Le génie des physiciens et des chimistes au service de la mesure du temps

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Centres étrangers
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Le génie des physiciens et des chimistes au service de la mesure du temps

Temps, mouvement et évolution

Corrigé

16

Comprendre

pchT_1306_06_06C

Centres étrangers • Juin 2013

Exercice 3 • 5 points

La mesure du temps est une question essentielle depuis… la nuit des temps. Elle a initialement été basée sur l’observation d’un phénomène régulier et répétitif qui permettait de caractériser des durées égales.

1. La mesure du temps par Galilée

Galilée, au xviie siècle, a eu l’idée d’utiliser un pendule pour mesurer le temps.

Document 1

« J’ai pris deux boules, l’une de plomb et l’autre de liège, celle-là au moins cent fois plus lourde que celle-ci, puis j’ai attaché chacune d’elles à deux fils très fins, longs tous les deux de quatre coudées ; les écartant alors de la position perpendiculaire, je les lâchais en même temps ; une bonne centaine d’allées et venues, accomplies par les boules elles-mêmes, m’ont clairement montré qu’entre la période du corps pesant et celle du corps léger, la coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n’acquiert sur le second aucune avance, fût-ce la plus minime, mais que tous les deux ont un rythme de mouvement rigoureusement identique.

On observe également l’action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage les vibrations du liège que celles du plomb, sans toutefois modifier leur fréquence.

D’après Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles, publié en 1636

Données

Une coudée = 0,573 m.

Accélération de la pesanteur : g = 9,81 m ⋅ s−2.

La masse du pendule de plomb de Galilée est m = 50 g.

On réalise un pendule en suspendant une bille de plomb de masse m = 50 g et de centre d’inertie G, à un fil de longueur l accroché en O comme l’indique la figure du document 2.

Document 2

On choisit la position à l’équilibre G0 de G comme origine des altitudes z. Pour un amortissement faible, la pseudo-période T du pendule est voisine de sa période propre T0. L’expression de la période propre du pendule est l’une des propositions suivantes :

T0=2πl ; T0=2πlg ; T0=2πgl ; T0=2πml

l désigne la longueur du fil et m la masse du pendule.

Un système informatique permet d’obtenir les mesures représentées sur les deux graphes de l’annexe.


1 À l’aide des documents et de vos connaissances, proposer une réponse argumentée pour montrer que « le pendule réalisé aurait pu être celui de Galilée ».

Pour cela, à l’aide d’une analyse dimensionnelle, choisir l’expression de la période du pendule simple qui convient parmi celles proposées. Comparer de la manière la plus précise possible, la valeur calculée de la période du pendule de Galilée à celle du pendule réalisé expérimentalement, puis conclure.

21. Déterminer à partir du document en annexe (fenêtre 1) la valeur de l’abscisse xm.

En déduire la valeur de l’angle maximal αm, en degré, décrit par le pendule.

2. Calculer la vitesse maximale vm atteinte par le centre d’inertie G.

3. Tracer sur le document (fenêtre 2) de l’annexe les évolutions de l’énergie mécanique et de l’énergie potentielle de pesanteur, en fonction de l’abscisse x du centre d’inertie G du pendule réalisé.

2. La molécule d’ammoniac

Avec l’horloge atomique – conçue à partir des années 1950/60 – la mesure du temps bascule dans le temps de l’infiniment petit. Ce ne sont plus les oscillations régulières d’un pendule ou d’un ressort spiral qui donnent le rythme à l’horloge. Ici, ce sont les vibrations extrêmement rapides d’une molécule ou d’un atome que l’homme a su mettre au profit de la mesure du temps.

Dans les années 1960, il a été décidé de détacher la mesure du temps de l’astronomie et de redéfinir le temps en fonction des vibrations d’une molécule ou d’un atome.

Une des premières horloges de ce type mettait en jeu les oscillations de la molécule d’ammoniac. (…) Les molécules d’ammoniac ont la forme d’un parapluie, elles peuvent ainsi se retourner de la même façon que cet objet par grand vent (voir schéma ci-dessous) !

En effet, en faisant un aller-retour d’une forme « normale » à une forme « retournée » à un rythme régulier de 24 milliards de fois par seconde (!), ces molécules permettent de concevoir un dispositif horloger d’une stabilité inégalée…


1 Quelle est la période de retournement de la molécule d’ammoniac ?

2 La molécule d’ammoniac est constituée d’un atome d’azote et de trois atomes d’hydrogène. Écrire la formule de Lewis de la molécule d’ammoniac et proposer une représentation de Cram spatiale de la molécule.

Données: N (Z = 7) ; H (Z = 1).

3 L’ammoniac est une base, mise en jeu dans l’équilibre suivant :

N¯H3+ H+ NH4+

Recopier l’équation ci-dessus et expliquer la formation de l’ion ammonium NH4+.

4 Parmi les 4 propositions suivantes une seule affirmation est vraie.

Justifier que les 3 autres sont fausses.

Donnée : La constante d’acidité de l’ion ammonium NH4+ à 25 °C est KA = 5,6 × 10−10.

Affirmation 1 : Le pKA de l’ion ammonium est 10,2.

Affirmation 2 : La réaction de dissociation de l’ion ammonium dans l’eau s’écrit :

NH4(aq)++H2 NH3(aq)+H3O+(aq)

  • Affirmation 3 : L’ion ammonium est totalement dissocié dans l’eau.
  • Affirmation 4 : Dans une solution aqueuse d’ammoniac de pH égal à 8, l’espèce prédominante est NH3.

Annexe


Évolution de l’abscisse x du centre d’inertie G du système en fonction du temps


Variation de l’énergie cinétique du pendule en fonction de l’abscisse x du centre d’inertie G

Notions et compétences en jeu

Savoir réaliser une analyse dimensionnelle • Savoir effectuer des mesures à partir de données et de graphiques expérimentaux • Savoir appliquer la conservation de l’énergie mécanique • Connaître les représentations de Cram et de Lewis des molécules • Connaître les caractéristiques des mécanismes réactionnels • Savoir utiliser un pKA et les propriétés acidobasiques d’une espèce chimique.

Conseils du correcteur

Partie 1

1 En mécanique, on utilise souvent les grandeurs suivantes : distance, masse, temps.

Mesurez le plus grand nombre de périodes possibles pour obtenir un maximum de précision.

21. Pensez aux formules de trigonométrie pour exploiter la figure du document 2.

Partie 2

3 Souvenez-vous que les doublets électroniques se déplacent toujours du site nucléophile vers le site électrophile.

Corrigé

1. La mesure du temps par Galilée

1 Argumenter sur le choix d’une formule

On effectue l’analyse dimensionnelle des quatre propositions.

  • [2πl]=[l]=[l]1/2[t].
  • [2πlg]=[lg]=[lg]1/2=[dg]1/2.

Comme a = g dans le cas d’un corps en chute libre, [g]=[a]=[d][t]2 d’où [2πlg]=([d][d][t]2)1/2=[t2]1/2=[t].

  • [2πgl]=[gl]=[gl]1/2=[1/t2]=1[t][t].
  • [2πml]=[ml]1/2=[m][d][t].

À retenir

Dans une analyse dimensionnelle, on peut utiliser toutes les formules connues (ici a = g) pour décomposer la dimension d’une grandeur.

Seule la seconde proposition est homogène à un temps donc la période est T0=2πlg.

La période propre du pendule est : T0=2π×4×coudées9,81=2π×4×0,5739,81=3,04 s.

Sur le premier graphique du document 3, on mesure 6 périodes.


D’après l’échelle utilisée, une période dure 20×13,614,9×6=3,04 s.

Le pendule réalisé expérimentalement peut donc correspondre à celui de Galilée puisque les périodes correspondent parfaitement (à 10–2 près).

21. Exploiter les valeurs d’un graphique

Attention : Votre calculatrice doit être réglée en degrés !

La valeur de l’amplitude maximale est lue sur le premier graphique du document 3, xmax = 400 mm.

Or d’après le document 2, sinαm=xmaxl

donc αm=arcsin(xmaxl)=arcsin(0,44×0,573)=10,1°.

2. Calculer une vitesse à partir d’une courbe expérimentale

La seconde courbe du document 3 représente l’évolution de l’énergie cinétique Ec en fonction du temps.

Comme Ec=12mv2

vmax=2×Ecmaxm=2×17,5×10350×103=0,84 ms1

3. Tracer l’évolution des énergies potentielle et mécanique en fonction de x

D’après le document 2, l’amortissement du pendule est faible, on peut donc considérer que les frottements sont négligeables. L’énergie mécanique Em se conserve.

Le maximum de l’énergie cinétique Ec correspond au minimum de l’énergie potentielle Ep, et réciproquement.

L’origine des altitudes est prise pour αm = 0°. Pour cet angle, xm = 0 et l’énergie potentielle est nulle.

L’énergie mécanique (Em = Ec + Ep) est donc toujours égale à Ec max et l’énergie potentielle Ep prend cette valeur lorsque x est à ± 400 mm.


2. La molécule d’ammoniac

1 Déterminer une période

T=1f=124×109=4,2×1011 s=42 ps.

2 Tracer les représentations de Lewis et de Cram d’une molécule

Notez bien

Ne pas oublier le doublet non liant sur l’atome d’azote en représentation de Lewis. 

et

3 Expliquer le mécanisme réactionnel

L’atome d’azote de l’ammoniac est un site donneur de doublet d’électrons (donc nucléophile) et l’ion H+ est électrophile (accepteur de doublet d’électrons).

On a alors le mécanisme suivant :


4 Discuter des propriétés acidobasiques d’un couple

  • pKA = – log KA = - log (5,6 × 10–10) = 9,3 donc l’affirmation 1 est fausse.
  • L’ammoniac est une base donc l’ion ammonium est son acide conjugué. L’équation de sa réaction avec l’eau est du type :

HA(aq)+H2O(1)A(aq)+H3O(aq)+

  • Cette équation correspond avec celle proposée donc la proposition 2 est juste.

Remarque

Si on suppose vraie la proposition 2, alors la 3 est fausse. En effet, l’équation est écrite avec une double flèche qui signifie que l’ion ammonium est un acide faible et non fort : sa réaction dans l’eau n’est pas totale.

  • Le couple NH4+/NH3 possède un pKA égal à 9,3, l’ion ammonium est un acide faible. Il n’est donc pas totalement dissocié dans l’eau car c’est une propriété des acides forts.

À retenir

Toutes ces propriétés des acides sont à bien connaître.

  • Le pKA du couple NH4+/NH3 est égal à 9,3. Un pH valant 8 se situe en-dessous du pKA. La forme acide NH4+ prédomine et non la forme basique NH3.