La transformation de Joukovsky

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Nouvelle-Calédonie


Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 3 • 4 points • 45 min

La transformation de Joukovsky

Les thèmes clés

Nombres complexes • Géométrie

 

On se place dans le plan complexe rapporté au repère (O;u,v).

Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par :

f(z)=z+1z.

On note M le point d’affixe z et M le point d’affixe f(z).

1. On appelle A le point d’affixe a = 22+i22.

a) Déterminer la forme exponentielle de a.

b) Déterminer la forme algébrique de f(a).

2. Résoudre, dans l’ensemble des complexes, l’équation f(z= 1.

3. Soit M un point d’affixe z du cercle C de centre O et de rayon 1.

a) Justifier que l’affixe z peut s’écrire sous la forme z = eiθ avec θ un nombre réel.

b) Montrer que f(z) est un nombre réel.

4. Décrire et représenter l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit un nombre réel.

Les clés du sujet

4. Raisonnez à l’aide d’une double implication. Pour ce faire, justifiez que si « un nombre complexe z non nul est l’affixe d’un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 ou à la droite des réels privée de l’origine O », alors « f(z) est un nombre réel ». Pour démontrer la réciproque, justifiez tout d’abord que « f(z) est un nombre réel » implique que « le module de z est égal à 1 ou les arguments de z sont de la forme 0 + k×π (k entier relatif) ».

Corrigé

Corrigé

1. a) Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle 
 E18a • E19b • E19d 

Gagnez des points !

Vérifiez vos résultats à l’aide de la calculatrice  C4 .

Le module du nombre complexe a est : |a|=|22+i22|=(22)2+(22)2=1.

Le nombre complexe a étant non nul, un argument θ de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que : cosθ=Re(a)|a|=22 et sinθ=Im(a)|a|=22. D’après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que 3π4 est un argument de a.

L’écriture du nombre complexe a sous forme exponentielle est ei3π4.

b) Écrire un nombre complexe sous forme algébrique 
 E10d • E18b 

1re méthode (avec la forme algébrique)

Nous avons :

À retenir

Pour tout nombre complexe z :

z×z¯=|z|2.

f(a)=a+1a=a+a¯a×a¯=a+a¯12=a+a¯.

Comme la forme algébrique du nombre complexe a est 22+i22, il en découle que : a+a¯=(22+i22)+(22i22)=2×(22)=2.

2e méthode (avec la forme exponentielle)

Comme la forme exponentielle de a est ei3π4, nous avons :

À retenir

Pour tout nombre réel θ, 1eiθ=eiθ et eiθ=cos(θ)isin(θ).

f(a)=a+1a=ei3π4+1ei3π4=ei3π4+ei3π4.

Or, ei3π4+ei3π4=2×cos(3π4)=2×(22)=2.

La forme algébrique de f(a) est 2.

2. Résoudre une équation dans l’ensemble des nombres complexes E23 

Pour tout nombre complexe z non nul, nous avons :

f(z)=1z+1z=1z2+1z=1z2+1=zz2z+1=0.

Cette dernière équation d’inconnue z est de la forme az2+bz+c=0 avec a=10, b=1 et c=1. Pour résoudre cette équation du second degré, calculons son discriminant :

Δ=b24ac=(1)24×1×1=3.

Comme Δ=3<0, cette équation admet deux solutions complexes conjuguées qui sont :

z1=biΔ2a=1i32=12i32 et z2=z1¯=12+i32.

L’équation f(z)=1 admet donc deux solutions complexes :

12i32 et 12+i32.

3. a) Justifier une écriture d’un nombre complexe  E18c • E21b 

Comme M appartient au cercle de centre O et de rayon 1, la distance OM est égale à 1. Or, l’affixe du point M étant z, nous avons : |z|=OM=1. Le nombre complexe z étant ainsi non nul, il peut s’écrire sous forme exponentielle : z=|z|×eiθθ est un argument du nombre complexe z. Comme |z|=1, nous en déduisons que le nombre complexe z peut s’écrire sous la forme eiθθ est un nombre réel.

b) Déterminer la nature d’une image par une transformation  E21 

À retenir

Pour tout nombre réel θ, eiθ+eiθ=2cos(θ).

D’après la question précédente, nous avons :

f(z)=z+1z=eiθ+1eiθ=eiθ+eiθ=2×cos(θ).

Par conséquent, le nombre complexe f(z) est un nombre réel.

4. Décrire et représenter un ensemble de points  E16 • E19d • E21 

Rappelons quef(z) est défini pour tout nombre complexe z non nul.

1re implication

D’après la question 3., si z est l’affixe d’un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1, alors f(z) est un nombre réel.

Si z est un nombre réel non nul, alors f(z), somme de deux nombres réels, est naturellement un nombre réel. Autrement dit, si z est l’affixe d’un point appartenant à la droite des réels privée de l’origine O, alors f(z) est un nombre réel. Par conséquent, si « z est l’affixe d’un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 ou à la droite des réels privée de l’origine O », alors « f(z) est un nombre réel ».

2e implication

Supposons que f(z) soit un nombre réel. Autrement dit, supposons qu’il existe un nombre réel k tel que f(z)=k. Comme z est un nombre complexe non nul, il peut s’écrire sous forme exponentielle : z=r×eiθr est le module et θ est un argument de ce nombre complexe. Alors :

f(z)=kz+1z=kr×eiθ+1r×eiθ=kr×eiθ+1r×eiθ=k(r+1r)×cos(θ)+i×(r1r)×sin(θ)=k.

Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ces nombres complexes ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. D’où :

f(z)=k  (r1r)×sin(θ)=0r1r=0  ou  sin(θ)=0(r=1  ou  r=1)  ou  (θ=0 [2π] ou θ=π [2π])r>0r=1  ou  θ=0 [2π] ou θ=π [2π].

Nous en déduisons que : « z=eiθ (θ étant un nombre réel) » ou « z=r ou r (r étant un réel non nul) ». Ce qui s’interprète de la manière suivante : « z est l’affixe d’un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 » ou « z est l’affixe d’un point appartenant à la droite des réels privée de l’origine O ».

Nous en concluons que l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit un nombre réel est la réunion du cercle de centre O et de rayon 1 et de la droite des réels privée de son origine.

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