Troisième Mathématiques Calculer avec des grandeurs mesurables

Calculer avec des grandeurs mesurables

S’entraîner

mat3_1806_02_05C

Amérique du Nord • Juin 2018

La terrasse en béton

Exercice 6

15 min

16 points

Madame Martin souhaite réaliser une terrasse en béton en face de sa baie vitrée. Elle réalise le dessin ci-dessous.

Pour faciliter l’écoulement des eaux de pluie, le sol de la terrasse doit être incliné.

La terrasse a la forme d’un prisme droit dont la base est le quadrilatère ABCD et la hauteur est le segment [CG].

P est le point du segment [AD] tel que BCDP est un rectangle.

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▶ 1. L’angle $\hat{ABP}$ doit mesurer entre 1° et 1,5°.

Le projet de madame Martin vérifie-t-il cette condition ?

▶ 2. Madame Martin souhaite se faire livrer le béton nécessaire à la réalisation de sa terrasse.

Elle fait appel à une entreprise spécialisée.

À l’aide des informations contenues dans le tableau ci-après, déterminer le montant de la facture établie par l’entreprise.

On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans l’évaluation.

Tableau de 3 lignes, 1 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Information 1Distance entre l’entreprise et la maison de madame Martin : 23 km.; Ligne 2 : Information 2Formule du volume d’un prisme droitVolume d’un prisme droit = aire de la base du prisme × hauteur du prisme.; Ligne 3 : Information 3Conditions tarifaires de l’entreprise spécialiséePrix du m3 de béton : 95 €.Capacité maximale du camion-toupie : 6 m3.Frais de livraison : 5 € par km parcouru par le camion-toupie.L’entreprise facture les distances aller et retour (entreprise-lieu de livraison) parcourues par le camion-toupie.;

Les clés du sujet

L’intérêt du sujet

Dans cet exercice à étapes multiples, tu vas travailler les notions d’aire, de volume et de proportionnalité.

Nos coups de pouce

Tableau de 1 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Utiliser une formule de trigonométrie pour calculer un angle; Calcule AP par soustraction de longueurs, puis calcule la valeur de l’angle B^ en utilisant la formule de la tangente dans le triangle rectangle APB.;

Les étapes de résolution pour la question 2

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▶ 1. Les points A, P et D sont alignés donc :

AP = AD – DP = 0,27 – 0,15 = 0,12 m.

Dans le triangle APB rectangle en P, on a :

$\tan (\hat{B}) = \frac{côté opposé à l’angle \hat{B}}{côté adjacent à l’angle \hat{B}} = \frac{AP}{PB} = \frac{0,12}{5}$ .

Donc $\hat{B} = \tan^{- 1} (\frac{0,12}{5}) \approx 1,4 °$ .

Le projet de Mme Martin vérifie bien la condition angulaire demandée.

▶ 2. Cherchons l’aire de la base ABCD :

Aire (ABCD) = aire (PDCB) + aire (APB)

= $5 \times 0,15 + \frac{5 \times 0,12}{2}$

= 1,05 m².

Cherchons le volume de la terrasse :

Volume(terrasse) = aire (ABCD) × hauteur

= 1,05 × 8

= 8,4 m³.

Le prix payé pour le béton est : 95 × 8,4 = 798 €.

Cherchons le prix payé pour les déplacements du camion-toupie :

attention !

N’oublie pas de compter des allers-retours !

Il va falloir 2 déplacements donc 2 allers-retours.

Puisqu’un aller-retour correspond à 46 km, il sera facturé 5 × 46 × 2 = 460 €.

Conclusion : Mme Martin paiera $798 + 460 = 1 258$ €.