Vrai/faux sur tout le programme
matT_1606_13_04C
Ens. spécifique
39
Polynésie française • Juin 2016
Exercice 4 • 5 points • ⏱ 1 h
Le cinq en un !
Les thèmes clés
Nombres complexes • Géométrie dans l'espace • Intégration
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
▶ 1. Proposition 1. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, les points A, B et C d'affixes respectives zA = + 3i, zB = 1 + i et zC = – 4i ne sont pas alignés.
▶ 2. Proposition 2. Il n'existe pas d'entier naturel n non nul tel que (i(1 + i))2n soit un réel strictement positif.
▶ 3. ABCDEFGH est un cube de côté 1.
Le point L est tel que
Proposition 3. La section du cube par le plan (BDL) est un triangle.
Proposition 4. Le triangle DBL est rectangle en B.
▶ 4. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [2 5] et dont on connaît le tableau de variations donné ci-dessous :
Proposition 5. L'intégrale est comprise entre 1,5 et 6.
Les clés du sujet
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Nombres complexes E16 • E18a • E19a • E19b • E19d • E21• C4 → Propositions 1. et 2.
Positions relatives E24a • E24c → Proposition 3.
Orthogonalité E31c • E32a • E32b → Proposition 4.
Intégrale E14 → Proposition 5.
Nos coups de pouce
▶ Proposition 1. Déterminez les coordonnées des points A, B et C à partir de leurs affixes. Calculez les coordonnées des vecteurs et . Concluez.
▶ Proposition 2. Écrivez le nombre complexe sous forme exponentielle. Démontrez ensuite que .
▶ Proposition 4. Déterminez les coordonnées des vecteurs et dans le repère orthonormé . Calculez leur produit scalaire et concluez.
Corrigé
▶ 1. Étudier l'alignement de points
est l'affixe du point A de coordonnées .
est l'affixe du point B de coordonnées .
est l'affixe du point C de coordonnées .
Il s'ensuit et .
Les coordonnées des vecteurs et n'étant pas proportionnelles, les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont pas alignés.
La proposition 1 est vraie.
Autre méthode
et .
Les affixes des vecteurs et n'étant pas proportionnelles, les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont pas alignés. La proposition 1 est vraie.
▶ 2. Déterminer un entier sous contrainte
Posons . En développant, nous avons .
gagnez des points !
Vérifiez vos résultats à l'aide de la calculatrice.
Le module du nombre complexe est . Le nombre complexe étant non nul, un argument de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que :
D'après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que est un argument de
Ainsi, nous avons .
Intéressons-nous désormais au nombre complexe , désignant un entier naturel non nul. Par le point précédent, nous avons :
.
notez bien
Pour tout nombre complexe pour tous entiers naturels et
Or, et .
notez bien
.
Mais, . Par suite, .
Or, pour nous avons . Il existe alors un entier non nul tel que soit un réel strictement positif La proposition 2 est fausse.
▶ 3. Étudier la nature d'un polygone
Proposition 3
notez bien
L'intersection de deux plans sécants est une droite.
Les points B et D appartiennent clairement au plan (BDL) mais aussi au plan (ABC). Comme le point L n'appartient pas au plan (ABC), les plans (BDL) et (ABC) sont sécants : la droite (BD) est leur intersection. Par suite, le plan (BDL) et la face ABCD sont sécants : leur intersection est le segment [BD].
Similairement au point précédent, les points B et L appartiennent aux plans (BDL) et (ABF). Comme le point D n'appartient pas au plan (ABF), le plan (BDL) et la face ABFE sont alors sécants : leur intersection est le segment [BL].
notez bien
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (BDL) coupe le plan (ABC) suivant la droite (BD). Alors, le plan (BDL) coupe le plan (EFG) suivant une droite qui est parallèle à la droite (BD). Comme le point L appartient aux plans (EFG) et (BDL), cette droite passe alors par L. L'intersection des plans (EFG) et (BDL) est donc la parallèle à la droite (BD) passant par L. Cette droite coupe le segment [EH] en un point que nous noterons M. Le plan (BDL) et la face EFGH sont alors sécants : leur intersection est le segment [LM].
Les points M et D appartiennent aux plans (BDL) et (ADH). Comme le point L n'appartient pas au plan (ADH), les plans (BDL) et (ADH) sont alors sécants : la droite (MD) est leur intersection. Le plan (BDL) et la face ADHE sont sécants : leur intersection est le segment [MD].
La proposition 3 est fausse.
Proposition 4
Considérons le repère orthonormé
Par la relation de Chasles, nous avons . Comme ABCDEFGH est un cube, il s'ensuit que : .
Le vecteur a alors pour coordonnées
Par la relation de Chasles, nous avons . Comme, d'après l'énoncé, qui est équivalent à et que ABCDEFGH est un cube, il s'ensuit que :
.
Le vecteur a alors pour coordonnées
Comme alors les vecteurs et ne sont pas orthogonaux. Les droites (BD) et (BL) dont le point commun est B, ne sont alors pas perpendiculaires. Le triangle DBL n'est pas rectangle en B. La proposition 4 est fausse.
▶ 4. Proposer un contre-exemple
Une fonction définie sur l'intervalle dont le tableau de variations serait celui donné dans l'énoncé, est naturellement continue sur cet intervalle mais aussi positive (pour tout , ). Par suite, l'intégrale est l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan délimité dans un repère orthogonal par la courbe représentative de la fonction l'axe des abscisses et les droites d'équations et
Considérons la fonction affine définie par morceaux sur l'intervalle dont la courbe représentative est donnée ci-après :
Les points en bleu ont respectivement pour coordonnées puis et enfin
Cette fonction affine par morceaux admet bien pour tableau de variations le tableau donné dans l'énoncé. Mais, par la relation de Chasles, nous avons :
notez bien
et
En utilisant les formules d'aires de figures usuelles, nous en déduisons que :
et .
Et par suite, . La proposition 5 est fausse.