Nombres complexes et applications

ENS. SPÉCIFIQUE

matT_1611_11_02C

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 3 • 4 points • ⏱ 45 min

La transformation de Joukovsky

Les thèmes clés

Nombres complexes • Géométrie

On se place dans le plan complexe rapporté au repère $(O \vec{u}, \vec{v})$ .

Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par :

$f (z) = z + \frac{1}{z}$ .

On note M le point d'affixe z et M′ le point d'affixe f(z).

▶ 1. On appelle A le point d'affixe a = $- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

a) Déterminer la forme exponentielle de a.

b) Déterminer la forme algébrique de f(a).

▶ 2. Résoudre, dans l'ensemble des complexes, l'équation f(z) = 1.

▶ 3. Soit M un point d'affixe z du cercle C de centre O et de rayon 1.

a) Justifier que l'affixe z peut s'écrire sous la forme z = eiθ avec θ un nombre réel.

b) Montrer que f(z) est un nombre réel.

▶ 4. Décrire et représenter l'ensemble des points M d'affixe z tels que f(z) soit un nombre réel.

Les clés du sujet

▶ 4. Raisonnez à l'aide d'une double implication. Pour ce faire, justifiez que si « un nombre complexe $z$ non nul est l'affixe d'un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 ou à la droite des réels privée de l'origine O », alors « $f (z)$ est un nombre réel ». Pour démontrer la réciproque, justifiez tout d'abord que « $f (z)$ est un nombre réel » implique que « le module de $z$ est égal à 1 ou les arguments de $z$ sont de la forme $0 + k \times π$ ( $k$ entier relatif) ».

Corrigé

▶ 1. a) Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle   E18a • E19b • E19d

Gagnez des points !

Vérifiez vos résultats à l'aide de la calculatrice C4 .

Le module du nombre complexe $a$ est : $| a | = | - \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} = 1$ .

Le nombre complexe $a$ étant non nul, un argument $θ$ de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que : $\cos θ = \frac{Re (a)}{| a |} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin θ = \frac{Im (a)}{| a |} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . D'après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que $\frac{3 π}{4}$ est un argument de $a .$

L'écriture du nombre complexe $a$ sous forme exponentielle est $e^{i \frac{3 π}{4}}$ .

b) Écrire un nombre complexe sous forme algébrique   E10d • E18b

1re méthode (avec la forme algébrique)

Nous avons :

À retenir

Pour tout nombre complexe z :

$z \times \bar{z} = {| z |}^{2}$ .

$f (a) = a + \frac{1}{a} = a + \frac{\bar{a}}{a \times \bar{a}} = a + \frac{\bar{a}}{1^{2}} = a + \bar{a} .$

Comme la forme algébrique du nombre complexe $a$ est $- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$ , il en découle que : $a + \bar{a} = (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) + (- \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \times (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2}$ .

2e méthode (avec la forme exponentielle)

Comme la forme exponentielle de $a$ est $e^{i \frac{3 π}{4}}$ , nous avons :

À retenir

Pour tout nombre réel $θ,$ $\frac{1}{e^{i θ}} = e^{- i θ}$ et $e^{- i θ} = \cos (θ) - i \sin (θ)$ .

$f (a) = a + \frac{1}{a} = e^{i \frac{3 π}{4}} + \frac{1}{e^{i \frac{3 π}{4}}} = e^{i \frac{3 π}{4}} + e^{- i \frac{3 π}{4}}$ .

Or, $e^{i \frac{3 π}{4}} + e^{- i \frac{3 π}{4}} = 2 \times \cos (\frac{3 π}{4}) = 2 \times (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2}$ .

La forme algébrique de $f (a)$ est $- \sqrt{2}$ .

▶ 2. Résoudre une équation dans l'ensemble des nombres complexes E23

Pour tout nombre complexe $z$ non nul, nous avons :

$f (z) = 1 \Leftrightarrow z + \frac{1}{z} = 1 \Leftrightarrow \frac{z^{2} + 1}{z} = 1 \Leftrightarrow z^{2} + 1 = z \Leftrightarrow z^{2} - z + 1 = 0$ .

Cette dernière équation d'inconnue $z$ est de la forme $a z^{2} + b z + c = 0$ avec $a = 1 \neq 0$ , $b = - 1$ et $c = 1$ . Pour résoudre cette équation du second degré, calculons son discriminant :

$Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 1)}^{2} - 4 \times 1 \times 1 = - 3$ .

Comme $Δ = - 30$ , cette équation admet deux solutions complexes conjuguées qui sont :

$z_{1} = \frac{- b - i \sqrt{- Δ}}{2 a} = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $z_{2} = \bar{z_{1}} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

L'équation $f (z) = 1$ admet donc deux solutions complexes :

$\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

▶ 3. a) Justifier une écriture d'un nombre complexe E18c • E21b

Comme M appartient au cercle de centre O et de rayon 1, la distance OM est égale à 1. Or, l'affixe du point M étant $z$ , nous avons : $| z | = OM = 1$ . Le nombre complexe $z$ étant ainsi non nul, il peut s'écrire sous forme exponentielle : $z = | z | \times e^{i θ}$ où $θ$ est un argument du nombre complexe $z$ . Comme $| z | = 1$ , nous en déduisons que le nombre complexe $z$ peut s'écrire sous la forme $e^{i θ}$ où $θ$ est un nombre réel.

b) Déterminer la nature d'une image par une transformation E21

À retenir

Pour tout nombre réel $θ,$ $e^{i θ} + e^{- i θ} = 2 \cos (θ)$ .

D'après la question précédente, nous avons :

$f (z) = z + \frac{1}{z} = e^{i θ} + \frac{1}{e^{i θ}} = e^{i θ} + e^{- i θ} = 2 \times \cos (θ)$ .

Par conséquent, le nombre complexe $f (z)$ est un nombre réel.

▶ 4. Décrire et représenter un ensemble de points E16 • E19d • E21

Rappelons que $f (z)$ est défini pour tout nombre complexe $z$ non nul.

1re implication

D'après la question 3., si $z$ est l'affixe d'un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1, alors $f (z)$ est un nombre réel.

Si $z$ est un nombre réel non nul, alors $f (z)$ , somme de deux nombres réels, est naturellement un nombre réel. Autrement dit, si $z$ est l'affixe d'un point appartenant à la droite des réels privée de l'origine O, alors $f (z)$ est un nombre réel. Par conséquent, si « $z$ est l'affixe d'un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 ou à la droite des réels privée de l'origine O », alors « $f (z)$ est un nombre réel ».

2e implication

Supposons que $f (z)$ soit un nombre réel. Autrement dit, supposons qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $f (z) = k$ . Comme $z$ est un nombre complexe non nul, il peut s'écrire sous forme exponentielle : $z = r \times e^{i θ}$ où $r$ est le module et $θ$ est un argument de ce nombre complexe. Alors :

$\begin{array}{l} f (z) = k \Leftrightarrow z + \frac{1}{z} = k \Leftrightarrow r \times e^{i θ} + \frac{1}{r \times e^{i θ}} = k \Leftrightarrow r \times e^{i θ} + \frac{1}{r} \times e^{- i θ} = k \\ \Leftrightarrow (r + \frac{1}{r}) \times \cos (θ) + i \times (r - \frac{1}{r}) \times \sin (θ) = k . \end{array}$

Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ces nombres complexes ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. D'où :

$\begin{array}{l} f (z) = k \Rightarrow (r - \frac{1}{r}) \times \sin (θ) = 0 \Rightarrow r - \frac{1}{r} = 0 o u \sin (θ) = 0 \\ \Rightarrow (r = 1 ou r = - 1) ou (θ = 0 [2 π] ou θ = π [2 π]) \\ \underset{r > 0}{\Rightarrow} r = 1 ou θ = 0 [2 π] ou θ = π [2 π] . \end{array}$

Nous en déduisons que : « $z = e^{i θ}$ ( $θ$ étant un nombre réel) » ou « $z = r$ ou $- r$ ( $r$ étant un réel non nul) ». Ce qui s'interprète de la manière suivante : « $z$ est l'affixe d'un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 » ou « $z$ est l'affixe d'un point appartenant à la droite des réels privée de l'origine O ».

Nous en concluons que l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $f (z)$ soit un nombre réel est la réunion du cercle de centre O et de rayon 1 et de la droite des réels privée de son origine.

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La transformation de Joukovsky

▶ 1. a) Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle E18a • E19b • E19d

b) Écrire un nombre complexe sous forme algébrique E10d • E18b

▶ 2. Résoudre une équation dans l'ensemble des nombres complexes E23

▶ 3. a) Justifier une écriture d'un nombre complexe E18c • E21b

b) Déterminer la nature d'une image par une transformation E21

▶ 4. Décrire et représenter un ensemble de points E16 • E19d • E21

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▶ 1. a) Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle   E18a • E19b • E19d

b) Écrire un nombre complexe sous forme algébrique   E10d • E18b

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