Vrai/faux sur tout le programme

matT_1606_13_04C

Ens. spécifique

Polynésie française • Juin 2016

Exercice 4 • 5 points • ⏱ 1 h

Le cinq en un !

Les thèmes clés

Nombres complexes • Géométrie dans l'espace • Intégration

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

▶ 1. Proposition 1. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, les points A, B et C d'affixes respectives zA = $\sqrt{2}$ + 3i, zB = 1 + i et zC = – 4i ne sont pas alignés.

▶ 2. Proposition 2. Il n'existe pas d'entier naturel n non nul tel que (i(1 + i))2n soit un réel strictement positif.

▶ 3. ABCDEFGH est un cube de côté 1.

matT_1606_13_00C_03

Le point L est tel que $\vec{EL} = \frac{1}{3} \vec{EF}$

Proposition 3. La section du cube par le plan (BDL) est un triangle.

Proposition 4. Le triangle DBL est rectangle en B.

▶ 4. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [2 5] et dont on connaît le tableau de variations donné ci-dessous :

matT_1606_13_00C_tab_01

Proposition 5. L'intégrale $\int_{2}^{5} f (x) d x$ est comprise entre 1,5 et 6.

Les clés du sujet

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Nombres complexes E16 • E18a • E19a • E19b • E19d • E21• C4 → Propositions 1. et 2.

Positions relatives E24a • E24c → Proposition 3.

Orthogonalité E31c • E32a • E32b → Proposition 4.

Intégrale E14 → Proposition 5.

Nos coups de pouce

▶ Proposition 1. Déterminez les coordonnées des points A, B et C à partir de leurs affixes. Calculez les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ . Concluez.

▶ Proposition 2. Écrivez le nombre complexe $i (1 + i)$ sous forme exponentielle. Démontrez ensuite que ${(i (1 + i))}^{2 n} = 2^{n} \times {(- i)}^{n}$ .

▶ Proposition 4. Déterminez les coordonnées des vecteurs $\vec{BD}$ et $\vec{BL}$ dans le repère orthonormé $(B \vec{BC}, \vec{BA}, \vec{BF})$ . Calculez leur produit scalaire et concluez.

Corrigé

▶ 1. Étudier l'alignement de points

$z_{A} = \sqrt{2} + 3 i$ est l'affixe du point A de coordonnées $(\sqrt{2} 3)$ .

$z_{B} = 1 + i = 1 + 1 \times i$ est l'affixe du point B de coordonnées $(1 1)$ .

$z_{C} = - 4 i = 0 - 4 \times i$ est l'affixe du point C de coordonnées $(0 - 4)$ .

Il s'ensuit $\vec{AB} (\begin{array}{l} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{array}) = (\begin{matrix} 1 - \sqrt{2} \\ 1 - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 - \sqrt{2} \\ - 2 \end{matrix})$ et $\vec{AC} (\begin{array}{l} x_{C} - x_{A} \\ y_{C} - y_{A} \end{array}) = (\begin{array}{l} 0 - \sqrt{2} \\ - 4 - 3 \end{array}) = (\begin{matrix} - \sqrt{2} \\ - 7 \end{matrix})$ .

Les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ n'étant pas proportionnelles, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont pas alignés.

La proposition 1 est vraie.

Autre méthode

$z_{\vec{AB}} = z_{B} - z_{A} = 1 + i - (\sqrt{2} + 3 i) = (1 - \sqrt{2}) - 2 i$ et $z_{\vec{AC}} = z_{C} - z_{A} = - 4 i - (\sqrt{2} + 3 i) = - \sqrt{2} - 7 i$ .

Les affixes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ n'étant pas proportionnelles, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont pas alignés. La proposition 1 est vraie.

▶ 2. Déterminer un entier sous contrainte

Posons $a = i (1 + i)$ . En développant, nous avons $a = i + i^{2} = i - 1 = - 1 + i$ .

gagnez des points !

Vérifiez vos résultats à l'aide de la calculatrice.

Le module du nombre complexe $a$ est $| a | = | - 1 + i | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ . Le nombre complexe $a$ étant non nul, un argument $θ$ de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que :

$\cos θ = \frac{Re (a)}{| a |} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} et \sin θ = \frac{Im (a)}{| a |} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

D'après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que $\frac{3 π}{4}$ est un argument de $a .$

Ainsi, nous avons $i (1 + i) = \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$ .

Intéressons-nous désormais au nombre complexe ${(i (1 + i))}^{2 n}$ , $n$ désignant un entier naturel non nul. Par le point précédent, nous avons :

${(i (1 + i))}^{2 n} = {(\sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}})}^{2 n} = {(\sqrt{2})}^{2 n} \times {(e^{i \frac{3 π}{4}})}^{2 n}$ .

notez bien

Pour tout nombre complexe $z,$ pour tous entiers naturels $m$ et $p,$ $z^{m \times p} = {(z^{m})}^{p} .$

Or, ${(\sqrt{2})}^{2 n} = {({(\sqrt{2})}^{2})}^{n} = 2^{n}$ et ${(e^{i \frac{3 π}{4}})}^{2 n} = {({(e^{i \frac{3 π}{4}})}^{2})}^{n} = {(e^{i \frac{3 π}{4} \times 2})}^{n} = {(e^{i \frac{3 π}{2}})}^{n}$ .

notez bien

$\cos (\frac{3 π}{2}) = 0$ $\sin (\frac{3 π}{2}) = - 1$ .

Mais, $e^{i \frac{3 π}{2}} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}) = 0 + i \times (- 1) = - i$ . Par suite, ${(i (1 + i))}^{2 n} = 2^{n} \times {(- i)}^{n}$ .

Or, pour $n = 4,$ nous avons ${(i (1 + i))}^{8} = 2^{4} \times {(- i)}^{4} = 16 \times 1 = 16$ . Il existe alors un entier non nul $n$ $(n = 4)$ tel que ${(i (1 + i))}^{2 n}$ soit un réel strictement positif $(16 > 0) .$ La proposition 2 est fausse.

▶ 3. Étudier la nature d'un polygone

Proposition 3

notez bien

L'intersection de deux plans sécants est une droite.

Les points B et D appartiennent clairement au plan (BDL) mais aussi au plan (ABC). Comme le point L n'appartient pas au plan (ABC), les plans (BDL) et (ABC) sont sécants : la droite (BD) est leur intersection. Par suite, le plan (BDL) et la face ABCD sont sécants : leur intersection est le segment [BD].

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Similairement au point précédent, les points B et L appartiennent aux plans (BDL) et (ABF). Comme le point D n'appartient pas au plan (ABF), le plan (BDL) et la face ABFE sont alors sécants : leur intersection est le segment [BL].

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notez bien

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.

Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (BDL) coupe le plan (ABC) suivant la droite (BD). Alors, le plan (BDL) coupe le plan (EFG) suivant une droite qui est parallèle à la droite (BD). Comme le point L appartient aux plans (EFG) et (BDL), cette droite passe alors par L. L'intersection des plans (EFG) et (BDL) est donc la parallèle à la droite (BD) passant par L. Cette droite coupe le segment [EH] en un point que nous noterons M. Le plan (BDL) et la face EFGH sont alors sécants : leur intersection est le segment [LM].

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Les points M et D appartiennent aux plans (BDL) et (ADH). Comme le point L n'appartient pas au plan (ADH), les plans (BDL) et (ADH) sont alors sécants : la droite (MD) est leur intersection. Le plan (BDL) et la face ADHE sont sécants : leur intersection est le segment [MD].

La proposition 3 est fausse.

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Proposition 4

Considérons le repère orthonormé $(B \vec{BC}, \vec{BA}, \vec{BF})$

Par la relation de Chasles, nous avons $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$ . Comme ABCDEFGH est un cube, il s'ensuit que : $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{BA} = 1 \times \vec{BC} + 1 \times \vec{BA} + 0 \times \vec{BF}$ .

Le vecteur $\vec{BD}$ a alors pour coordonnées $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) .$

Par la relation de Chasles, nous avons $\vec{BL} = \vec{BF} + \vec{FL}$ . Comme, d'après l'énoncé, $\vec{EL} = \frac{1}{3} \vec{EF}$ qui est équivalent à $\vec{LF} = \frac{2}{3} \vec{EF}$ et que ABCDEFGH est un cube, il s'ensuit que :

$\vec{BL} = \vec{BF} - \vec{LF} = \vec{BF} - \frac{2}{3} \vec{EF} = \vec{BF} + \frac{2}{3} \vec{FE} = 0 \times \vec{BC} + \frac{2}{3} \times \vec{BA} + 1 \times \vec{BF}$ .

Le vecteur $\vec{BL}$ a alors pour coordonnées $(\begin{matrix} 0 \\ \frac{2}{3} \\ 1 \end{matrix}) .$

Comme $\vec{BD} \cdot \vec{BL} = 1 \times 0 + 1 \times \frac{2}{3} + 0 \times 1 = \frac{2}{3} \neq 0$ alors les vecteurs $\vec{BD}$ et $\vec{BL}$ ne sont pas orthogonaux. Les droites (BD) et (BL) dont le point commun est B, ne sont alors pas perpendiculaires. Le triangle DBL n'est pas rectangle en B. La proposition 4 est fausse.

▶ 4. Proposer un contre-exemple

Une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[2 5]$ dont le tableau de variations serait celui donné dans l'énoncé, est naturellement continue sur cet intervalle mais aussi positive (pour tout $x \in [2 5]$ , $f (x) \geq f (3) = 0$ ). Par suite, l'intégrale $\int_{2}^{5} f (x) d x$ est l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan délimité dans un repère orthogonal par $C_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f,$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 5 .$

Considérons $f$ la fonction affine définie par morceaux sur l'intervalle $[2 5]$ dont la courbe représentative est donnée ci-après :

matT_1606_13_00C_10

Les points en bleu ont respectivement pour coordonnées $(2,1 0,1)$ puis $(3,9 0,1)$ et enfin $(4,9 1,1) .$

Cette fonction affine par morceaux admet bien pour tableau de variations le tableau donné dans l'énoncé. Mais, par la relation de Chasles, nous avons :

$\begin{matrix} \int_{2}^{5} f (x) d x = \int_{2}^{2,1} f (x) d x + \int_{2,1}^{3} f (x) d x \\ + \int_{3}^{3,9} f (x) d x + \int_{3,9}^{4} f (x) d x + \int_{4}^{4,9} f (x) d x + \int_{4,9}^{5} f (x) d x . \end{matrix}$

notez bien

$Aire (triangle) = \frac{Base \times hauteur}{2}$ et $Aire (trapèze) = \frac{Base + base}{2} \times hauteur$

En utilisant les formules d'aires de figures usuelles, nous en déduisons que :

$\int_{2}^{2,1} f (x) d x = \frac{3 + 0,1}{2} \times 0,1 = 0,155$

$\int_{2,1}^{3} f (x) d x = \frac{0,9 \times 0,1}{2} = 0,045$

$\int_{3}^{3,9} f (x) d x = \frac{0,9 \times 0,1}{2} = 0,045$ $\int_{3,9}^{4} f (x) d x = \frac{1 + 0,1}{2} \times 0,1 = 0,055$

$\int_{4}^{4,9} f (x) d x = \frac{1,1 + 1}{2} \times 0,9 = 0,945$ et $\int_{4,9}^{5} f (x) d x = \frac{2 + 1,1}{2} \times 0,1 = 0,155$ .

Et par suite, $\int_{2}^{5} f (x) d x = 1,4 (u.a.)$ . La proposition 5 est fausse.

Le cinq en un !

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▶ 2. Déterminer un entier sous contrainte

▶ 3. Étudier la nature d'un polygone

▶ 4. Proposer un contre-exemple

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