La probabilité de s’arrêter de fumer

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
La probabilité de s’arrêter de fumer

Matrices et suites

Corrigé

45

Ens. de spécialité

matT_1200_00_26C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Lucien, fumeur impénitent, décide d’essayer de ne plus fumer. S’il ne fume pas un jour donné, la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est 0,3. Par contre, s’il fume un jour donné, la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est 0,9.

On note F l’événement « Lucien fume » et l’événement contraire.

>1. Traduire ces informations à l’aide d’un graphe probabiliste dont les sommets seront notés F et (dans cet ordre) et donner la matrice M de transition associée.

>2. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, l’état probabiliste le n-ième jour est défini par la matrice ligne désigne la probabilité que Lucien fume le n-ième jour et la probabilité que Lucien ne fume pas le n-ième jour.

a) On suppose que, le premier jour, la probabilité que Lucien fume est 0,2. Déterminer .

b) Calculer et en déduire .

c) Exprimer en fonction de et en déduire la probabilité que Lucien fume le (n + 1)-ième jour en fonction de et puis en fonction de .

>3.a) Démontrer que la suite définie pour tout entier naturel n non nul par , est géométrique. Préciser le premier terme et la raison.

b) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, en fonction de n.

>4. En déduire la limite de quand n tend vers + ∞.

>5. Étudier et retrouver le résultat en introduisant l’état stable du système étudié.

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Calcul matriciel • Suites numériques.

Les conseils du correcteur

>  2. b) Menez prudemment le produit matriciel puis notez que .

c) Partez de l’égalité matricielle . N’oubliez pas, pour finir, l’égalité fondamentale .

>  3. a) Utilisez les égalités et dans le but d’exprimer en fonction de . Vous chercherez à écrire astucieusement une relation du type q est la raison de la suite étudiée.

b) Relisez les rappels fondamentaux sur les suites arithmétiques et les suites géométriques résumés dans la fiche  C22 

>  4. Notez que lorsque . fiche  C26 A 

>  5. Le graphe probabiliste d’ordre 2 a une matrice de transition M ne comportant pas de 0. L’état à l’étape n converge donc vers un état P indépendant de l’état initial . P étant l’unique solution de l’équation et a +b = 1, résolvez le système à deux inconnues sous-jacent avant de conclure.

Corrigé

>1. Traduire un énoncé par un graphe probabiliste et donner la matrice de transition associée

  • Le graphe probabiliste étudié est :

  • Sa matrice de transition est .

>2.a) Déterminer l’état probabiliste initial P1

On a .

b) Calculer et utiliser le carré d’une matrice

  • Calculons  :

Il s’ensuit que

  • On a . D’où les résultats suivants :

c) Donner et utiliser une relation entre deux états probabilistes ­consécutifs

Calculons avec et .

On peut donc écrire successivement les égalités suivantes :

.

La probabilité que Lucien fume le (n + 1)-ième jour est donnée par l’égalité suivante :

Or d’où

>3.a) Démontrer qu’une suite est géométrique et préciser
son premier terme et sa raison

Pour tout n entier naturel non nul, on a :

Or, on a et pour finir avec .

La suite est donc une suite géométrique de raison et de premier terme .

b) Exprimer le terme général d’une suite en fonction de n

Pour tout n entier naturel non nul, on a : .

Par conséquent, on a, pour tout n entier naturel
non nul,.

>4. Calculer la limite d’une suite

On sait que . Il s’ensuit le résultat suivant :

lorsque .

>5. Déterminer et interpréter l’état stable du système étudié

Le graphe probabiliste d’ordre 2 a une matrice de transition M ne comportant pas de 0.

L’état àl’étape n converge vers un état P indépendant de l’état
initial.

P étant l’unique solution de l’équation et a+b= 1,

on obtient :

.

L’état stable du système étudié est .

Que Lucien ait fumé ou pas le premier jour, la probabilité qu’il fume le n-ième jour tend vers à lorsque n devient grand.