Nombres complexes et applications
ENS. SPÉCIFIQUE
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matT_1611_11_02C
Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016
Exercice 3 • 4 points • ⏱ 45 min
La transformation de Joukovsky
Les thèmes clés
Nombres complexes • Géométrie
On se place dans le plan complexe rapporté au repère .
Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par :
.
On note M le point d'affixe z et M′ le point d'affixe f(z).
▶ 1. On appelle A le point d'affixe a = .
a) Déterminer la forme exponentielle de a.
b) Déterminer la forme algébrique de f(a).
▶ 2. Résoudre, dans l'ensemble des complexes, l'équation f(z) = 1.
▶ 3. Soit M un point d'affixe z du cercle C de centre O et de rayon 1.
a) Justifier que l'affixe z peut s'écrire sous la forme z = eiθ avec θ un nombre réel.
b) Montrer que f(z) est un nombre réel.
▶ 4. Décrire et représenter l'ensemble des points M d'affixe z tels que f(z) soit un nombre réel.
Les clés du sujet
▶ 4. Raisonnez à l'aide d'une double implication. Pour ce faire, justifiez que si « un nombre complexe non nul est l'affixe d'un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 ou à la droite des réels privée de l'origine O », alors « est un nombre réel ». Pour démontrer la réciproque, justifiez tout d'abord que « est un nombre réel » implique que « le module de est égal à 1 ou les arguments de sont de la forme ( entier relatif) ».
Corrigé
▶ 1. a) Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle E18a • E19b • E19d
Gagnez des points !
Vérifiez vos résultats à l'aide de la calculatrice C4 .
Le module du nombre complexe est : .
Le nombre complexe étant non nul, un argument de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que : et . D'après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que est un argument de
L'écriture du nombre complexe sous forme exponentielle est .
b) Écrire un nombre complexe sous forme algébrique E10d • E18b
1re méthode (avec la forme algébrique)
Nous avons :
À retenir
Pour tout nombre complexe z :
.
Comme la forme algébrique du nombre complexe est , il en découle que : .
2e méthode (avec la forme exponentielle)
Comme la forme exponentielle de est , nous avons :
À retenir
Pour tout nombre réel et .
.
Or, .
La forme algébrique de est .
▶ 2. Résoudre une équation dans l'ensemble des nombres complexes E23
Pour tout nombre complexe non nul, nous avons :
.
Cette dernière équation d'inconnue est de la forme avec , et . Pour résoudre cette équation du second degré, calculons son discriminant :
.
Comme , cette équation admet deux solutions complexes conjuguées qui sont :
et .
L'équation admet donc deux solutions complexes :
et .
▶ 3. a) Justifier une écriture d'un nombre complexe E18c • E21b
Comme M appartient au cercle de centre O et de rayon 1, la distance OM est égale à 1. Or, l'affixe du point M étant , nous avons : . Le nombre complexe étant ainsi non nul, il peut s'écrire sous forme exponentielle : où est un argument du nombre complexe . Comme , nous en déduisons que le nombre complexe peut s'écrire sous la forme où est un nombre réel.
b) Déterminer la nature d'une image par une transformation E21
À retenir
Pour tout nombre réel .
D'après la question précédente, nous avons :
.
Par conséquent, le nombre complexe est un nombre réel.
▶ 4. Décrire et représenter un ensemble de points E16 • E19d • E21
Rappelons que est défini pour tout nombre complexe non nul.
1re implication
D'après la question 3., si est l'affixe d'un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1, alors est un nombre réel.
Si est un nombre réel non nul, alors , somme de deux nombres réels, est naturellement un nombre réel. Autrement dit, si est l'affixe d'un point appartenant à la droite des réels privée de l'origine O, alors est un nombre réel. Par conséquent, si « est l'affixe d'un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 ou à la droite des réels privée de l'origine O », alors « est un nombre réel ».
2e implication
Supposons que soit un nombre réel. Autrement dit, supposons qu'il existe un nombre réel tel que . Comme est un nombre complexe non nul, il peut s'écrire sous forme exponentielle : où est le module et est un argument de ce nombre complexe. Alors :
Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ces nombres complexes ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. D'où :
Nous en déduisons que : « ( étant un nombre réel) » ou « ou ( étant un réel non nul) ». Ce qui s'interprète de la manière suivante : « est l'affixe d'un point appartenant au cercle de centre O et de rayon 1 » ou « est l'affixe d'un point appartenant à la droite des réels privée de l'origine O ».
Nous en concluons que l'ensemble des points M d'affixe tels que soit un nombre réel est la réunion du cercle de centre O et de rayon 1 et de la droite des réels privée de son origine.