Annale corrigée Exercice Ancien programme

Le capteur de foudre

France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 3 • 5 points • 55 min

Le capteur de foudre

Les thèmes clés

Nombres complexes • Probabilités • Loi normale

 

Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d'incendie.

Le but de l'exercice est d'étudier les impacts de foudre détectés par un capteur.

L'écran radar, sur lequel les points d'impact de foudre sont observés, a l'allure suivante :

matT_1706_07_01C_03

Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l'écran, cinq cercles concentriques correspondant aux rayons respectifs 20, 40, 60, 80 et 100 kilomètres délimitent dans l'ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, définies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique de A à H.

L'écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et un nombre entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la figure est situé dans le secteur B3.

On assimile l'écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé (Ou,v) de la manière suivante :

l'origine O marque la position du capteur 

l'axe des abscisses est orienté d'ouest en est 

l'axe des ordonnées est orienté du sud au nord 

l'unité choisie est le kilomètre.

Dans la suite, un point de l'écran radar est associé à un point d'affixe z.

Partie A

1. On note zP l'affixe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précédent. On appelle r le module de zP et θ son argument dans l'intervalle ]– π  π].

Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un encadrement correct pour r et pour θ (aucune justification n'est demandée).

Proposition A

Proposition B

Proposition C

Proposition D

40 r 60

et

0θπ4

20 r 40

et

π2θ3π4

40 r 60

et

π4θπ2

0 r 60

et

π2θπ4

2. Un impact de foudre est matérialisé sur l'écran en un point d'affixe z. Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient :

a) z = 70 eiπ3 

b) z = − 453+ 45i.

Partie B

On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point P d'affixe 50eiπ3.

En raison d'imprécisions de mesures, le point d'impact affiché ne donne qu'une indication approximative du point d'impact réel de la foudre.

Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d'impact P d'affixe 50eiπ3, l'affixe z du point d'impact réel de la foudre admet :

un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire M suivant une loi normale d'espérance μ = 50 et d'écart type σ =

un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi normale d'espérance π3 et d'écart type π12.

On suppose que les variables aléatoires M et T sont indépendantes, c'est-à-dire que quels que soient les intervalles I et J, les événements (M  I) et (T J) sont indépendants.

Dans la suite, les probabilités seront arrondies à 10−3 près.

1. Calculer la probabilité P(M 0) et interpréter le résultat obtenu.

2. Calculer la probabilité P(M ]40  60[).

3. On admet que P(T]π4π2[)=0,819.

En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation.

Les clés du sujet

Partie A

2. b) Écrivez le nombre complexe z sous forme exponentielle.

Partie B

3. Traduisez la probabilité énoncée à l'aide des variables aléatoires M et T. Concluez en utilisant l'indépendance de ces deux variables aléatoires.

Corrigé

partie a

1. Choisir la proposition exacte  E18c • E19a 

à noter

La proposition B n'est pas correcte.

P est situé dans la zone numérotée 3. Sa distance au point O, autrement dit r=|zP|, est comprise entre 40 et 60 : 40 r 60.

P est situé dans la portion B. Or, par construction, chaque portion a la même ouverture angulaire à savoir un huitième de 360° soit 45°. La portion B étant la deuxième portion nommée dans le sens trigonométrique, la mesure de l'angle θ (en degrés) est comprise entre 45° et 90°.

remarque

θ est l'argument de zP dans ]– ππ].

45° correspondant à π4 radians et 90° correspondant à π2 radians, la mesure de l'angle θ est comprise entre π4 et π2. Seule, la proposition C est exacte.

2. a) Identifier une partie du plan  E19a • E21b • C4 

Le module de z=70eiπ3 est 70. Comme 60 70 80, le point d'affixe z est dans la zone 4.

Un argument de z est π3. Comme π3+2π=5π3, que 5π3 radians correspondent à 5×1803=300 degrés et que 6 × 45 300 7 × 45, le point d'affixe z est dans la portion G.

Le point d'affixe z=70eiπ3 est ainsi dans le secteur G4.

b) Identifier une partie du plan  E18c • E21b • C4 

à noter

cosθz=32 et sinθz=12 : θz=π6[2π].

Le module du nombre complexe z est :

|z|=|453+45i|=45(3)2+12=454=90.

Le nombre complexe z étant non nul, un argument θ de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que :

cosθ=Re(z)|z|=45390=32etsinθ=Im(z)|z|=4590=12.

D'après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que 5π6 est un argument de z. Le nombre complexe z s'écrit ainsi 90ei5π6 (forme exponentielle).

Le module de z est 90. Comme 80 90 100, le point d'affixe z est dans la zone 5.

Un argument de z est 5π6 qui appartient à l'intervalle ]ππ]. Comme 5π6 radians correspondent à 5×1806=150 degrés et que 3 × 45 150 4 × 45, le point d'affixe z est dans la partie D.

Le point d'affixe z=453+45i est donc dans le secteur D5.

partie b

1. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale  E18c • E40e • C3 

On a P(M0)=symétriede la densité0,5P(0M50)calculatrice0.

L'événement {M0} serait un événement impossible : un module ne pourrait prendre, selon le modèle, des valeurs strictement négatives. Interprétation somme toute logique d'après la définition du module d'un nombre complexe.

2. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale  E40a • E40e • C3 

attention

Contrôlez la cohérence de vos résultats : P(40M60)=P(502×5M50+2×5)=P(μ2σMμ+2σ)0,95.

M étant une variable aléatoire continue, on a :

P(M]4060[)=P(40M60)=P(40M60)0,954..

La probabilité P(M]4060[) vaut environ 0,954.

3. Prendre une initiative  E36 

La probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 s'écrit à l'aide des variables aléatoires M et T de la manière suivante :

P((40M60)zone 3et(π4θπ2)portionB).

Or, on a :

P((40M60)(π4θπ2))=P(40M60)×P(π4θπ2)(indépendance)0,954×0,819(questionB2.)0,781.

La probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation vaut environ 0,781.

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