Nombres complexes et applications
ENS. SPÉCIFIQUE
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matT_1611_11_02C
Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016
Exercice 3 • 4 points • ⏱ 45 min
La transformation de Joukovsky
Les thèmes clés
Nombres complexes • Géométrie
On se place dans le plan complexe rapporté au repère .
Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par :
.
On note M le point d’affixe z et M′ le point d’affixe f(z).
▶ 1. On appelle A le point d’affixe a = .
a) Déterminer la forme exponentielle de a.
b) Déterminer la forme algébrique de f(a).
▶ 2. Résoudre, dans l’ensemble des complexes, l’équation f(z) = 1.
▶ 3. Soit M un point d’affixe z du cercle C de centre O et de rayon 1.
a) Justifier que l’affixe z peut s’écrire sous la forme z = eiθ avec θ un nombre réel.
b) Montrer que f(z) est un nombre réel.
▶ 4. Décrire et représenter l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit un nombre réel.
Les clés du sujet
▶ 4. Raisonnez à l’aide d’une double implication. Pour ce faire, justifiez que si « un nombre complexe non nul est l’affixe d’un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 ou à la droite des réels privée de l’origine O », alors « est un nombre réel ». Pour démontrer la réciproque, justifiez tout d’abord que « est un nombre réel » implique que « le module de est égal à 1 ou les arguments de sont de la forme ( entier relatif) ».
