La transformation de Joukovsky

Corrigé

▶ 1. a) Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle 
 E18a • E19b • E19d 

Le module du nombre complexe a est : |a|=|−22+i22|=(−22)2+(22)2=1.

Le nombre complexe a étant non nul, un argument θ de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que : cosθ=Re(a)|a|=−22 et sinθ=Im(a)|a|=22. D’après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que 3π4 est un argument de a.

L’écriture du nombre complexe a sous forme exponentielle est ei3π4.

b) Écrire un nombre complexe sous forme algébrique 
 E10d • E18b 

1re méthode (avec la forme algébrique)

Nous avons :

f(a)=a+1a=a+a¯a×a¯=a+a¯12=a+a¯.

Comme la forme algébrique du nombre complexe a est −22+i22, il en découle que : a+a¯=(−22+i22)+(−22−i22)=2×(−22)=−2.

2e méthode (avec la forme exponentielle)

Comme la forme exponentielle de a est ei3π4, nous avons :

f(a)=a+1a=ei3π4+1ei3π4=ei3π4+e−i3π4.

Or, ei3π4+e−i3π4=2×cos(3π4)=2×(−22)=−2.

La forme algébrique de f(a) est −2.

▶ 2. Résoudre une équation dans l’ensemble des nombres complexes E23 

Pour tout nombre complexe z non nul, nous avons :

f(z)=1⇔z+1z=1⇔z2+1z=1⇔z2+1=z⇔z2−z+1=0.

Cette dernière équation d’inconnue z est de la forme az2+bz+c=0 avec a=1≠0, b=−1 et c=1. Pour résoudre cette équation du second degré, calculons son discriminant :

Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×1=−3.

Comme Δ=−3<0, cette équation admet deux solutions complexes conjuguées qui sont :

z1=−b−i−Δ2a=1−i32=12−i32 et z2=z1¯=12+i32.

L’équation f(z)=1 admet donc deux solutions complexes :

12−i32 et 12+i32.

▶ 3. a) Justifier une écriture d’un nombre complexe  E18c • E21b 

Comme M appartient au cercle de centre O et de rayon 1, la distance OM est égale à 1. Or, l’affixe du point M étant z, nous avons : |z|=OM=1. Le nombre complexe z étant ainsi non nul, il peut s’écrire sous forme exponentielle : z=|z|×eiθ où θ est un argument du nombre complexe z. Comme |z|=1, nous en déduisons que le nombre complexe z peut s’écrire sous la forme eiθ où θ est un nombre réel.

b) Déterminer la nature d’une image par une transformation  E21 

D’après la question précédente, nous avons :

f(z)=z+1z=eiθ+1eiθ=eiθ+e−iθ=2×cos(θ).

Par conséquent, le nombre complexe f(z) est un nombre réel.

▶ 4. Décrire et représenter un ensemble de points  E16 • E19d • E21 

Rappelons quef(z) est défini pour tout nombre complexe z non nul.

1re implication

D’après la question 3., si z est l’affixe d’un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1, alors f(z) est un nombre réel.

Si z est un nombre réel non nul, alors f(z), somme de deux nombres réels, est naturellement un nombre réel. Autrement dit, si z est l’affixe d’un point appartenant à la droite des réels privée de l’origine O, alors f(z) est un nombre réel. Par conséquent, si « z est l’affixe d’un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 ou à la droite des réels privée de l’origine O », alors « f(z) est un nombre réel ».

2e implication

Supposons que f(z) soit un nombre réel. Autrement dit, supposons qu’il existe un nombre réel k tel que f(z)=k. Comme z est un nombre complexe non nul, il peut s’écrire sous forme exponentielle : z=r×eiθ où r est le module et θ est un argument de ce nombre complexe. Alors :

f(z)=k⇔z+1z=k⇔r×eiθ+1r×eiθ=k⇔r×eiθ+1r×e−iθ=k⇔(r+1r)×cos(θ)+i×(r−1r)×sin(θ)=k.

Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ces nombres complexes ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. D’où :

f(z)=k⇒(r−1r)×sin(θ)=0⇒r−1r=0ousin(θ)=0⇒(r=1 ou r=−1) ou (θ=0[2π] ou θ=π[2π])⇒r>0r=1 ou θ=0[2π] ou θ=π[2π].

Nous en déduisons que : « z=eiθ (θ étant un nombre réel) » ou « z=r ou −r (r étant un réel non nul) ». Ce qui s’interprète de la manière suivante : « z est l’affixe d’un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 » ou « z est l’affixe d’un point appartenant à la droite des réels privée de l’origine O ».

Nous en concluons que l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit un nombre réel est la réunion du cercle de centre O et de rayon 1 et de la droite des réels privée de son origine.