Le dé tétraédrique

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Le dé tétraédrique

Probabilités et statistiques • Fluctuation. Estimation

Corrigé

39

Ens. spécifique

matT_1200_00_17C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

On considère un dé tétraédrique supposé équilibré : chaque lancer de ce dé donne comme résultat 1, 2, 3 ou 4 ; ces quatre résultats sont supposés équiprobables.

On lance ce dé 100 fois de suite en notant à chaque fois le résultat obtenu ; on considère que les lancers successifs sont indépendants les uns des autres.

>1. On définit la variable aléatoire X égale au nombre d’apparitions du « 1 ». Quelle est la loi suivie par la variable X ? Déterminer son espérance. (1 point)

>2.a) Déterminer, à l’aide de la loi binomiale, un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence d’apparition du « 1 » lors de 100 lancers successifs de ce dé. (1 point)

b) Lors d’une série de 100 lancers, on a obtenu 30 fois « 1 ». Énoncer la règle de décision. L’observation est-elle compatible avec le modèle ? (1 point)

>3. Reprendre la question précédente avec l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. (1 point)

Durée conseillée : 35 min.

Les thèmes en jeu

Loi de probabilité • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

>  1. Il s’agit d’un schéma de Bernoulli. X suit une loi binomiale.

>  2. a) Utilisez la méthode vue en première.

b) La décision à prendre est de rejeter ou de ne pas rejeter le modèle ; il s’agit de savoir si l’écart entre la proportion réelle (ou supposée) et la fréquence observée peut être attribué à la seule fluctuation d’échantillonnage. Pour cela, on regarde si la fréquence observée appartient à un intervalle de fluctuation ; il existe plusieurs intervalles de fluctuation.

Corrigé

>1. Loi suivie par X et espérance de X

Notez bien

Un dé tétraédrique possède quatre faces. Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.

Il y a répétition de 100 expériences identiques et indépendantes, il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli ; on appelle « succès » l’événement « on obtient 1 », la probabilité de succès est car le dé est supposé équilibré.

Donc X suit la loi binomiale de paramètres 100 et 0,25, notée .

Son espérance est E(X) =.

>2.a) Détermination d’un intervalle de fluctuation

Pour déterminer, à l’aide de la loi binomiale, un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence d’apparition du « 1 », on cherche le plus petit entier tel que et le plus petit entier tel que .

On utilise une calculatrice ou un logiciel pour obtenir les valeurs de , entier compris entre 0 et 100.

Avec un tableur :


13


0,00245782



30


0,89621276


14


0,00542076



31


0,93065111


15


0,01108327



32


0,95540367


16


0,02111062



33


0,97240544


17


0,03762626



34


0,98357326


18


0,6301142



35


0,99059303


19


0,09953041



36


0,9948179


20


0,14883105



37


0,99725386


21


0,21143504



38


0,99860004