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Le fameux acronyme TRPI

France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Le fameux acronyme TRPI

Les thèmes clés

Arithmétique • Matrices

 

On appelle « triangle rectangle presque isocèle », en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs x et x + 1, et dont l'hypoténuse a pour longueur y, où x et y sont des entiers naturels.

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Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l'angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l'hypoténuse est un nombre entier.

Si le triangle de côtés x, x + 1 et y, où y est la longueur de l'hypoténuse, est un TRPI, on dira que le couple (x  y) définit un TRPI.

Partie A

1. Démontrer que le couple d'entiers naturels (x  y) définit un TRPI si et seulement si on a :

y= 2x2 + 2x + 1.

2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3  5).

3. a) Soit n un entier naturel. Montrer que si n2 est impair alors n est impair.

b) Montrer que dans un couple d'entiers (x  y) définissant un TRPI, le nombre y est nécessairement impair.

4. Montrer que si le couple d'entiers naturels (x  y) définit un TRPI, alors x et y sont premiers entre eux.

Partie B

On note A la matrice carrée A=(3243), et B la matrice colonne B=(12).

Soient x et y deux entiers naturels  on définit les entiers naturels x et y par la relation :

(xy)=A(xy)+B.

1. Exprimer x et y en fonction de x et y.

2. a) Montrer que y22x(x+1)=y22x(x+1).

b) En déduire que si le couple (x  y) définit un TRPI, alors le couple (x  y) définit également un TRPI.

3. On considère les suites (xn)n et (yn)n d'entiers naturels, définies par x0 = 3, y0 = 5 et pour tout entier naturel n :

(xn+1yn+1)=A(xnyn)+B.

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, le couple (xn  yn) définit un TRPI.

4. Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2017.

Les clés du sujet

Partie A

1. Démontrez l'équivalence à l'aide d'une double implication.

2. Faites un tableau avec les valeurs successives de l'entier naturel x en partant de 0 pour prouver le résultat demandé.

3. a) Faites un raisonnement par contraposée.

4. Exploitez le résultat de la première question et montrez que le PGCD de x et y divise 1.

Partie B

4. Faites un tableau avec les valeurs successives de xn et yn obtenues à la calculatrice en exploitant l'égalité matricielle de la question 3.

Corrigé

partie a

1. Démontrer une équivalence

À noter

Pour tous réels a et b, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Si le couple d'entiers naturels (x   y) définit un TRPI, alors, d'après l'énoncé, les entiers naturels x et x + 1 sont les longueurs des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse a pour longueur l'entier naturel y. D'après le théorème de Pythagore appliqué dans ce triangle rectangle, nous avons donc y2 = x2 + (x + 1)2.

Cela équivaut à y2 = x2 + x2 + 2x + 1 = 2x2 + 2x + 1.

Ainsi, si le couple d'entiers naturels (x   y) définit un TRPI, alors on a y2 = 2x2 + 2x + 1.

Si le couple d'entiers naturels (x  y) est tel que y2 = 2x2 + 2x + 1, alors y2 = x2 + x2 + 2x + 1 = x2 + (x + 1)2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les côtés ont pour longueurs respectives x, x + 1 et y est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l'angle droit sont deux nombres entiers consécutifs (x et x + 1) et dont la longueur de l'hypoténuse est un nombre entier (y). Un tel triangle est donc un TRPI et le couple (x  y) définit un TRPI.

Si le couple d'entiers naturels (x   y) est tel que y2 = 2x2 + 2x + 1, alors le couple (x   y) définit un TRPI.

Finalement, le couple d'entiers naturels (x   y) définit un TRPI si et seulement si on a :

y2 = 2x2 + 2x + 1.

2. Identifier un couple d'entiers naturels sous contrainte

Soit un couple d'entiers naturels (x   y).

D'après la question 1., le couple d'entiers naturels (x   y) définit un TRPI si et seulement si y2 = 2x2 + 2x + 1.

x

0

1

2

3

y2 = 2x2 + 2x + 1

1

5

13

25

Condition : y

Vrai

Faux

Faux

Vrai

On constate à l'aide du tableau précédent que les couples (0   1) et (3   5) sont tels que y2 = 2x2 + 2x + 1 et y . Par conséquent, le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3   5).

3. a) Démontrer une implication

À retenir

La contraposée de la proposition « si P est vraie, alors Q est vraie » est la proposition « si Q n'est pas vraie alors P n'est pas vraie ».

Soit n un entier naturel. Si n est pair, alors il existe un entier naturel k tel que n = 2k. Il s'ensuit que n2 = (2k)2 = 4k2 = 2 × 2k2 est pair. Par contraposée, si n2 n'est pas pair, alors n n'est pas pair, ce qui signifie également que, si n2 est impair alors n est impair.

b) Établir une condition nécessaire

Soit un couple d'entiers naturels (x   y) définissant un TRPI. Par la question 1., on a y2 = 2x2 + 2x + 1 soit encore y2 = 2(x2 + x) + 1. Nous en déduisons que y2 est impair et, par la question 3. a), que y est impair. Ainsi, dans un couple d'entiers naturels (x   y) définissant un TRPI, le nombre y est nécessairement impair.

4. Démontrer une implication

Soit un couple d'entiers naturels (x  y) définissant un TRPI.

Par la question 1., on a y2 = 2x2 + 2x + 1, soit encore y2 - 2(x2 + x= 1.

Soit d le PGCD de x et y.

Puisque d divise x, nous en déduisons que d divise x2 et 2(x2 + x).

Comme d divise y, nous en déduisons que d divise y2.

Comme d divise 2(x2 + x) et y2, alors d divise y2 - 2(x2 + x= 1. Or d  donc d = 1.

Ainsi PGCD(x  y= 1 et x et y sont premiers entre eux.

En conclusion, si le couple d'entiers naturels (x   y) définit un TRPI, alors x et y sont premiers entre eux.

partie b

1. Établir des égalités

(xy)=A(xy)+B=(3243)×(xy)+(12)=(3x+2y+14x+3y+2).

Par conséquent, x = 3x + 2y + 1 et y = 4x + 3y + 2.

2. a) Démontrer une égalité

y22x(x+1)=(4x+3y+2)22(3x+2y+1)(3x+2y+2)=16x2+9y2+22+24xy+16x+12y2(9x2+6xy+6x+6xy+4y2+4y+3x+2y+2)=16x2+9y2+4+24xy+16x+12y2(9x2+12xy+9x+4y2+6y+2)=16x2+9y2+4+24xy+16x+12y18x224xy18x8y212y4=2x2+y22x=y22x(x+1).

On a donc y2 - 2x(x + 1) = y2 - 2x(x + 1).

b) Exploiter une égalité

Si le couple d'entiers naturels (x   y) définit un TRPI, alors y2 = 2x2 + 2x + 1 (question 1. de la partie A). Cela équivaut à y2 - 2x2 - 2x = 1 soit y2 - 2x(x + 1) = 1.

Puisque la question 2. a) partie B nous donne l'égalité y2 - 2x(x + 1) = y2 - 2x(x + 1), nous en déduisons que y2 - 2x(x + 1) = 1.

Remarque

Dire que « la proposition P équivaut à la proposition Q » signifie que :

« la proposition P implique la proposition Q » 

et « la proposition Q implique la proposition P ».

Par conséquent, d'après la question 1. de la partie A, nous en déduisons que le couple d'entiers naturels (x  y) définit un TRPI.

En résumé, si le couple d'entiers naturels (x   y) définit un TRPI, alors le couple d'entiers naturels (x  y) définit également un TRPI.

3. Raisonner par récurrence  E1 

Considérons la propriété P(n) : le couple(xn   yn) définit un TRPI.

Initialisation : (x0   y0= (3   5) définit un TRPI d'après la question 2. de la partie A donc la propriété P(n) est initialisée pour n = 0.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k : le couple (xk   yk) définit un TRPI (hypothèse de récurrence).

Démontrons que P(k + 1) est également vérifiée.

Puisque (xk+1yk+1)=A(xkyk)+B, nous déduisons de la question 1. de la partie B que :

xk+1 = 3xk + 2yk + 1 et yk+1 = 4xk + 3yk + 2.

Puisque le couple (xk  yk) définit un TRPI (hypothèse de récurrence), nous déduisons de la question 2. b) de la partie B que le couple (xk+1   yk+1) définit un TRPI.

Conclusion : comme la propriété P(n) est initialisée pour n = 0 et qu'elle est héréditaire, nous en déduisons qu'elle est vraie pour tout entier naturel n. Ainsi, pour tout entier naturel n, le couple (xn   yn) définit un TRPI.

4. Déterminer un couple d'entiers naturels sous contrainte  C5 

Puisque, d'après la question précédente, pour tout entier naturel n, le couple (xn   yn) définit un TRPI, déterminons à l'aide de la calculatrice les couples (xn   yn) pour les valeurs successives de l'entier naturel n, en partant de 0, ceci en exploitant la relation matricielle :

(xn+1yn+1)=A(xnyn)+B.

n

0

1

2

3

4

xn

3

20

119

696

4 059

yn

5

29

169

985

5 741

Un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2 017 est défini par le couple (4 059   5 741).

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