La recette d’un artisan

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
La recette d’un artisan
 
 

Analyse • Suites numériques

Corrigé

10

Ens. spécifique

matT_1200_00_01C

 

Sujet inédit

Exercice • 6 points

Les résultats numériques seront donnés arrondis à l’unité.

En janvier 2002, un artisan a réalisé une recette de 2 300 €, alors que ses coûts se sont élevés à 800 €. Son bénéfice est donc de 1 500 €.

Grâce à une clientèle en augmentation, la recette, c’est-à-dire le chiffre d’affaires de cet artisan, augmente de 1 % tous les mois.

Cependant les coûts, c’est-à-dire les frais, augmentent pendant le même temps de 2,5 %.

>1. Recopier et compléter le tableau suivant : (1 point)

 

Janvier 2002

Février 2002

Mars 2002

Rang du mois

0

Recette

2 300

Coût

800

Bénéfice

1 500

 

>2. Pour le mois de rang , avec entier naturel, on note le montant de la recette, le montant des coûts et le montant du bénéfice.

a) Exprimer et en fonction de  ; justifier votre réponse. (0,5 point)

b) Montrer que . (0,25 point)

>3. Pour étudier le sens de variation de la suite , on étudie le signe de .

a) Établir que, pour tout entier positif  :

(0,5 point)

b) Établir que :

équivaut à (0,25 point)

c) Justifier que l’algorithme suivant permet de déterminer les valeurs de telles que l’inégalité soit vérifiée. (0,75 point)

Initialisation :affecter à d la valeur 1 ;

affecter à i la valeur 0.

Traitement :Tant que

affecter à i la valeur .

affecter à d la valeur ;

Fin tant que.

affecter à i la valeur .

Sortie :Afficher i

d) Faire fonctionner cet algorithme « à la main » en détaillant les valeurs de d et de i obtenues à chaque étape ; déterminer les entiers naturels pour lesquels . (1 point)

e) Vérifier par le calcul. Que peut-on dire de la suite dans ce cas ? (1 point)

>4. Le bénéfice de cet artisan peut-il diminuer ? Si oui, à partir de quel mois obtiendra-t-il une baisse par rapport au mois précédent ? (0,75 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Suites arithmétiques ou géométriques • Algorithmique.

Les conseils du correcteur

>  1. Augmenter une quantité de 1 % revient à la multiplier par 1,01 ; augmenter une quantité de 2,5 % revient à la multiplier par 1,025.

>  3. c) Exploitez le résultat établi à la question 3. b).

e) Utilisez la fonction ln et ses propriétés.

>  4. Déterminer les valeurs de pour lesquelles .

Corrigé

>1. Utiliser une évolution en pourcentage

Tableau :

 

Janvier 2002

Février 2002

Mars 2002

Rang du mois

0

1

2

Recette

2 300

2 323

2 346,23

Coût

800

820

840,50

Bénéfice

1 500

1 503

1 505,73

 

>2. Pour le mois de rang , avec entier naturel, on note le montant de la recette, le montant des coûts et le montant du bénéfice.

a) Déterminer l’expression explicite du terme général de deux suites

On sait que la recette augmente de 1 % tous les mois, donc, pour tout entier naturel , .

La suite est donc une suite géométrique de raison 1,01 et de premier terme . D’où, pour tout entier naturel  :

De même, les frais augmentent de 2,5 % tous les mois, donc, pour tout entier naturel , .

 

Notez bien

Les deux suites et sont des suites géométriques de premier terme positif et de raison supérieure à 1, donc elles sont croissantes. Cela correspond à l’énoncé, puisque la recette et les frais augmentent.

La suite est donc une suite géométrique de raison 1,025 et de premier terme . D’où, pour tout entier naturel  :

b) Évaluer un bénéfice

Le bénéfice est égal à la différence entre la recette et les coûts de production, donc :

>3. Étude du signe de  :

a) Calculer la différence de deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier positif  :

b) Transformer une inégalité

équivaut successivement à :

 

Notez bien

On divise les deux membres de l’inégalité par 20 et par  ; ces deux nombres sont positifs.

 ;

 ;

D’autre part, , donc :

si et seulement si

c)Étudier le fonctionnement d’un algorithme

Le fonctionnement de l’algorithme utilise le résultat établi à la question précédente, à savoir que équivaut à

L’algorithme permet de calculer les puissances successives de  ; les valeurs successives sont stockées dans la variable .

L’algorithme s’arrête à la première puissance de qui dépasse 1,15 et affiche l’exposant immédiatement inférieur.

d) Faire fonctionner un algorithme

En faisant fonctionner cet algorithme « à la main », on obtient les valeurs suivantes pour i et pour d (arrondies à ) :

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1,01485

1,02992

1,04522

1,06074

1,07650

1,09248

1,10871

1,12517

1,14188

1,15884

 

Le résultat affiché est 9.

Donc c’est-à-dire , si .

e) Étudier l’évolution des premiers termes d’une suite

On vérifie par le calcul :

La fonction ln est strictement croissante sur , donc l’inégalité équivaut à .

On divise par  ; , donc .

Finalement, si et seulement si .

Or,

Donc, puisque est entier, l’inégalité est vérifiée si et seulement si .

Dans ce cas, les termes de la suite prennent des valeurs croissantes, , chaque terme est supérieur au précédent : .

 

Notez bien

Cette conclusion est cohérente avec les résultats trouvés à la première question :

.

Pendant les 10 premiers mois, le bénéfice de l’artisan augmente d’un mois au suivant.

>4. Étudier l’évolution globale des termes d’une suite

Le bénéfice de l’artisan diminue du mois au mois si et seulement si , soit .

D’après la question précédente, cette inégalité équivaut à , puisque n est entier.

On en déduit que l’artisan obtient un bénéfice en baisse par rapport au mois précédent à partir du 11e mois :