Le fourre-tout

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : QCM et vrai/faux
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2016

Exercice 4 • 5 points

Le fourre-tout

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densité d’une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance μ = 20. La probabilité que la variable aléatoire X soit comprise entre 20 et 21,6 est égale à 0,34.

matT_1605_09_01C_03

Affirmation 1 : La probabilité que la variable aléatoire X appartienne à l’intervalle [23,2 ; + [ vaut environ 0,046.

2. Soit z un nombre complexe différent de 2. On pose :

Z=izz2.

Affirmation 2 : L’ensemble des points du plan complexe d’affixe z tels que |Z = 1 est une droite passant par le point A(1 ; 0).

Affirmation 3 : Z est un imaginaire pur si et seulement si z est réel.

3. Soit f la fonction définie sur par :

f(x)=34+6e2x.

Affirmation 4 : L’équation f(x= 0,5 admet une unique solution sur .

Affirmation 5 : L’algorithme suivant affiche en sortie la valeur 0,54.

Variables

X et Y sont des réels

Initialisation

X prend la valeur 0

Y prend la valeur 310

Traitement

Tant que Y < 0,5

X prend la valeur X + 0,01

Y prend la valeur 34+6e2X

Fin Tant que

Sortie

Afficher X

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Nombres complexes • Fonctions • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Probabilités  E40a • E40e  Affirmation 1

Nombres complexes  E16 • E17 • E18 • E22  Affirmations 2 et 3

Limites  E5  Affirmation 4

Dérivation  E6c • E6e • E6f  Affirmation 4

Continuité  E7b • E7c  Affirmation 4

Exponentielle  E8  Affirmation 4

Nos coups de pouce

Affirmation 1. Utilisez l’information donnée dans l’énoncé pour déterminer une valeur approchée de l’écart type de la loi normale considérée. Utilisez ensuite les propriétés classiques de la loi normale pour conclure.

Affirmation 3. Écrivez le nombre complexe Z sous forme algébrique. Pour ce faire, posez z = a + ib (a et b réels).

Affirmation 4. Pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Au préalable, dressez le tableau complet de variations de la fonction f sur .

Corrigé

Corrigé

> 1. Déterminer une probabilité

D’après l’énoncé, la probabilité que la variable aléatoire X soit comprise entre 20 et 21,6 est égale à 0,34. Par symétrie de la densité, il en découle que : P(201,6X20+1,6)=2×0,34=0,68.

Notez bien

Si X𝒩(μ,σ2) : P(μσXμ+σ)0,682 et P(μ2σXμ+2σ)0,954.

1,6 est alors une valeur approchée de l’écart type de la loi normale considérée.

La probabilité que X appartienne à l’intervalle [23,2;+[ s’écrit P(X23,2).

P(X23,2)=0,5P(20X23,2)                    =0,5P(μXμ+2×1,6)                                            =0,512×P(μ2×1,6Xμ+2×1,6)                    0,512×0,954                    =0,0230,046.

L’affirmation 1 est fausse.

> 2. Déterminer un ensemble de points, justifier une équivalence

Notez bien

|i|=1.

Nous avons, pour tout nombre complexe z différent de 2 :

|Z|=|izz2|=|iz||z2|=|i|×|z||z2|=|z||z2|.

Par suite,

|Z|=1|z||z2|=1z2|z|=|z2|z2|z0|=|z2|.

En notant O, M et B les points d’affixes respectives 0, z et 2, la dernière égalité se traduit en termes de distance par OM=BM. Ainsi, l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe z tels que |Z|=1 est la médiatrice du segment [OB] qui nécessairement passe par le milieu de ce segment (point d’affixe 1 qui n’est rien d’autre que le point A).

L’affirmation 2 est vraie.

Notons a+ib (a et b réels) la forme algébrique du nombre complexe z qui est différent de 2.

Par suite, nous avons :

Notez bien

i2=1.

Z=izz2=i×(a+ib)(a+ib)2=b+ia(a2)+ib.

En multipliant par l’expression conjuguée :

Z=b+ia(a2)+ib×(a2)ib(a2)ib=b×(a2)+ib2+ia(a2)+ab(a2)2+b2=2b+i(b2+a22a)(a2)2+b2.

La partie réelle de Z est 2b(a2)2+b2 et sa partie imaginaire est b2+a22a(a2)2+b2.

Z est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, ce qui est équivalent à :

2b(a2)2+b2=0 ou encore b=0.

Dans ce cas, z s’écrit a+ib=a+i×0=a c’est-à-dire z est un réel.

L’affirmation 3 est vraie.

Remarque. La formulation de l’équivalence à étudier aurait pu être :

Z=izz2i{i}z{2}.

> 3. Démontrer l’unicité d’une solution, dérouler un algorithme

Notez bien

Pour toute fonction u dérivable sur I,eu est dérivable sur I et (eu)=u×eu.

Notons v la fonction définie sur par v(x)=4+6e2x. La fonction v est dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur et sa dérivée est donnée par :

v(x)=0+6×(2)×e2x=12e2x.

Comme v est strictement positive sur , elle ne s’y annule pas. La fonction f étant égale à 3v, elle est alors dérivable sur et sa dérivée est donnée par :

f(x)=3×(1v)(x)=3×(v(x)(v(x))2)=3×(12e2x(4+6e2x)2)=36e2x(4+6e2x)2.

Pour tout réel x,36e2x>0 et (4+6e2x)2>4>0. La dérivée f étant strictement positive sur , la fonction f est strictement croissante sur .

Pour compléter le tableau de variations de f, déterminons les limites de la fonction f en et en +.

Notez bien

limx+ex=limXeX=0 et limxex=limX+eX=+.

D’une part, limx+e2x=limXe2X=0. Par produit et par somme, limx+4+6e2x=4.

Par passage à l’inverse, limx+f(x)=limx+34+6e2x=34.

D’autre part, limxe2x=limX+e2X=+. Par produit et par somme, limx4+6e2x=+.

Par passage à l’inverse,limxf(x)=limx34+6e2x=0.

Par conséquent, le tableau de variations complet de la fonction f sur est :

matT_1605_09_01C_tab1

La fonction f étant dérivable sur , elle est continue sur . Elle est également strictement croissante sur . De plus, 0,5 est bien compris entre 0 et 0,75. Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=0,5 admet une unique solution sur . L’affirmation 4 est vraie.

Autre méthode

Pour tout réel x,

f(x)=0,534+6e2x=0,53=2+3e2x13=e2x ln(13)=ln(e2x)ln(3)=2xln(3)2=x.

L’affirmation 4 est vraie.

Deux variables notées X et Y sont utilisées dans cet algorithme. Ces variables sont respectivement initialisées à 0 et à 310=0,3. Elles sont ensuite mises à jour dans la phase traitement tant que la variable Y prend des valeurs strictement inférieures à 0,5 ce qui est résumé dans le tableau suivant :

X

Y

Condition Y<0,5

0

310=0,3

vraie

0+0,01=0,01

34+6e2×0,010,304

vraie

0,01+0,01=0,02

34+6e2×0,020,307

vraie

0,02+0,01=0,03

34+6e2×0,030,311

vraie

0,52+0,01=0,53

34+6e2×0,530,494

vraie

0,53+0,01=0,54

34+6e2×0,540,497

vraie

0,54+0,01=0,55

34+6e2×0,550,5002

fausse

La condition du « Tant Que » n’étant plus vérifiée, nous passons à la phase sortie : l’algorithme affiche 0,550,54.L’affirmation 5 est fausse.

Autre méthode

Pour tout réel x,

f(x)<0,534+6e2x<0,53<2+3e2x13<e2xln(13)<ln(e2x)ln(3)<2xln(3)2>x.

Or, ln(3)20,5493.

Par suite, si X=0,54 nous avons Y<0,5.X est alors augmenté de 0,01 pour prendre la valeur 0,55. Mais, si X=0,55 alors Y>0,5.

La condition de la boucle « Tant Que » n’étant plus vérifiée, nous passons à la phase de sortie et l’algorithme affiche 0,55.

L’affirmation 5 est fausse.