Lancement d’un satellite 
par la fusée Ariane

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Lancement d’un satellite
par la fusée Ariane
 
 

Temps, mouvement et évolution

Corrigé

14

Comprendre

pchT_1200_00_14C

 

Sujet inédit

Exercice • 9 points


 

Le 31 juillet 1973, les ministres chargés des affaires spatiales de dix pays européens décident, pour permettre l’accès de l’Europe à l’espace en toute indépendance, de produire un lanceur de satellites (encore appelé fusée) : ainsi est née la famille Ariane.

Le dernier membre de la famille, Ariane 5, de conception différente des lanceurs précédents, comprend deux éléments (ou composites) principaux, un composite inférieur et un composite supérieur.

Le composite inférieur est constitué de l’étage principal cryogénique (EPC) et de l’étage d’accélération à poudre (EAP) dont chaque propulseur mesure 3 m de diamètre et 31 m de hauteur.

Le composite supérieur comprend une case à équipements (le cerveau du lanceur), un étage à propergol stockable et la coiffe qui abrite le ou les satellites.

La masse M0 d’Ariane 5 au moment du lancement est de 780 t dont près de 90 % est constitué d’ergols consommés par les moteurs. Le rôle d’un moteur fusée est d’éjecter le plus de matière possible à la plus grande vitesse possible : au décollage, les moteurs d’Ariane 5 éjectent chaque seconde 4 000 kg de matière à une vitesse ve, ce qui produit une poussée F0 de 13 000 kN.

1. Décollage

1 Les premières secondes de vol

Le décollage de la fusée a été filmé à 25 images par seconde. Le film a été étudié à l’aide d’un logiciel de pointage. L’étalonnage a été effectué à partir de la hauteur de la fusée, puis le pointage a été réalisé toutes les 5 images au niveau de la coiffe. Grâce aux fonctionnalités du logiciel, à partir des coordonnées, on a obtenu les valeurs de la vitesse au cours du temps.

Vous disposez ci-dessous d’un tableau avec les premières valeurs, des courbes y=f(t) et vy=g(t) (figures 1 et 2).

Tableaux

 

t(s)

y(m)

vy(m &middot  s&ndash 1)

0

&ndash  21,952

0

0,2

&ndash  21,89

&ndash  0,095

0,4

&ndash  21,99

0

0,6

&ndash  21,89

0

0,8

&ndash  21,99

0,1575

1

&ndash 21,827

2,6225

1,2

&ndash 20,941

4,5875

1,4

&ndash  19,992

5,8525

1,6

&ndash  18,6

6,6425

1,8

&ndash  17,335

7,5925

2

&ndash  15,563

9,6475

2,2

&ndash  13,476

10,755

2,4

&ndash  11,261

11,23

2,6

&ndash  8,984

13,6025

2,8

&ndash  5,82

16,1325

3

&ndash  2,531

17,3975

3,2

1,139

18,3475

3,4

4,808

19,6125

3,6

8,984

21,195

3,8

13,286

22,4575

4

17,967

24,04

4,2

22,902

24,8325

4,4

27,9

26,4125

4,6

33,467

28,6275

4,8

39,351

30,21

5

45,551

32,5825

5,2

52,384

34,955

5,4

59,533

37,327

 

 

Figure 1


 

Figure 2

1. Expliquer comment la vitesse a été calculée par le logiciel. Retrouver la valeur pour la date t= 1,6 s. (0,5 point)

2. À l’aide des documents fournis, déterminer la date du décollage tdec. (0,25 point)

3. Calculer les quantités de mouvement de la fusée 2 s après le décollage et 3 s après le décollage, p2 et p3 respectivement. (0,75 point)

4. En déduire la variation de la quantité de mouvement pendant cette même seconde, ΔpΔt. (0,25 point)

5. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer la poussée des moteurs et comparer à la valeur donnée ci-dessus. (0,75 point)

6. La vitesse d’éjection ve des gaz issus de la combustion du pergol est donnée par la relation ve= ΔtΔMF avec ΔMΔt est la variation de masse de la fusée par unité de temps et caractérise la consommation des moteurs.

Vérifier l’unité de ve par analyse dimensionnelle. Calculer la valeur numérique de ve. Cette valeur est-elle conforme à celle indiquée ?

Quel est le signe de ΔtΔM ? En déduire le sens de ve.

Qu’en pensez-vous ?

À l’aide d’une loi connue qu’on énoncera, expliquer pourquoi l’éjection des gaz propulse la fusée vers le haut. (1,25 point)

2 Après 2 minutes 15 : éjection des propulseurs

Après 2 min 15 s de vol, elle atteint la vitesse de v= 240 m &middot  s&ndash 1, à l’altitude de z= 60 km et largue les 2 boosters vides.

La fusée Ariane a une masse de 780 t dont 540 t pour les 2 propulseurs à poudre. Elle subit une poussée F= 11 360 kN.

Calculer immédiatement après le largage :

1. l’énergie cinétique de la fusée. (0,25 point)

2. l’énergie potentielle de pesanteur de la fusée (avec g= 10 N &middot  kg&ndash 1). (0,25 point)

3. l’énergie mécanique totale de la fusée. (0,25 point)

4. En supposant que la poussée est constante pendant cette première phase, calculer le travail de cette poussée. (0,25 point)

5. Comparer la valeur du travail précédent à celle de l’énergie mécanique totale de la fusée à l’altitude de 60 km. Formuler des hypothèses pouvant expliquer cette différence. (0,5 point)

2. Mise en orbite basse du satellite

Le centre spatial de Kourou a lancé le 21 décembre 2005, avec une fusée Ariane 5, un satellite de météorologie de seconde génération baptisé MSG-2. Tout comme ses prédécesseurs, il est placé sur une orbite géostationnaire à 36 000 km d’altitude. Opérationnel depuis juillet 2006, il porte maintenant le nom de Météosat 9.

Les satellites de seconde génération sont actuellement les plus performants au monde dans le domaine de l’imagerie météorologique. Ils assureront jusqu’en 2018 la fourniture de données météorologiques, climatiques et environnementales.

La mise en orbite complète du satellite MSG-2 de masse m= 2,0 &times  103 kg s’accomplit en deux étapes. Dans un premier temps, il est placé sur une orbite circulaire à vitesse constante vS à basse altitude h= 6,0 &times 102 km autour de la Terre et il n’est soumis qu’à la force gravitationnelle exercée par la Terre.

On choisit un repère (S, t, n) dans lequel t est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement et n, un vecteur unitaire perpendiculaire à la trajectoire et orienté vers le centre de la Terre.

1 Donner l’expression vectorielle de la force gravitationnelle FT/S exercée par la Terre sur le satellite en fonction des données. (0,25 point)

2 En appliquant une loi de Newton, trouver l’expression du vecteur accélération aSdu centre d’inertie du satellite. (0,25 point)

3 Sans souci d’échelle, représenter sur un schéma, à un instant de date t quelconque, la Terre, le satellite, le repère (S, t, n) ainsi que le vecteur accélération aS. (0,25 point)

4 Déterminer l’expression de la vitesse vS du centre d’inertie du satellite. Vérifier que sa valeur est de l’ordre de 7,6 &times 103 m &middot  s&ndash 1 sur son orbite basse. (0,75 point)

5 On note T le temps mis par le satellite pour faire un tour autour de la Terre. Comment appelle-t-on cette grandeur ? Montrer qu’elle vérifie la relation T2= 4π2(RT+h)3GMT. (0,5 point)

3. Transfert du satellite en orbite géostationnaire

Une fois le satellite MSG-2 placé sur son orbite circulaire basse, on le fait passer sur une orbite géostationnaire à l’altitude h&prime  = 3,6  &times 104 km. Ce transit s’opère sur une orbite de transfert qui est elliptique. Le schéma de principe est représenté sur la figure 3.

Le périgée P est situé sur l’orbite circulaire basse et l’apogée A est sur l’orbite définitive géostationnaire.

À un moment convenu, lorsque le satellite est au point P de son orbite circulaire basse, on augmente sa vitesse de façon bien précise : il décrit ainsi une orbite elliptique de transfert afin que l’apogée A de l’ellipse soit sur l’orbite géostationnaire définitive. On utilise pour cela un petit réacteur qui émet en P, pendant un très court instant, un jet de gaz donnant au satellite l’impulsion nécessaire.


 

Figure 3

1 Énoncer la deuxième loi de Kepler ou « loi des aires ». (0,25 point)

2 Montrer, en s’aidant éventuellement d’un schéma, que la vitesse du satellite MSG-2 n’est pas constante sur son orbite de transfert. Préciser en quels points de son orbite de transfert sa vitesse est :

  • maximale  (0,25 point)
  • minimale. (0,25 point)

3 Exprimer la distance AP en fonction de RT, h et h&prime .
Montrer que AP = 4,9 &times  107 m. (0,25 point)

4 Dans le cas de cette orbite elliptique, la durée de révolution pour faire un tour complet de l’orbite vaut T&prime  = 10 h 42 min.

Déterminer la durée minimale Δt du transfert du satellite MSG-2 du point P de son orbite basse au point A de son orbite géostationnaire définitive. (0,25 point)

5 Le satellite étant arrivé au point A, on augmente à nouveau sa vitesse pour qu’il décrive ensuite son orbite géostationnaire définitive.
Le lancement complet du satellite est alors achevé et le processus &shy permettant de le rendre opérationnel peut débuter.

Expliquer pourquoi il est judicieux de lancer les satellites géostationnaires d’un lieu proche de l’équateur comme Kourou en Guyane. (0,5 point)

Partie 1

11. Appliquez la notion de vitesse pour exploiter les données.

2. Utilisez les graphiques pour en extraire les informations pertinentes pour la résolution.

3. Calculez la quantité de mouvement. Attention, ici la masse n’est pas constante !

5. Appliquez la deuxième loi de Newton, dressez un bilan des forces.

21. à 3. Utilisez l’expression des énergies cinétique, potentielle et mécanique.

4. Calculez le travail d’une force constante.

5. Sachez faire preuve d’objectivité pour commenter les résultats.

Partie 3

1 Appliquez les lois de Kepler.

2. à 5. Étudier le mouvement d’un satellite à partir de la loi de gravitation universelle et des caractéristiques du mouvement circulaire uniforme.