La traversée d’un pont

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
La traversée d’un pont
 
 

Probabilités conditionnelles

matT_1309_04_03C

ENS. SPÉCIFIQUE

31

CORRIGE

 

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Exercice 4 • 5 points

Les deux parties sont indépendantes.

Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :

  • soit il avance d’un pas tout droit ;
  • soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ;
  • soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).

On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.

L’objectif de cet exercice est d’estimer la probabilité p de l’événement S « Tom traverse le pont » c’est-à-dire « Tom n’est pas tombé dans l’eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements ».

Partie A : modélisation et simulation

On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d’un repère orthonormé comme l’indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0 ; 0) au début de la traversée. On note (x ; y) les coordonnées de la position de Tom après x déplacements.


 

On a écrit l’algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de x déplacements :

 

x, y, n sont des entiers

Affecter à x la valeur 0

Affecter à y la valeur 0

Tant que et et

Affecter à n une valeur choisie au hasard entre −1, 0 et 1

Affecter à y la valeur y + n

Affecter à x la valeur x + 1

Fin tant que

Afficher « la position de Tom est » (x ; y)

 

>1. On donne les couples suivants : (−1 ; 1) ; (10 ; 0) ; (2 ; 4) ; (10 ; 2).

Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.

>2. Modifier cet algorithme pour qu’à la place de « la position de Tom est (x ; y) », il affiche finalement « Tom a réussi la traversée » ou « Tom est tombé ».

Partie B

Pour tout n entier naturel compris entre 0 et 10, on note :

An l’événement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée −1 » ;

Bn l’événement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée 0 » ;

Cn l’événement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée 1 ».

On note an, bn et cn les probabilités respectives des événements An, Bn, Cn.

>1. Justifier que a0= 0, b0= 1, c0= 0.

>2. Montrer que pour tout entier naturel n compris entre 0 et 9, on a

On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

>3. Calculer les probabilités p(A1), p(B1) et p(C1).

>4. Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements.

>5. À l’aide d’un tableur, on a obtenu la feuille de calcul ci-dessous qui donne des valeurs approchées de an, bn et cn pour n compris entre 0 et 10.

Donner une valeur approchée à 0,001 près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s’aider du tableau ci-dessous).

 

n

an

bn

cn

0

0

1

0

1

0,333333

0,333333

0,333333

2

0,222222

0,333333

0,222222

3

0,185185

0,259259

0,185185

4

0,148148

0,209877

0,148148

5

0,119342

0,168724

0,119342

6

0,096022

0,135802

0,096022

7

0,077275

0,109282

0,077275

8

0,062186

0,087944

0,062186

9

0,050043

0,070772

0,050043

10

0,040272

0,056953

0,040272

 

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes clés

Algorithme • Probabilités conditionnelles • Événements incompatibles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Probabilité d’un événement certain, d’un événement impossible  E34  → Partie B, 1.
  • Exploitation d’un arbre pondéré  E37 Partie B, 2.
  • Événements incompatibles et probabilités  E34 Partie B, 4. et 5.

Nos coups de pouce

Partie A

>1. Pour éliminer le couple , justifiez que la variable ne peut prendre des valeurs négatives. Pour éliminer le couple , justifiez que la variable ne peut excéder la valeur 2. Pour les deux autres couples, contentez-vous de déterminer un chemin qui conduise à un tel affichage par cet algorithme.

>2. Utilisez une instruction conditionnelle : « Si … alors … sinon … ». Pour les conditions de cette instruction, focalisez votre attention sur les valeurs de la variable .

Corrigé

Partie A : modélisation et simulation

>1. Algorithme : couples possibles ou impossibles ?

  • Dans l’algorithme proposé, la valeur initiale de est 0 et cette valeur ne peut diminuer car, si les conditions de la boucle Tant que sont vérifiées, x est remplacé par . Cet algorithme ne peut donc fournir le résultat .
  • Dans l’algorithme proposé, si la valeur de dans la boucle Tant que est constamment égale à 0, la valeur de reste à et celle de s’incrémente de 1 jusqu’à atteindre 10.

Les conditions de la boucle Tant que n’étant plus toutes vérifiées mais , l’algorithme terminera par l’affichage suivant « la position de Tom est » suivi de l’affichage du couple «  » qui peut donc être obtenu.

  • Dans l’algorithme proposé, la condition du Tant que , combinée avec l’affectation prend la valeur ne peut excéder 1, empêche d’avoir lors de l’affichage final le résultat . Le couple ne peut donc être obtenu avec cet algorithme.
  • Dans l’algorithme proposé, les conditions du Tant que et combinée avec l’affectation prend la valeur peut prendre la valeur 1 permet d’avoir lors de l’affichage final le résultat et  : il suffit d’avoir et avant la dernière exécution de la boucle Tant que. Le couple peut donc être obtenu avec cet algorithme.

>2. Modifier un algorithme pour qu’il accomplisse une tâche déterminée

On remplace « la position de Tom est  » par :

si et alors

afficher « Tom a réussi la traversée »

sinon

afficher « Tom est tombé ».

Partie B

 

Attention

est un événement certain (l’ordonnée est 0) ; et sont des événements impossibles.

>1. Une vérification initiale

Initialement, Tom est au point de coordonnées .

On a donc et . Ainsi : .

>2. Calculs de probabilités via un arbre pondéré

 

Attention

Les déplacements sont aléatoires et équiprobables (voir énoncé).

est un entier naturel compris entre 0 et 9.


 

Chaque type de déplacement proposé à la même probabilité égale à de survenir.

 

Attention

L’événement contraire de l’événement S : « Tom traverse le pont » (voir énoncé).


 

Probabilité de l’événement

Pour que Tom se trouve sur un point d’ordonnée 1 après déplacements, c’est-à-dire sur le point de coordonnées , il fallait qu’il se trouve après déplacements sur le point de coordonnées ou sur le point de coordonnées . D’après la formule des probabilités totales, on en déduit que, pour tout entier naturel compris entre 0 et 9 :

.

Probabilité de l’événement

Pour que Tom se trouve sur un point d’ordonnée 0 après déplacements, c’est-à-dire sur le point de coordonnées , il fallait qu’il se trouve après déplacements sur le point de coordonnées , sur le point de coordonnées , ou sur le point de coordonnées . D’après la formule des probabilités totales, on en déduit que, pour tout entier naturel compris entre 0 et 9 :

Probabilité de l’événement

Pour que Tom se trouve sur un point d’ordonnée après déplacements, c’est-à-dire sur le point de coordonnées , il fallait qu’il se trouve après déplacements sur le point de coordonnées ou sur le point de coordonnées . D’après la formule des probabilités totales, on en déduit que, pour tout entier naturel compris entre 0 et 9 :

>3. Exploitation des résultats précédents

.

.

>4. Analyse de situation et calcul de probabilité

Pour que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements, il doit se trouver ou sur un point d’ordonnée , ou sur un point d’ordonnée 0, ou sur un point d’ordonnée 1. Ces trois situations correspondent aux événements , . Ces 3 événements étant incompatibles, la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements est :

>5. Traversée du pont

Pour que Tom traverse le pont, il doit se trouver au bout de 10 déplacements ou sur le point de coordonnées , ou sur le point de coordonnées , ou sur le point de coordonnées . Ces trois situations correspondent aux événements , et . Ces 3 événements étant incompatibles, la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de 10 déplacements est .

Il suffit alors d’ajouter les valeurs numériques de la dernière ligne de la feuille de calcul (lorsque ). On obtient 0,137 à 0,001 près par défaut.