La tête dans les étoiles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2016

Exercice 3 • 5 points

La tête dans les étoiles

Partie A

Un astronome responsable d’un club d’astronomie a observé le ciel un soir d’août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d’attente entre deux apparitions d’étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d’attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. En exploitant les données obtenues, il a établi que λ = 0,2.

Il prévoit d’emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d’août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu’il sera dans des conditions d’observation analogues à celles d’août 2015.

L’astronome veut s’assurer que le groupe ne s’ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

▶ 1. Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu’il attende moins de 3 minutes pour voir l’étoile filante suivante est environ 0,451.

▶ 2. Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à 0,95 ? Arrondir ce temps à la minute près.

▶ 3. L’astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d’observations d’étoiles filantes lors de cette sortie.

Partie B

Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations suivantes :

64 % des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;

27 % des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel ;

65 % des nouveaux adhérents n’ont pas de télescope personnel.

▶ 1. On choisit un adhérent au hasard. Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est 0,494.

▶ 2. On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel. Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent ? Arrondir à 10−3 près.

Partie C

Pour des raisons pratiques, l’astronome responsable du club souhaiterait installer un site d’observation sur les hauteurs d’une petite ville de 2 500 habitants. Mais la pollution lumineuse due à l’éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l’éclairage nocturne pendant les nuits d’observation, l’astronome réalise un sondage aléatoire auprès de 100 habitants et obtient 54 avis favorables à la coupure de l’éclairage nocturne.

L’astronome a fait l’hypothèse que 50 % de la population du village est favorable à la coupure de l’éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l’amène-t-il à changer d’avis ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 65 minutes.

Les thèmes clés

Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation • Probabilités conditionnelles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi exponentielle  E40c  Partie A

Fonction logarithme népérien  E9e  Partie A, 2.

Probabilités (généralités)  E34  Partie B, 1.

Probabilités conditionnelles  E35 • E37 Partie B, 1. et 2.

Primitives  E11d  Partie A, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 2. Pensez à traduire la situation proposée par une inéquation de la forme P(Tx)>0,95x est la durée demandée.

Partie B

 1. Utilisez la formule des probabilités totales.

Partie C

Utilisez un intervalle de fluctuation.

Corrigé

Corrigé

partie a

▶ 1. Calculer une probabilité avec une loi exponentielle

La probabilité que le groupe attende moins de 3 minutes pour voir l’étoile filante suivante est donnée par P(T<3)=loi continueP(T3).

Notez bien

Si X est une variable aléatoire continue alors pour tout réel a, P(X = a) = 0.

La densité f associée à la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ=0,2 est donnée par :

f(t)={0   si  t<0λeλt=0,2e0,2tsi  t0

Nous avons alors P(T3)=030,2e0,2tdt=[e0,2t]03=e0,2×3(e0,2×0)=1e0,60,451.

La probabilité que le groupe attende moins de 3 minutes pour voir l’étoile filante suivante est environ 0,451.

▶ 2. Déterminer une valeur seuil

Le problème posé est de déterminer la durée minimale x en minutes telle que la probabilité pour le groupe de voir l’étoile filante suivante avec un temps d’attente n’excédant pas x minutes soit supérieure à 0,95. Nous devons résoudre l’inéquation P(Tx)>0,95.

Or, P(Tx)=[e0,2t]0x=(e0,2x(e0,2×0))=1e0,2x.

Notez bien

Pour tous réels a et b strictement positifs, a<bln(a)<ln(b).

Par conséquent :

P(Tx)>0,951e0,2x>0,95e0,2x<0,050,2x<ln(0,05)x>ln(0,05)0,2.

Comme ln(0,05)0,214,97, c’est donc à partir de x = 15 minutes que la probabilité pour le groupe de voir l’étoile filante suivante avec un temps d’attente n’excédant pas x minutes est supérieure à 0,95.

▶ 3. Estimer un nombre moyen d’observations

Le temps moyen d’attente entre deux observations d’étoiles filantes est égal à E(T)=1λ=10,2=5 minutes.

Pour une sortie de deux heures, il y a donc 24 plages de 5 minutes, soit en moyenne 25 observations d’étoiles filantes sur la sortie de deux heures.

partie b

▶ 1. Calculer une probabilité

Considérons les événements suivants :

A : « la personne interrogée est un nouvel adhérent » ;

T : « la personne interrogée possède un télescope personnel ».

D’après l’énoncé :

64 % des personnes interrogées sont de nouveaux adhérents, ce qui se traduit par P(A)=0,64. Par conséquent, nous avons aussi P(A¯)=1P(A)=0,36 ;

27 % des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel, ce qui se traduit par P(A¯T)=0,27 ;

65 % des nouveaux adhérents n’ont pas de télescope personnel, ce qui se traduit par PA(T¯)=0,65. Par conséquent, nous avons aussi PA(T)=1PA(T¯)=10,65=0,35.

Nous pouvons résumer tout ceci avec l’arbre pondéré suivant :

matT_1606_13_00C_05

La probabilité demandée est la probabilité qu’un adhérent choisi au hasard possède un télescope personnel, soit P(T). D’après la formule des probabilités totales :

P(T)=P(AT)+P(A¯T)=P(A)×PA(T)+P(A¯T)=0,64×0,35+0,27=0,494.

La probabilité qu’un adhérent choisi au hasard possède un télescope personnel est 0,494.

▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité qu’un adhérent choisi au hasard soit un nouvel adhérent sachant qu’il possède un télescope personnel s’écrit PT(A) :

PT(A)=P(AT)P(T)=P(A)×PA(T)P(T)=0,64×0,350,4940,453.

Sachant qu’un adhérent possède un télescope personnel, la probabilité que ce soit un nouvel adhérent est d’environ 0,453.

partie c

Exploiter un intervalle de fluctuation

L’astronome fait l’hypothèse que la proportion de la population du village favorable à la coupure de l’éclairage nocturne est p=0,5.

Il constate que, sur un échantillon de taille n=100 habitants, 54 d’entre eux sont favorables à la coupure de courant nocturne, soit une fréquence f=0,54, dans cet échantillon, d’habitants favorables à la coupure de courant nocturne. Comme 0,2p0,8 et que n25, un intervalle de fluctuation pour la fréquence, dans un échantillon de taille n=100, de personnes favorables à la coupure de courant nocturne est :

[p1n;p+1n]=[0,51100;0,5+1100]=[0,4;0,6].

Puisque la fréquence f=0,54 appartient à cet intervalle de fluctuation, l’astronome ne peut remettre en question l’hypothèse faite sur p.Le résultat de ce sondage ne peut donc l’amener à changer d’avis.

Remarque : on aurait tout aussi bien pu utiliser l’intervalle de fluctuation vu en classe de première construit avec une loi binomiale, ou l’intervalle de fluctuation asymptotique vu en terminale, à condition de vérifier au préalable dans ce cas les conditions d’utilisation dudit intervalle.