La transformation de Joukovsky

On se place dans le plan complexe rapporté au repère $(\text{O}\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par :

$f(z)=z+\frac{1}{z}$.

On note M le point d’affixe z et M′ le point d’affixe f(z).

▶ 1. On appelle A le point d’affixe a = $-\frac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}$.

a) Déterminer la forme exponentielle de a.

b) Déterminer la forme algébrique de f(a).

▶ 2. Résoudre, dans l’ensemble des complexes, l’équation f(z) = 1.

▶ 3. Soit M un point d’affixe z du cercle C de centre O et de rayon 1.

a) Justifier que l’affixe z peut s’écrire sous la forme z = eiθ avec θ un nombre réel.

b) Montrer que f(z) est un nombre réel.

▶ 4. Décrire et représenter l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit un nombre réel.