 f (t) (15 - f (t))$ .

En remplaçant :

$- \frac{g^{'} (t)}{{(g (t))}^{2}} = \frac{0,02}{g (t)} (15 - \frac{1}{g (t)})$ .

à noter

On a réalisé un changement de fonction inconnue. L’équation (E₂) est de la forme $y^{'} = a y + b$ , sa résolution est connue.

On multiplie les deux membres par ${(g (t))}^{2}$ ; alors, pour tout t dans $[0; + \infty [$ , $- g^{'} (t) = 0,02 (15 g (t) - 1)$ , soit $g^{'} (t) = - 0,3 g (t) + 0,02$ .

g est donc solution de l’équation (E₂) : $y^{'} = - 0,3 y + 0,02$ .

▶ 2. Donner les solutions d’une équation différentielle

► Le conseil de méthode

Les solutions de l’équation différentielle $y^{'} = a y + b$ avec a et b réels, a ≠ 0 sont les fonctions $t \mapsto C e^{a t} - \frac{b}{a}$ avec C constante réelle.

L’équation (E₂) est de la forme $y^{'} = a y + b$ avec a = - 0,3 et b = 0,02, donc ses solutions sont les fonctions $t \mapsto C e^{- 0,3 t} + \frac{1}{15}$ avec C constante réelle.

▶ 3. Justifier l’expression d’une fonction

D’après la question précédente, il existe une constante réelle C telle que, pour tout t dans $[0; + \infty [$ , $g (t) = C e^{- 0,3 t} + \frac{1}{15} .$

Or $f (0) = 1$ , donc $g (0) = 1$ et $C + \frac{1}{15} = 1,$ d’où $C = \frac{14}{15}$ .

Pour tout t dans $[0; + \infty [$ :

$g (t) = \frac{14}{15} e^{- 0,3 t} + \frac{1}{15}$ et $f (t) = \frac{1}{\frac{14}{15} e^{- 0,3 t} + \frac{1}{15}}$ .

On multiplie le numérateur et le dénominateur par 15, on en déduit que pour tout t dans $[0; + \infty [$ :

$f (t) = \frac{15}{14 e^{- 0,3 t} + 1}$ .

▶ 4. Déterminer la limite d’une fonction en + ∞

à noter

Cela signifie que, selon ce modèle, à long terme la posidonie devrait recouvrir une superficie se rapprochant de 15 hectares. On obtient la même limite qu’avec le modèle discret.

D’après le cours, $\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ , donc par composée, $\lim_{t \to + \infty} e^{- 0,3 t} = 0$ et par opérations : $\lim_{t \to + \infty} f (t) = 15$ .

▶ 5. Résoudre une inéquation associée à une fonction

$\begin{array}{l} f (t) > 14 \Leftrightarrow \frac{15}{14 e^{- 0,3 t} + 1} > 14 \\ \Leftrightarrow 15 > 14 (14 e^{- 0,3 t} + 1) \\ \Leftrightarrow 196 e^{- 0,3 t} < 1 \\ \Leftrightarrow e^{- 0,3 t} < \frac{1}{196} \\ \Leftrightarrow - 0,3 t < - \ln 196 \\ \Leftrightarrow t > \frac{\ln 196}{0,3} . \end{array}$

À noter

On remarque que les deux modélisations conduisent à des résultats voisins.

$\frac{\ln 196}{0,3} \approx 17,6$ ; selon ce modèle, c’est au bout d’environ 17 ans et 7 mois que la superficie recouverte dépassera les 14 hectares.

La posidonie va-t-elle recouvrir toute la zone ?

Partie A • étude d’un modèle discret

Partie B • étude d’un modèle continu

Les clés du sujet

Partie A

Partie B

Partie A • étude d’un modèle discret

▶ 1. Calculer un terme d’une suite

▶ 2. a) Montrer une inégalité par récurrence

b) Prouver la convergence d’une suite

c) Déterminer la limite d’une suite

▶ 3. a) Justifier que les termes d’une suite dépasseront une valeur donnée

b) Compléter un algorithme de seuil

à noter

partie B • étude d’un modèle continu

▶ 1. Montrer qu’une fonction est solution d’une équation différentielle

à noter

▶ 2. Donner les solutions d’une équation différentielle

► Le conseil de méthode

▶ 3. Justifier l’expression d’une fonction

▶ 4. Déterminer la limite d’une fonction en + ∞

à noter

▶ 5. Résoudre une inéquation associée à une fonction

À noter

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