Partie 1. Se protéger du bruit en s'éloignant de la source

▶ 1. Donner l'expression du niveau d'intensité sonore

L'expression du niveau sonore L en fonction de I est : $L=10\times \text{log}\left(\frac{I}{I_0}\right)$ où L est en décibel (dB), I et I₀ en watt par mètre carré (W · m^–2).

▶ 2. Calculer le niveau d'intensité sonore de la source

$L_{\text{source}}=10\times \text{log}\left(\frac{I}{I_0}\right)=10\times \text{log}\left(\frac{\mathrm{1,0}}{\mathrm{1,0}\times {10}^{-12}}\right)$ = 120 dB.

▶ 3. Calculer l'atténuation géométrique

On sait que l'atténuation géométrique est donnée par la relation :

L(r) = L_source – 10 × log(4π) – 20 × log(r) où r est la distance en mètres à la source sonore.

Calculons l'atténuation géométrique à une distance r de 100 cm = 1,00 m :

L(1,00) = 120 – 10 × log(4π) – 20 × log(1,00) = 109 dB.

Pour une distance r′ de 1,00 × 10³ cm :

r′ = 1,00 × 10³ cm =1,00 × 10¹ m, donc : L(1,00 × 10¹) = 120 – 10 × log(4π) – 20 × log(1,00 × 10¹) = 89 dB.

▶ 4. Comparer une grandeur à une valeur de référence

On constate que les niveaux d'intensité sonore calculés sont tous deux supérieurs au seuil de risque de 85 dB : 109 dB > 89 dB > 85 dB.

Qu'ils soient à 1 m ou 10 m, les ouvriers se trouvent au-delà du seuil de risque auditif.

▶ 5. Calculer une distance à partir de l'atténuation géométrique

On veut calculer la distance minimale à laquelle on devrait se placer pour que le bruit ne comporte plus de risque pour l'oreille. Commençons­ donc par isoler la distance r dans l'expression de l'atténuation géométrique : $L(\text{r})=L_{\text{source}}-10\times \log (4\text{π})-20\times \text{log}(r)$

$\iff 20\times \text{log}(r)=L_{\text{source}}-L(r)-10\times \log (4\text{π})$

$\iff \text{log}(r)=\frac{L_{\text{source}}-L(r)-10\times \log (4\text{π})}{20}$

Et donc, $r={10}^{\frac{L_{\text{source}}-L(r)-10\times \log (4\text{π})}{20}}$.

On sait que L_source = 120 dB et on veut calculer la distance r₀ telle L(r₀) = 85 dB (seuil de risque). On calcule donc :

r₀ = ${10}^{\frac{L_{\text{source}}-L(r_0)-10\times \log (4\text{π})}{20}}={10}^{\frac{120-85-10\times \log (4\text{π})}{20}}$ = 15,9 m.

Il faut se placer à au moins 15,9 m.

▶ 6. Effectuer un calcul de niveau d'intensité sonore

Exprimons le niveau d'intensité sonore lorsque l'intensité sonore double et passe de I à 2I : L_2I = $10\times \text{log}\left(\frac{2I}{I_0}\right)$.

On peut appliquer une des propriétés du logarithme : log(a × b) = log(a) + log(b) et écrire :

$\begin{array}{c}{L}_{\text{2I}}=10\times \log \left(\frac{2\times I}{I_0}\right)=10\times \log \left(\frac{I}{I_0}\right)+10\times \log \left(2\right)\\ =10\times \log \left(\frac{I}{I_0}\right)+\mathrm{3,0}=L_{\text{I}}+3,0.\end{array}$

On montre ainsi que lorsque l'intensité sonore double, le niveau d'intensité sonore est augmenté de 3,0 dB.

▶ 7. Évaluer une augmentation d'intensité sonore

D'après le document, un bruit gênant correspond à 60 dB et un bruit dangereux à 90 dB. Or, d'après la question précédente, une augmentation de 3 dB du niveau d'intensité sonore, correspond à un doublement de l'intensité sonore.

Calculons le nombre de fois où le niveau d'intensité sonore a augmenté de trois décibels : $\frac{L_{\text{danger}}-L_{\text{gênant}}}{3}=\frac{90-60}{3}=\frac{30}{3}=10$.

Passer du niveau gênant au seuil de danger revient à augmenter 10 fois le niveau d'intensité sonore de 3 décibels, donc à multiplier l'intensité sonore par 2¹⁰.

Partie 2. Quel type de casque anti-bruit choisir ?

▶ 1. a) Calculer l'atténuation géométrique et comparer à une valeur de référence

L'atténuation géométrique s'écrit :

L(r) = L_source – 10 × log(4 π) – 20 × log(r).

Pour une distance r = 5,0 m, on a donc :

L(5,00) = 119 – 10 × log(4 π) – 20 × log(5,00) = 94 dB.

On constate que ce niveau sonore est au-dessus du seuil de risque de 85 dB : il faut porter une protection sonore.

b) Exploiter une courbe pour extraire des données

Par lecture graphique des courbes, pour 250 Hz, les atténuations sont de 8 dB pour le casque passif et 17 dB pour le casque actif.

Dans un environnement sonore de 94 dB, en portant un casque, on obtient donc les niveaux sonores suivants :

L_{casque actif} = 94 - 17 = 77 dB

L_{casque passif} = 94 - 8 = 86 dB > 85 dB

L'ouvrier peut porter un casque actif qui le protégera mais pas un casque passif.

▶ 2. Exploiter des courbes pour comparer

La courbe du niveau d'atténuation en fonction des fréquences sonores du casque actif est en dessous de celle du casque passif pour des fréquences inférieures à 1 kHz (soit 1 000 Hz) ; au-dessus, au-delà de 1 kHz.

Or, pour une fréquence donnée, le casque le plus efficace est celui qui fournit le niveau d'atténuation le plus important, ce qui correspond ici à la courbe la plus basse (car ce niveau augmente dans le sens descendant de l'axe des ordonnées). Le casque le plus efficace est donc le casque passif pour des fréquences supérieures à 1 000 Hz et le casque actif pour les fréquences inférieures.

▶ 3. Analyser des courbes pour identifier un casque anti-bruit actif

Le cas 2 permet d'expliquer le fonctionnement du casque actif tel qu'il est décrit dans l'énoncé : la somme algébrique des deux ondes donne une amplitude nulle à chaque instant.

▶ 4. a) Exploiter une courbe pour tirer une conclusion

Le casque actif ne permet pas d'obtenir un silence absolu (ce qui correspondrait à 0 dB) mais d'atténuer le bruit ambiant (entre 17 dB et 20 dB d'après le graphique).

b) Étudier l'efficacité de la protection par un casque anti-bruit actif

Le casque actif permet d'atténuer le son d'environ 17 dB au moins sur l'ensemble des fréquences considérées ici.

Dans un environnement où le bruit est au niveau du seuil de danger, le niveau sonore ressenti avec le casque actif est donc :

L_{casque actif} = 90 - 17 = 73 dB

On se retrouve donc en dessous du seuil de risque (85 dB) et le travail peut donc se faire en portant le casque actif pour toutes les fréquences considérées ici.

c) Comparer les performances des casques anti-bruits actif et passif

La fréquence correspondant à l'écart de performance le plus grand entre le casque passif et le casque actif est obtenue en cherchant l'écart le plus grand entre les deux courbes.

Pour une fréquence égale à 125 Hz, l'écart de performance est le plus grand entre le casque passif et le casque actif :

$\left|L_{\text{casque passif}}-L_{\text{casque actif}}\right|=\left|\mathrm{6,5}-\mathrm{19,5}\right|=\text{13,0 dB}$.