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Le globe de cristal

Troisième Mathématiques Représenter l'espace

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Représenter l'espace

mat3_1806_07_11C

France métropolitaine • Juin 2018

Le globe de cristal

Exercice 1

15 min

11 points

Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski. Ce trophée pèse 9 kg et mesure 46 cm de hauteur.

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▶ 1. Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud. Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte ci-dessous.

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▶ 2. On considère que ce globe est composé d'un cylindre en cristal de diamètre 6 cm, surmonté d'une boule de cristal. Voir schéma ci-dessous.

Montrer qu'une valeur approchée du volume de la boule de ce trophée est de 6 371 cm³.

▶ 3. Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ 90 % du volume total du trophée. A-t-elle raison ?

Rappels :

volume d'une boule de rayon R : $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ ;

volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h : $V = π r^{2} h$ .

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

À travers l'étude d'un trophée sportif, tu vas mobiliser les notions de repérage sur la sphère terrestre, mais aussi les pourcentages et les volumes.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Lire les coordonnées d'un point sur la sphère terrestre; La longitude est donnée selon une direction est-ouest et la latitude selon une direction nord-sud.; Ligne 2 : ▶ 2. Calculer le volume d'une boule; Applique la formule donnée en rappel, en faisant attention à bien prendre le rayon de la boule et non son diamètre !;

Les étapes de résolution pour la question 3

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▶ 1. Les coordonnées de Pyeongchang sont 127° est (longitude) et 35° nord (latitude).

▶ 2. 𝒱_boule = $\frac{4}{3} \times π \times R^{3} = \frac{4}{3} \times π \times {11,5}^{3} \approx 6 371 {cm}^{3}$ .

▶ 3. 𝒱_cylindre = $π \times r^{2} \times h = π \times 3^{2} \times 23 \approx 650 {cm}^{3}$

𝒱_total = 6 371 + 650 = $7 021 {cm}^{3}$ .

Le rapport des volumes est : $\frac{6 371}{7 021} \approx 90,7 %$ .

Donc le volume de la boule représente environ 90 % du volume total, Marie a raison.

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