La tête dans les étoiles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2016

Exercice 3 • 5 points

La tête dans les étoiles

Partie A

Un astronome responsable d’un club d’astronomie a observé le ciel un soir d’août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d’attente entre deux apparitions d’étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d’attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. En exploitant les données obtenues, il a établi que λ = 0,2.

Il prévoit d’emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d’août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu’il sera dans des conditions d’observation analogues à celles d’août 2015.

L’astronome veut s’assurer que le groupe ne s’ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

▶ 1. Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu’il attende moins de 3 minutes pour voir l’étoile filante suivante est environ 0,451.

▶ 2. Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à 0,95 ? Arrondir ce temps à la minute près.

▶ 3. L’astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d’observations d’étoiles filantes lors de cette sortie.

Partie B

Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations suivantes :

64 % des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents 

27 % des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel 

65 % des nouveaux adhérents n’ont pas de télescope personnel.

▶ 1. On choisit un adhérent au hasard. Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est 0,494.

▶ 2. On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel. Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent ? Arrondir à 10−3 près.

Partie C

Pour des raisons pratiques, l’astronome responsable du club souhaiterait installer un site d’observation sur les hauteurs d’une petite ville de 2 500 habitants. Mais la pollution lumineuse due à l’éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l’éclairage nocturne pendant les nuits d’observation, l’astronome réalise un sondage aléatoire auprès de 100 habitants et obtient 54 avis favorables à la coupure de l’éclairage nocturne.

L’astronome a fait l’hypothèse que 50 % de la population du village est favorable à la coupure de l’éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l’amène-t-il à changer d’avis ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 65 minutes.

Les thèmes clés

Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation • Probabilités conditionnelles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi exponentielle  E40c  Partie A

Fonction logarithme népérien  E9e  Partie A, 2.

Probabilités (généralités)  E34  Partie B, 1.

Probabilités conditionnelles  E35 • E37 Partie B, 1. et 2.

Primitives  E11d  Partie A, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 2. Pensez à traduire la situation proposée par une inéquation de la forme P(Tx)&gt 0,95x est la durée demandée.

Partie B

 1. Utilisez la formule des probabilités totales.

Partie C

Utilisez un intervalle de fluctuation.