Nombres complexes et applications

Ens. spécifique

matT_1704_12_09C

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 2 • 3 points • ⏱ 30 min

À la recherche d'un triangle rectangle

Les thèmes clés

Nombres complexes

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct $(O \vec{u}, \vec{v})$ .

▶ 1. On considère l'équation (E) : z2 − 6z + c = 0 où c est un réel strictement supérieur à 9.

a) Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.

b) Justifier que les solutions de (E) sont $z_{A} = 3 + i \sqrt{c - 9}$ et $z_{B} = 3 - i \sqrt{c - 9}$ .

▶ 2. On note A et B les points d'affixes respectives zA et zB.

Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.

▶ 3. Démontrer qu'il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.

Les clés du sujet

▶ 2. Identifiez la symétrie qui relie les images de deux nombres complexes conjugués et concluez.

Corrigé

▶ 1. a) Justifier l'existence de solutions pour une équation E23

On calcule le discriminant associé à cette équation du second degré :

$Δ = {(- 6)}^{2} - 4 \times 1 \times c = 36 - 4 c$ . D'après l'énoncé, $c > 9$ par conséquent $- 4 c -4\times9=-36$ et $36 - 4 c 36-36=0$ . Nous avons donc $Δ 0$ . L'équation (E) admet donc deux solutions complexes conjuguées non réelles.

b) Déterminer les solutions d'une équation du second degré E23

Les deux solutions complexes conjuguées de cette équation sont donc :

$\begin{matrix} z_{A} = \frac{- (- 6) + i \sqrt{- Δ}}{2 \times 1} = \frac{6 + i \sqrt{4 c - 36}}{2} = \frac{6 + i \sqrt{4 (c - 9)}}{2} \\ = \frac{6 + 2 i \sqrt{c - 9}}{2} = 3 + i \sqrt{c - 9} \end{matrix}$ et $z_{B} = \bar{z_{A}} = 3 - i \sqrt{c - 9}$ .

▶ 2. Démontrer qu'un triangle est isocèle E17c

Puisque $z_{B} = \bar{z_{A}}$ , les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Une symétrie axiale conservant les longueurs, nous avons $OA = OB$ . Le triangle OAB est donc isocèle en O.

▶ 3. Déterminer un réel pour qu'un triangle soit rectangle E18 • E22

$\begin{matrix} OAB est rectangle en O \Leftrightarrow {OA}^{2} + {OB}^{2} = {AB}^{2} \\ \Leftrightarrow {| z_{A} |}^{2} + {| z_{B} |}^{2} = {| z_{B} - z_{A} |}^{2} \\ \Leftrightarrow 3^{2} + {(\sqrt{c - 9})}_{2} + 3^{2} + {(- \sqrt{c - 9})}_{2} = {| - 2 i \sqrt{c - 9} |}^{2} \\ \Leftrightarrow 9 + c - 9 + 9 + c - 9 = 4 (c - 9) \\ \Leftrightarrow 2 c = 4 c - 36 \\ \Leftrightarrow c = 18 . \end{matrix}$

Le triangle OAB est donc rectangle si et seulement si c = 18.

A la recherche d'un triangle rectangle

▶ 1. a) Justifier l'existence de solutions pour une équation E23

b) Déterminer les solutions d'une équation du second degré E23

▶ 2. Démontrer qu'un triangle est isocèle E17c

▶ 3. Déterminer un réel pour qu'un triangle soit rectangle E18 • E22

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A la recherche d'un triangle rectangle

▶ 1. a) Justifier l'existence de solutions pour une équation E23

b) Déterminer les solutions d'une équation du second degré E23

▶ 2. Démontrer qu'un triangle est isocèle E17c

▶ 3. Déterminer un réel pour qu'un triangle soit rectangle E18 • E22

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