Troisième Mathématiques Représenter l'espace

S’entraîner

Représenter l’espace

mat3_2106_07_05C

France métropolitaine • Juin 2021

Le composteur

Exercice 5

20 min

20 points

La production annuelle de déchets par Français était de 5,2 tonnes par habitant en 2007. Entre 2007 et 2017, elle a diminué de 6,5 %.

▶ 1. De combien de tonnes la production annuelle de déchets par Français en 2017 a-t-elle diminué par rapport à l’année 2007 ?

▶ 2. Pour continuer à diminuer leur production de déchets, de nombreuses familles utilisent désormais un composteur.

Une de ces familles a choisi le modèle ci-dessous, composé d’un pavé droit et d’un prisme droit (la figure du composteur n’est pas à l’échelle). Le descriptif indique qu’il a une contenance d’environ 0,5 m³. On souhaite vérifier cette information.

mat3_2106_07_00C_03bis

a) Dans le trapèze ABCD, calculer la longueur CH.

b) Montrer que la longueur DH est égale à 45 cm.

c) Vérifier que l’aire du trapèze ABCD est de 2 385 cm².

d) Calculer le volume du composteur.

L’affirmation « il a une contenance d’environ 0,5 m³ » est-elle vraie ? Justifier.

Rappels :

Aire du trapèze = $\frac{(petit côté + grand côté) \times hauteur}{2}$

Volume du prisme droit = aire de la base × hauteur

Volume du pavé droit = longueur × largeur × hauteur

Les clés du sujet

L’intérêt du sujet

À travers un problème de développement durable, tu vas retravailler le théorème de Pythagore, les formules d’aires et de volumes, ainsi que les pourcentages.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Appliquer un pourcentage; Multiplie le pourcentage par la valeur initiale.; Ligne 2 : ▶ 2. a) Calculer une longueur; Remarque que ABHD est un rectangle.; Ligne 3 : b) Utiliser un théorème de géométrie; Utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle CDH.; Ligne 4 : c) Appliquer une formule d’aire; Remplace, dans la formule rappelée, les côtés par les valeurs de l’énoncé.; Ligne 5 : d) Calculer un volume et convertir; Calcule d’abord les volumes du prisme droit et du pavé droit.Convertis enfin le volume total en m3 et conclus.;

▶ 1. $5,2 \times \frac{6,5}{100} = 0,338$

La production annuelle de déchets a diminué de 0,338 t en 2017 par rapport à 2007.

▶ 2. a) DABH a trois angles droits, c’est donc un rectangle et HB = DA = 39 cm.

Les points C, H et B sont alignés donc :

CH = CB – HB

CH = 67 – 39

CH = 28 cm.

b) CDH est rectangle en H donc, d’après le théorème de Pythagore, on a :

CD² = CH² + HD²

53² = 28² + HD²

2 809 = 784 + HD²

HD² = 2 809 – 784 = 2 025

Donc : HD = $\sqrt[]{2 025}$ = 45 cm.

rappel

Dans la formule de Pythagore, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

c) Aire du trapèze $\begin{array}{l} = \frac{(petit côté + grand côté) \times hauteur}{2} \\ = \frac{(39 + 67) \times 45}{2} = 2 385 {cm}^{2} . \end{array}$

d) Volume du pavé droit = L × l × h = 70 × 67 × (110 – 45) = 304 850 cm³.

attention !

Pense à convertir 1,10 m en centimètres.

Volume du prisme droit

= aire de la base × hauteur

= 2 385 × 70 = 166 950 cm³.

Par somme on trouve :

Volume du composteur = 304 850 + 166 950 = 471 800 cm³= 0,471 800 m³ ≈ 0,5 m³.