La transformation de Joukovsky

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Nouvelle-Calédonie

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 3 • 4 points • 45 min

La transformation de Joukovsky

Les thèmes clés

Nombres complexes • Géométrie

 

On se place dans le plan complexe rapporté au repère (Ou,v).

Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par :

f(z)=z+1z.

On note M le point d’affixe z et M le point d’affixe f(z).

1. On appelle A le point d’affixe a = 22+i22.

a) Déterminer la forme exponentielle de a.

b) Déterminer la forme algébrique de f(a).

2. Résoudre, dans l’ensemble des complexes, l’équation f(z= 1.

3. Soit M un point d’affixe z du cercle C de centre O et de rayon 1.

a) Justifier que l’affixe z peut s’écrire sous la forme z = eiθ avec θ un nombre réel.

b) Montrer que f(z) est un nombre réel.

4. Décrire et représenter l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit un nombre réel.

Les clés du sujet

4. Raisonnez à l’aide d’une double implication. Pour ce faire, justifiez que si « un nombre complexe z non nul est l’affixe d’un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 ou à la droite des réels privée de l’origine O », alors « f(z) est un nombre réel ». Pour démontrer la réciproque, justifiez tout d’abord que « f(z) est un nombre réel » implique que « le module de z est égal à 1 ou les arguments de z sont de la forme 0 + k×π (k entier relatif) ».

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