Lancement d’un satellite 
par la fusée Ariane

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Lancement d’un satellite
par la fusée Ariane
 
 

Temps, mouvement et évolution

Corrigé

14

Comprendre

pchT_1200_00_14C

 

Sujet inédit

Exercice • 9 points


 

Le 31 juillet 1973, les ministres chargés des affaires spatiales de dix pays européens décident, pour permettre l’accès de l’Europe à l’espace en toute indépendance, de produire un lanceur de satellites (encore appelé fusée) : ainsi est née la famille Ariane.

Le dernier membre de la famille, Ariane 5, de conception différente des lanceurs précédents, comprend deux éléments (ou composites) principaux, un composite inférieur et un composite supérieur.

Le composite inférieur est constitué de l’étage principal cryogénique (EPC) et de l’étage d’accélération à poudre (EAP) dont chaque propulseur mesure 3 m de diamètre et 31 m de hauteur.

Le composite supérieur comprend une case à équipements (le cerveau du lanceur), un étage à propergol stockable et la coiffe qui abrite le ou les satellites.

La masse M0 d’Ariane 5 au moment du lancement est de 780 t dont près de 90 % est constitué d’ergols consommés par les moteurs. Le rôle d’un moteur fusée est d’éjecter le plus de matière possible à la plus grande vitesse possible : au décollage, les moteurs d’Ariane 5 éjectent chaque seconde 4 000 kg de matière à une vitesse ve, ce qui produit une poussée F0 de 13 000 kN.

1. Décollage

1 Les premières secondes de vol

Le décollage de la fusée a été filmé à 25 images par seconde. Le film a été étudié à l’aide d’un logiciel de pointage. L’étalonnage a été effectué à partir de la hauteur de la fusée, puis le pointage a été réalisé toutes les 5 images au niveau de la coiffe. Grâce aux fonctionnalités du logiciel, à partir des coordonnées, on a obtenu les valeurs de la vitesse au cours du temps.

Vous disposez ci-dessous d’un tableau avec les premières valeurs, des courbes y=f(t) et vy=g(t) (figures 1 et 2).

Tableaux

 

t(s)

y(m)

vy(m · s–1)

0

– 21,952

0

0,2

– 21,89

– 0,095

0,4

– 21,99

0

0,6

– 21,89

0

0,8

– 21,99

0,1575

1

–21,827

2,6225

1,2

–20,941

4,5875

1,4

– 19,992

5,8525

1,6

– 18,6

6,6425

1,8

– 17,335

7,5925

2

– 15,563

9,6475

2,2

– 13,476

10,755

2,4

– 11,261

11,23

2,6

– 8,984

13,6025

2,8

– 5,82

16,1325

3

– 2,531

17,3975

3,2

1,139

18,3475

3,4

4,808

19,6125

3,6

8,984

21,195

3,8

13,286

22,4575

4

17,967

24,04

4,2

22,902

24,8325

4,4

27,9

26,4125

4,6

33,467

28,6275

4,8

39,351

30,21

5

45,551

32,5825

5,2

52,384

34,955

5,4

59,533

37,327

 

 

Figure 1


 

Figure 2

1. Expliquer comment la vitesse a été calculée par le logiciel. Retrouver la valeur pour la date t= 1,6 s. (0,5 point)

2. À l’aide des documents fournis, déterminer la date du décollage tdec. (0,25 point)

3. Calculer les quantités de mouvement de la fusée 2 s après le décollage et 3 s après le décollage, p2 et p3 respectivement. (0,75 point)

4. En déduire la variation de la quantité de mouvement pendant cette même seconde, ΔpΔt. (0,25 point)

5. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer la poussée des moteurs et comparer à la valeur donnée ci-dessus. (0,75 point)

6. La vitesse d’éjection ve des gaz issus de la combustion du pergol est donnée par la relation ve= ΔtΔMF avec ΔMΔt est la variation de masse de la fusée par unité de temps et caractérise la consommation des moteurs.

Vérifier l’unité de ve par analyse dimensionnelle. Calculer la valeur numérique de ve. Cette valeur est-elle conforme à celle indiquée ?

Quel est le signe de ΔtΔM ? En déduire le sens de ve.

Qu’en pensez-vous ?

À l’aide d’une loi connue qu’on énoncera, expliquer pourquoi l’éjection des gaz propulse la fusée vers le haut. (1,25 point)

2 Après 2 minutes 15 : éjection des propulseurs

Après 2 min 15 s de vol, elle atteint la vitesse de v= 240 m · s–1, à l’altitude de z= 60 km et largue les 2 boosters vides.

La fusée Ariane a une masse de 780 t dont 540 t pour les 2 propulseurs à poudre. Elle subit une poussée F= 11 360 kN.

Calculer immédiatement après le largage :

1. l’énergie cinétique de la fusée. (0,25 point)

2. l’énergie potentielle de pesanteur de la fusée (avec g= 10 N · kg–1). (0,25 point)

3. l’énergie mécanique totale de la fusée. (0,25 point)

4. En supposant que la poussée est constante pendant cette première phase, calculer le travail de cette poussée. (0,25 point)

5. Comparer la valeur du travail précédent à celle de l’énergie mécanique totale de la fusée à l’altitude de 60 km. Formuler des hypothèses pouvant expliquer cette différence. (0,5 point)

2. Mise en orbite basse du satellite

Le centre spatial de Kourou a lancé le 21 décembre 2005, avec une fusée Ariane 5, un satellite de météorologie de seconde génération baptisé MSG-2. Tout comme ses prédécesseurs, il est placé sur une orbite géostationnaire à 36 000 km d’altitude. Opérationnel depuis juillet 2006, il porte maintenant le nom de Météosat 9.

Les satellites de seconde génération sont actuellement les plus performants au monde dans le domaine de l’imagerie météorologique. Ils assureront jusqu’en 2018 la fourniture de données météorologiques, climatiques et environnementales.

La mise en orbite complète du satellite MSG-2 de masse m= 2,0 × 103 kg s’accomplit en deux étapes. Dans un premier temps, il est placé sur une orbite circulaire à vitesse constante vS à basse altitude h= 6,0 ×102 km autour de la Terre et il n’est soumis qu’à la force gravitationnelle exercée par la Terre.

On choisit un repère (S, t, n) dans lequel t est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement et n, un vecteur unitaire perpendiculaire à la trajectoire et orienté vers le centre de la Terre.

1 Donner l’expression vectorielle de la force gravitationnelle FT/S exercée par la Terre sur le satellite en fonction des données. (0,25 point)

2 En appliquant une loi de Newton, trouver l’expression du vecteur accélération aSdu centre d’inertie du satellite. (0,25 point)

3 Sans souci d’échelle, représenter sur un schéma, à un instant de date t quelconque, la Terre, le satellite, le repère (S, t, n) ainsi que le vecteur accélération aS. (0,25 point)

4 Déterminer l’expression de la vitesse vS du centre d’inertie du satellite. Vérifier que sa valeur est de l’ordre de 7,6 × 103 m · s–1 sur son orbite basse. (0,75 point)

5 On note T le temps mis par le satellite pour faire un tour autour de la Terre. Comment appelle-t-on cette grandeur ? Montrer qu’elle vérifie la relation T2= 4π2(RT+h)3GMT. (0,5 point)

3. Transfert du satellite en orbite géostationnaire

Une fois le satellite MSG-2 placé sur son orbite circulaire basse, on le fait passer sur une orbite géostationnaire à l’altitude h′ = 3,6  ×104 km. Ce transit s’opère sur une orbite de transfert qui est elliptique. Le schéma de principe est représenté sur la figure 3.

Le périgée P est situé sur l’orbite circulaire basse et l’apogée A est sur l’orbite définitive géostationnaire.

À un moment convenu, lorsque le satellite est au point P de son orbite circulaire basse, on augmente sa vitesse de façon bien précise : il décrit ainsi une orbite elliptique de transfert afin que l’apogée A de l’ellipse soit sur l’orbite géostationnaire définitive. On utilise pour cela un petit réacteur qui émet en P, pendant un très court instant, un jet de gaz donnant au satellite l’impulsion nécessaire.


 

Figure 3

1 Énoncer la deuxième loi de Kepler ou « loi des aires ». (0,25 point)

2 Montrer, en s’aidant éventuellement d’un schéma, que la vitesse du satellite MSG-2 n’est pas constante sur son orbite de transfert. Préciser en quels points de son orbite de transfert sa vitesse est :

  • maximale ; (0,25 point)
  • minimale. (0,25 point)

3 Exprimer la distance AP en fonction de RT, h et h′.
Montrer que AP = 4,9 × 107 m. (0,25 point)

4 Dans le cas de cette orbite elliptique, la durée de révolution pour faire un tour complet de l’orbite vaut T′ = 10 h 42 min.

Déterminer la durée minimale Δt du transfert du satellite MSG-2 du point P de son orbite basse au point A de son orbite géostationnaire définitive. (0,25 point)

5 Le satellite étant arrivé au point A, on augmente à nouveau sa vitesse pour qu’il décrive ensuite son orbite géostationnaire définitive.
Le lancement complet du satellite est alors achevé et le processus ­permettant de le rendre opérationnel peut débuter.

Expliquer pourquoi il est judicieux de lancer les satellites géostationnaires d’un lieu proche de l’équateur comme Kourou en Guyane. (0,5 point)

Partie 1

11. Appliquez la notion de vitesse pour exploiter les données.

2. Utilisez les graphiques pour en extraire les informations pertinentes pour la résolution.

3. Calculez la quantité de mouvement. Attention, ici la masse n’est pas constante !

5. Appliquez la deuxième loi de Newton, dressez un bilan des forces.

21. à 3. Utilisez l’expression des énergies cinétique, potentielle et mécanique.

4. Calculez le travail d’une force constante.

5. Sachez faire preuve d’objectivité pour commenter les résultats.

Partie 3

1 Appliquez les lois de Kepler.

2. à 5. Étudier le mouvement d’un satellite à partir de la loi de gravitation universelle et des caractéristiques du mouvement circulaire uniforme.

Corrigé

1. Décollage

11. La fusée a un mouvement rectiligne ascendant. La vitesse représente les variations de la position y au cours du temps soit v=dydt. Or, pour déterminer la vitesse, on calcule la vitesse moyenne sur un intervalle de temps Δt, soit vi=ΔyΔt=yi+1yi1ti+1ti1.

Pour la date t= 1,6 s, vi=17,33(19,99)1,81,4=6,65m · s–1, ce qui est conforme à la valeur du tableau.

2. Sur le graphe de v(t), on lit que v > 0 à t ≈ 0,8 s, c’est-à-dire à la date de décollage. Ce qui est confirmé par les valeurs du tableau.

3. La fusée voit sa masse varier au cours du décollage d’où l’écriture de la quantité de mouvement p2=M2v2 et p3=M3v3.

« Les moteurs d’Ariane 5 éjectent chaque seconde 4 000 kg de matière ».

Donc 2 s après le décollage correspond à la date t2= 2,8 s.

La masse M2 est alors égale à la masse de la fusée moins celle du carburant consommé pendant les 2 s de propulsion, soit 2 × 4 000 kg.

On a donc M2= 780 – 2 × 4 = 772 t

et v2= 16,1 m · s–1 (vitesse à t= 2,8 s lue dans le tableau).

D’où p2=M2v2= 772 × 103 × 16,1 =12,4 × 106 kg · m · s–1.

À t3= 3,8 s, la masse est M3= 780 – 3 × 4 = 768 t et v3= 22,5 m · s–1.

Donc p3=M3v3= 768 × 103 × 22,4 =17,2 × 106 kg · m · s–1.

4. Entre t2 et t3, pendant une seconde, p varie de
ΔpΔt=(17,2×10612,4×106)1=4,8 × 106 kg · m · s–2.


 

5. La fusée est étudiée dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Elle est soumise à son poids et à la force F de propulsion. Appliquons la deuxième loi de Newton sur l’axe (Oy) orienté vers le haut : F=P+F=ΔpΔt

Sur (Oy), ΣFy=Fy +Py=FP=FMg= ΔpyΔt
donc F= ΔpyΔt + Mg = 4,8 × 106+ 770 × 103 × 10
= 12,5 × 106 N

F= 12 500 kN.

Comparons avec les données :

F= 13 000 kN au décollage, soit un écart de 3,8 % avec la valeur calculée.

6. ve=ΔtΔmF

Analyse dimensionnelle

L’intensité d’une force s’exprime en newton en utilisant les unités S.I. : P =mg

newton = [M].[L].[T]−2

[ve] = [T][M].[M].[L].[T]−2= [L].[T]−1, ces unités sont bien celles d’une vitesse.

Calcul de ve

En Δt= 1 s, la fusée subit une variation de masse |Δm| = 4 000 kg.

ve= 14000×13000×103=3250 m · s–1.

ΔtΔM est négatif puisque ΔM < 0 (perte de masse). Donc ve est orienté vers le bas, dans le sens opposé à F. Ceci est logique, quand les molécules de gaz sont éjectées de la fusée, elles s’éloignent de celle-ci.

D’après la troisième loi de Newton (principe des actions réciproques), les moteurs exercent sur les gaz une force verticale orientée vers le bas, alors les gaz exercent sur la fusée une force verticale orientée vers le haut de même valeur.

21. L’énergie cinétique est Ec= 12Mv2 avec M = 780 – 540 = 240 t et v= 240 m · s–1 donc Ec = 0,5 × 240 × 103 × 2402= 6 900 × 106=6,90 × 109 J.

2. En prenant comme référence des énergies le niveau du sol Ep0= 0, à 60 km d’altitude, l’énergie potentielle de pesanteur de la fusée est :

Ep=Mgy= 240 × 103 × 10 × 60 × 103= 144 000 × 106=1,4 × 1011 J.

3. L’énergie mécanique totale de la fusée est :

E=Ec +Ep= 150 900 × 106=1,5 × 1011 J.

4. W(F)=Fd=F×d=13000×103×60×103=780000×106

= 7,8 × 1011 J.

5. W(F)>> E=Ec +Ep.

La force F a servi à propulser la fusée ainsi que les deux propulseurs jusqu’à 60 km d’altitude.

Les forces de frottement de l’air, opposées au mouvement, dissipent de l’énergie : elles ont un travail résistant qui vient « réduire » l’énergie gagnée par la fusée grâce à F.

2. Mise en orbite basse du satellite

1 FT/S= GmMT(RT+h)2n.


 

2 Appliquons la deuxième loi de Newton au système {satellite} de masse m dans le référentiel géocentrique galiléen, FT/S=m aS.

GmMT(RT+h)2n=m aS soit aS=GMT(RT+h)2n.

3


 

4 Le satellite ayant un mouvement circulaire et uniforme,
aS= vS2(RT+h)n.

L’accélération est radiale et centripète, c’est une accélération normale.

D’où aS= GMT(RT+h)2n= vS2(RT+h)n.

Soit vS2=GMT(RT+h) et vS=GMT(RT+h).

Avec h= 6,0 × 102 km = 6,0 × 105 m = 0,60 × 106 m,

vS= 6,67×1011×6,0×10246,4×106+0,60×106= 6,67×6,0×10137,0×106= 4,0×1087,0

vS= 7,6 × 10–1× 108= 7,6 × 10–1 × 104

vS=7,6 × 103 m · s–1, cette valeur est en accord avec celle proposée.

5T est la période de révolution du satellite autour de la Terre.

La vitesse du satellite s’écrit vS= 2π(RT+h)T,

soit, en élevant au carré, vS2=4π2(RT+h)2T2.

En reportant l’expression de vS2 obtenue à la question précédente, il vient :

GMT(RT+h)= 4π2(RT+h)2T2 soit finalement T2= 4π2(RT+h)2GMT.

3. Transfert du satellite en orbite géostationnaire


 

1 Deuxième loi de Kepler ou « loi des aires » : le rayon vecteur TS balaye des aires égales pendant des durées égales.

2 Ainsi, pendant la même durée Δt, les aires A1 et A2 sont égales mais les distances parcourues par le satellite L1 et L2 sont différentes : L1>L2.

Les vitesses moyennes en A et P peuvent s’écrire :

vA= L2Δt et vP= L1Δt. On a alors vPvA=L1L2.

Or, comme L1>L2, vP>vA.

La vitesse du satellite n’est pas constante sur l’orbite de transfert.

Elle est maximale au périgée P et minimale à l’apogée A.

3 AP = 2RT+h +h′ (voir schéma ci-dessus)

AP = 2 × 6,4 × 106+ 6,0 × 105+ 3,6 × 107
= 12,8 × 106+ 6,0 × 105+ 3,6 × 107
= 1,28 × 107+ 0,060 × 107+ 3,6 × 107

AP = 4,9 × 107 m.

4 La durée de transfert entre A et P est égale à une demie période : Δt= T2= 5 h 21 min.

5 Le satellite est géostationnaire : sa trajectoire est donc située dans un plan contenant l’équateur terrestre.

Le fait de lancer la fusée d’un lieu proche de l’équateur permet :

  • d’éviter de consommer du carburant pour ramener le satellite dont l’orbite ne serait pas contenue dans le plan de l’équateur terrestre ;
  • de bénéficier de la vitesse de rotation propre de la Terre, au départ de la fusée, qui est maximale à l’équateur.