Troisième Mathématiques Utiliser la géométrie plane pour démontrer

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Utiliser la géométrie plane pour démontrer

mat3_1907_07_04C

France métropolitaine • Juillet 2019

Le décor de la pièce de théâtre

Exercice 2

15 min

19 points

Dans cet exercice, on donnera, si nécessaire, une valeur approchée des résultats au centième près.

Pour construire le décor d'une pièce de théâtre (figure 1), Joanna dispose d'une plaque rectangulaire ABCD de 4 m sur 2 m dans laquelle elle doit découper les trois triangles du décor avant de les superposer. Elle propose un découpage de la plaque (figure 2).

mat3_1906_07_00C_01

Le triangle ADM respecte les conditions suivantes :

le triangle ADM est rectangle en A ;

AD = 2 m ;

$\hat{ADM}$ = 60°.

▶ 1. Montrer que [AM] mesure environ 3,46 m.

▶ 2. La partie de la plaque non utilisée est représentée en quadrillé sur la figure 2. Calculer une valeur approchée au centième de la proportion de la plaque qui n'est pas utilisée.

▶ 3. Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, Joanna veut que les trois triangles AMD, PNM et PDN soient semblables. Démontrer que c'est bien le cas.

▶ 4. Joanna aimerait que le coefficient d'agrandissement pour passer du triangle PDN au triangle AMD soit plus petit que 1,5. Est-ce le cas ? Justifier.

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

Dans cet exercice de construction de décor, tu vas travailler la trigonométrie et le thème des triangles semblables.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 4 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Utiliser une formule de trigonométrie; Dans le triangle AMD, repère quel côté est connu et quel côté est recherché.Déduis-en la bonne formule de trigonométrie à appliquer à l'angle ADM^.; Ligne 2 : ▶ 2. Calculer une proportion; Calcule la division de l'aire non utilisée par l'aire totale.; Ligne 3 : ▶ 3. Reconnaître deux triangles semblables; Deux triangles sont semblables si, en particulier, ils ont deux angles égaux.; Ligne 4 : ▶ 4. Calculer un coefficient d'agrandissement; Un coefficient d'agrandissement se calcule par division de deux longueurs qui se correspondent dans des triangles semblables.;

▶ 1. ADM est rectangle en A.

$\tan (\hat{D}) = \frac{côté opposé à l'angle \hat{D}}{côté adjacent à l'angle \hat{D}} = \frac{AM}{AD}$

Donc tan(60°) = $\frac{AM}{2}$

et AM = 2 × tan(60°) ≈ $3,46 m$ .

▶ 2. Aire(BMNC) = BM × BC = (4 – 3,46) × 2 = 1,08 m²

Aire(ABCD) = AB × BC = 4 × 2 = 8 m²

Donc la proportion de plaque non utilisée est : $\frac{1,08}{8} \approx 0,14$ .

▶ 3. • Dans les triangles ADM et MPN :

$\hat{DAM} = \hat{MPN}$ car ce sont des angles droits ;

$\hat{ADM} = \hat{PMN}$ car les deux angles sont alternes-internes.

Les triangles ADM et MPN ont deux angles égaux, ils sont donc semblables.

Dans les triangles ADM et PDN :

$\hat{DAM} = \hat{NPD}$ car ce sont des angles droits ;

$\hat{PDN}$ = 90° – 60° = 30° et par la somme des mesures des angles d'un triangle, $\hat{AMD} = 30 °$ .

Donc les deux angles $\hat{PDN}$ et $\hat{AMD}$ sont égaux.

Les triangles ADM et PND ont deux angles égaux, ils sont donc semblables.

à noter

Une proportion est la division de deux mêmes grandeurs.

▶ 4. ADM est rectangle en A.

$\cos (\hat{D}) = \frac{côté adjacent à l'angle \hat{D}}{hypoténuse} = \frac{AD}{DM}$

donc cos(60°) = $\frac{2}{DM}$

donc DM = $\frac{2}{\cos (60 °)} = 4 m$ .

Or DN = 3,46 m

donc $\frac{DM}{DN} = \frac{4}{3,46}$ ≈ 1,15 1,5.

Le coefficient d'agrandissement convient.

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