Nombres complexes et applications
Ens. spécifique
matT_1704_12_09C
21
Pondichéry • Avril 2017
Exercice 2 • 3 points • ⏱ 30 min
À la recherche d'un triangle rectangle
Les thèmes clés
Nombres complexes
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct .
▶ 1. On considère l'équation (E) : z2 − 6z + c = 0 où c est un réel strictement supérieur à 9.
a) Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.
b) Justifier que les solutions de (E) sont et .
▶ 2. On note A et B les points d'affixes respectives zA et zB.
Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.
▶ 3. Démontrer qu'il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.
Les clés du sujet
▶ 2. Identifiez la symétrie qui relie les images de deux nombres complexes conjugués et concluez.
Corrigé
▶ 1. a) Justifier l'existence de solutions pour une équation E23
On calcule le discriminant associé à cette équation du second degré :
. D'après l'énoncé, par conséquent et . Nous avons donc . L'équation (E) admet donc deux solutions complexes conjuguées non réelles.
b) Déterminer les solutions d'une équation du second degré E23
Les deux solutions complexes conjuguées de cette équation sont donc :
et .
▶ 2. Démontrer qu'un triangle est isocèle E17c
Puisque , les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Une symétrie axiale conservant les longueurs, nous avons . Le triangle OAB est donc isocèle en O.
▶ 3. Déterminer un réel pour qu'un triangle soit rectangle E18 • E22
Le triangle OAB est donc rectangle si et seulement si c = 18.