Annale corrigée Exercice Ancien programme

A la recherche d'un triangle rectangle

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 2 • 3 points • 30 min

À la recherche d'un triangle rectangle

Les thèmes clés

Nombres complexes

 

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (Ou,v).

1. On considère l'équation (E) : z2 − 6z + = 0 où c est un réel strictement supérieur à 9.

a) Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.

b) Justifier que les solutions de (E) sont zA=3+ic9 et zB=3ic9

2. On note A et B les points d'affixes respectives zA et zB.

Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.

3. Démontrer qu'il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.

Les clés du sujet

2. Identifiez la symétrie qui relie les images de deux nombres complexes conjugués et concluez.

Corrigé

1. a) Justifier l'existence de solutions pour une équation  E23 

On calcule le discriminant associé à cette équation du second degré :

Δ=(6)24×1×c=364c. D'après l'énoncé, c>9 par conséquent4c4×9=36 et 364c3636=0. Nous avons donc Δ0. L'équation (E) admet donc deux solutions complexes conjuguées non réelles.

b) Déterminer les solutions d'une équation du second degré  E23 

Les deux solutions complexes conjuguées de cette équation sont donc :

zA=(6)+iΔ2×1=6+i4c362=6+i4(c9)2=6+2ic92=3+ic9 et zB=zA¯=3ic9.

2. Démontrer qu'un triangle est isocèle  E17c 

Puisque zB=zA¯, les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Une symétrie axiale conservant les longueurs, nous avons OA=OB. Le triangle OAB est donc isocèle en O.

3. Déterminer un réel pour qu'un triangle soit rectangle  E18 • E22 

OAB est rectangle en OOA2+OB2=AB2|zA|2+|zB|2=|zBzA|232+(c9)2+32+(c9)2=|2ic9|29+c9+9+c9=4(c9)2c=4c36c=18.

Le triangle OAB est donc rectangle si et seulement si c = 18.

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